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문제 정의
- 본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법을 검정하기 위한 비모수적 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 검정통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)가 제안한 정렬방법을 사용하여 블록 간의 정보를 이용하고, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하였다.
가설 설정
- ijk는 오차항이며, 동일한 연속분포를 따르는 서로 독립인 확률변수로 가정한다. 각 처리의 효과가 모두 동일하다는 귀무가설과 일반대립가설은 다음과 같다.
제안 방법
- 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 모수적인 검정 방법으로는 분산분석법이 있고, 비모수적 검정 방법은 Mack과 Skilling (1980)의 방법과 Mack (1891)의 방법이 있다. 따라서 본 논문에서는 새로 제안한 방법과 위의 3가지 방법의 검정력을 비교하기 위해 SAS를 이용하여 모의실험을 시행하였다. 모집단의 분포는 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포를 선택하였다.
- 따라서 본 논문에서는 새로 제안한 방법과 위의 3가지 방법의 검정력을 비교하기 위해 SAS를 이용하여 모의실험을 시행하였다. 모집단의 분포는 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포를 선택하였다. SAS에서 난수생성하기 위해 정규분포는 RANNOR함수, 지수분포는 RANEXP함수, Cauchy분포는 RANCAU함수, 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 이용하였다.
- 본 논문에서는 Hodges와 Lehmann (1962)이 제안한 정렬 방법을 이용하여 블록 간의 정보를 이용하고, Chung과 Kim (2007)이 일원 배치모형에서 제안한 결합위치 방법을 확장하여 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비모수적 방법을 제안하였다. 또, 제안된 검정법과 기존 비모수 검정법인 Mack과 Skillings(1980) 방법, Mack (1981) 방법, 그리고 모수적 방법인 분산분석법과 Monte Carlo simulation을 통하여 검정력을 비교하였다.
- 류마티스 관절염의 치료제에는 비스테로이드항염제(NSAID), 항류마티스약제(DMARDs), 스테로이드(Steroid)가 있다. 임상시험에서 치료제에 따라 환자가 느끼는 통증의 정도에 차이가 있는지 알아보기 위하여 환자의 류마티스 관절염 증세를 등급(level)에 따라 블록으로 나누고, 블록 안에서 세 치료제에 따라 무작위로 한 명의 환자를 할당하여 처방하였다. 이 때, 세 개 이상의 처리의 효과 차이를 검정하기 위한 방법의 실험 계획법에는 랜덤화 블록 계획법(randomized block design)이 있다.
- 생성된 난수를 실제 표본으로 간주하여 계산된 검정통계량이 기각역에 속하는지를 판단하는 과정을 10,000번 반복하는 Monte Carlo Study를 하였다. 처리의 수는 3개와 5개이고, 블록의 수는 5와 7인 경우를 비교하며 각 처리의 블록 내 반복수는 2번, 유의수준은 0.05로 여러 조합에 대해 검정력을 비교하였다. 각 분포에서 방법별 검정력의 비교 결과를 처리의 수가 3인 경우, 블록의 수가 5개일 때의 결과는 Table 3.
데이터처리
- 본 논문에서는 Hodges와 Lehmann (1962)이 제안한 정렬 방법을 이용하여 블록 간의 정보를 이용하고, Chung과 Kim (2007)이 일원 배치모형에서 제안한 결합위치 방법을 확장하여 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비모수적 방법을 제안하였다. 또, 제안된 검정법과 기존 비모수 검정법인 Mack과 Skillings(1980) 방법, Mack (1981) 방법, 그리고 모수적 방법인 분산분석법과 Monte Carlo simulation을 통하여 검정력을 비교하였다.
- SAS에서 난수생성하기 위해 정규분포는 RANNOR함수, 지수분포는 RANEXP함수, Cauchy분포는 RANCAU함수, 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 이용하였다. 생성된 난수를 실제 표본으로 간주하여 계산된 검정통계량이 기각역에 속하는지를 판단하는 과정을 10,000번 반복하는 Monte Carlo Study를 하였다. 처리의 수는 3개와 5개이고, 블록의 수는 5와 7인 경우를 비교하며 각 처리의 블록 내 반복수는 2번, 유의수준은 0.
- 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)가 제안한 정렬방법을 사용하여 블록 간의 정보를 이용하고, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하였다. 정렬방법과 결합위치를 이용한 검정법을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 모수적 검정법인 ANOVA와 비모수적 검정법인 Mack과 Skillings (1980)과 Mack (1981)의 검정력을 Monte Carlo simulation을 통하여 비교하였다.
이론/모형
- 모집단의 분포는 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포를 선택하였다. SAS에서 난수생성하기 위해 정규분포는 RANNOR함수, 지수분포는 RANEXP함수, Cauchy분포는 RANCAU함수, 이중지수분포는 RANUNI함수와 역변환기법을 이용하였다. 생성된 난수를 실제 표본으로 간주하여 계산된 검정통계량이 기각역에 속하는지를 판단하는 과정을 10,000번 반복하는 Monte Carlo Study를 하였다.
- 본 논문에서는 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법을 검정하기 위한 비모수적 방법으로 정렬방법과 결합위치를 이용한 검정통계량을 제안하였다. 이 통계량은 Hodges와 Lehmann (1962)가 제안한 정렬방법을 사용하여 블록 간의 정보를 이용하고, Chung과 Kim (2007)이 제안한 결합위치를 확장하였다. 정렬방법과 결합위치를 이용한 검정법을 정규분포, 지수분포, 이중지수분포, Cauchy분포에서 모수적 검정법인 ANOVA와 비모수적 검정법인 Mack과 Skillings (1980)과 Mack (1981)의 검정력을 Monte Carlo simulation을 통하여 비교하였다.
성능/효과
- 05에서 벗어났다. Cauchy분포의 표 순서대로 처리의 수가 3인 경우, 블록의 수가 5일 때의 유의수준의 값은 0.0236,0.0468, 0.0359, 0.0179로 Mack과 Skillings의 방법을 제외하고 Mack의 방법, 제안방법, ANOVA의 제 1종 오류를 잘 제어하지 못하는 것이 나타나며, 블록의 수가 7일 때의 유의수준의 값은 0.0243, 0.0472, 0.0488, 0.0158로 제안방법과 ANOVA의 1종오류를 잘 제어하지 못한 것이 나타났다. 처리의 수가 5인 경우, 블록의 수가 5일 때 제안방법과 ANOVA의 유의수준이 0.
- 지수분포에서는 완만하다 증가하는 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다. 나머지 6개의 대립가설 형태에서는 제안방법이 모두 검정력이 높았고, Mack과 Skilligs의 방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력이 높았다. 특히 증가한 후 일정하다 다시 감소하는 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 0.
- 모의실험 결과 표본의 수가 작은 경우 모든 분포에서 Mack의 방법이 효율이 좋다고 기대되고, 표본의 수가 큰 경우 모집단의 분포가 이중지수분포일 때 제안방법이 기존의 방법들보다 우수하다고 기대된다. 또 정규분포에서도 제안방법의 검정력이 ANOVA와 비슷하거나 결과가 나왔으므로 제안방법은 모집단의 분포가 대칭이고 꼬리가 두껍지 않은 분포에서 기존의 방법들에 비해 좋은 효율성을 가진다고 할 수 있다. 하지만 Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다.
- Cauchy분포에서 제안방법은 다른 비모수 검정법들에 비해 상당히 보수적인 검정법임을 알 수 있다. 모의실험 결과 표본의 수가 작은 경우 모든 분포에서 Mack의 방법이 효율이 좋다고 기대되고, 표본의 수가 큰 경우 모집단의 분포가 이중지수분포일 때 제안방법이 기존의 방법들보다 우수하다고 기대된다. 또 정규분포에서도 제안방법의 검정력이 ANOVA와 비슷하거나 결과가 나왔으므로 제안방법은 모집단의 분포가 대칭이고 꼬리가 두껍지 않은 분포에서 기존의 방법들에 비해 좋은 효율성을 가진다고 할 수 있다.
- 본 논문에서 제안한 방법은 정규분포, 지수분포, 이중지수분포에서 제 1종 오류를 비교적 잘 제어할 수 있었지만, Cauchy분포에서는 다른 분포의 결과와 비교하였을 경우 1종 오류를 제어하는데 있어 어려움이 있었다. Cauchy분포에서 제안방법은 다른 비모수 검정법들에 비해 상당히 보수적인 검정법임을 알 수 있다.
- 즉, Mack의 방법은 분포와 대립가설의 형태에 상관없이 표본의 크기가 작은 경우 검정력이 높게 나타남을 알 수 있다. 블록의 수가 7개일 때의 결과에서는 모집단의 분포가 정규분포인 경우 모든 대립가설 형태에서 ANOVA의 검정력이 가장 높았고, 제안방법, Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법의 순으로 검정력이 높았다. 지수분포에서는 기울기가 낮은 순서형 대립가설 형태와 완만하다 증가하는 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법이 제안방법보다 근소하게 검정력이 높았다.
- Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다. 블록의 수가 7개일 때의 결과에서는 모집단의 분포가 정규분포인 경우, 모든 대립가설 형태에서 검정력은 ANOVA, 제안방법, Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법의 순서로 높았다. 지수분포인 경우, 완만하다 증가와 감소를 반복하는 대립가설의 형태에서 제안방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 비슷하게 높았지만 나머지 대립가설의 형태에서는 Mack과 Skillings의 방법, 제안방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다.
- 나머지 대립가설 형태에서는 제안방법의 검정력이 가장 높았고, ANOVA, Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법 순으로 검정력이 차이가 났다. 우산형 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 0.5458로 ANOVA의 검정력 0.4850에 비해 약 0.06 차이가 났고, 증가한 후 일정하다 다시 감소하는 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 0.2737로 ANOVA의 검정력 0.2196과 약 0.054 차이가 있었다. 지수분포에서는 완만하다 증가하는 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 나머지 대립가설 형태에서는 제안방법과 Mack과 Skillings의 검정력이 가장 높았고, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다. 이중지수분포에서는 모든 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 가장 높았고, Mack과 Skillings의 방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다. 특히 정점이 1.
- 지수분포인 경우, 완만하다 증가와 감소를 반복하는 대립가설의 형태에서 제안방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 비슷하게 높았지만 나머지 대립가설의 형태에서는 Mack과 Skillings의 방법, 제안방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다. 이중지수분포에서는 모든 대립가설의 형태에서 제안방법과 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 모두 비슷하였고 ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다. Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 블록의 수가 7개일 때의 결과에서는 모집단의 분포가 정규분포인 경우 모든 대립가설 형태에서 ANOVA의 검정력이 가장 높았고, 제안방법, Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법의 순으로 검정력이 높았다. 지수분포에서는 기울기가 낮은 순서형 대립가설 형태와 완만하다 증가하는 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법이 제안방법보다 근소하게 검정력이 높았다. 나머지 대립가설 형태에서는 제안방법과 Mack과 Skillings의 검정력이 가장 높았고, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다.
- 054 차이가 있었다. 지수분포에서는 완만하다 증가하는 대립가설 형태에서 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다. 나머지 6개의 대립가설 형태에서는 제안방법이 모두 검정력이 높았고, Mack과 Skilligs의 방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력이 높았다.
- Cauchy분포에서 제안방법의 검정력이 낮은 이유는 유의수준이 Cauchy분포에서 작아 매우 보수적인 검정법임에서 기인한 것으로 생각된다. 지수분포에서는 처리의 수가 5이고 블록의 수가 5인 경우 제안방법을 이용하는 것이 효율이 높을 것으로 예상된다. 또한 대립가설의 형태에서는 우산형 대립가설인 경우 제안방법을 이용하는 것이 효율이 높을 것으로 기대된다.
- 처리의 수가 3개인 경우, 블록의 수가 5개일 때의 결과에서 모든 분포, 7개의 대립가설 형태에서 모두 Mack의 방법의 검정력이 다른 방법들에 비해 높았다. 즉, Mack의 방법은 분포와 대립가설의 형태에 상관없이 표본의 크기가 작은 경우 검정력이 높게 나타남을 알 수 있다.
- 처리의 수가 5개인 경우, 블록의 수가 5개일 때의 결과에서 모집단의 분포가 정규분포일 때, 증가와 감소를 반복하는 대립가설 형태에서는 ANOVA의 검정력이 가장 높았고, 완만하다 증가하는 대립가설의 형태와 크게 증가하다 감소한 후 다시 증가하여 일정한 대립가설 형태에서는 제안방법과 ANOVA의 검정력이 가장 높았다. 나머지 대립가설 형태에서는 제안방법의 검정력이 가장 높았고, ANOVA, Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법 순으로 검정력이 차이가 났다.
- 0158로 제안방법과 ANOVA의 1종오류를 잘 제어하지 못한 것이 나타났다. 처리의 수가 5인 경우, 블록의 수가 5일 때 제안방법과 ANOVA의 유의수준이 0.0179, 0.0182이고, 블록이 7일 때 0.0140, 0.0148인 것으로 보아 제안방법과 ANOVA는 Cauchy분포에서 다른 검정법들에 비해 보수적인 검정법임을 알 수 있다. Cauchy분포에서는 다른 분포의 결과와 비교하였을 경우 1종 오류를 제어하는데 있어 어려움이 있었다.
- 처리의 효과가 모두 같은 경우 제 1종 오류가 잘 제어 되는지 살펴보면, 모집단의 분포가 정규분포인 경우 모든 처리와 블록에서 Mack과 Skillings의 방법, Mack의 방법, 제안방법, ANOVA 모두 유의수준이 0.0464에서 0.0512사이의 값을 가지고, 지수분포인 경우 처리의 수가 5이고, 블록의 수가 7일 때 제안방법의 유의수준이 0.0416인 경우를 제외하고 모든 방법의 유의수준이 0.0440에서 0.0515사이의 값을 갖는다. 또한 이중지수분포인 경우에도 모든 처리와 블록에서 모든 방법들의 유의수준이 0.
- 이중지수분포에서는 모든 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 가장 높았고, Mack과 Skillings의 방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력의 차이가 있었다. 특히 제안방법이 Mack과 Skillings의 방법에 비해 감소한 후 완만하다 다시 증가하는 형태의 대립가설과 증가한 후 일정하다 다시 감소하는 대립가설 형태에서는 검정력이 약 0.05 높았고, 우산형 대립가설 형태에서는 검정력이 약 0.078 높았다. Cauchy분포에서는 Mack과 Skillings의 방법의 검정력이 가장 높았다.
- 나머지 6개의 대립가설 형태에서는 제안방법이 모두 검정력이 높았고, Mack과 Skilligs의 방법, ANOVA, Mack의 방법 순으로 검정력이 높았다. 특히 증가한 후 일정하다 다시 감소하는 대립가설 형태에서 제안방법의 검정력이 0.4244로 Mack과 Skillings의 방법의 검정력에 비해 약 0.086 높았다. 또, 우산형 대립가설 형태에서도 제안방법의 검정력이 0.
후속연구
- 지수분포에서는 처리의 수가 5이고 블록의 수가 5인 경우 제안방법을 이용하는 것이 효율이 높을 것으로 예상된다. 또한 대립가설의 형태에서는 우산형 대립가설인 경우 제안방법을 이용하는 것이 효율이 높을 것으로 기대된다.
- 반복이 있는 랜덤화 블록 모형에서는 미지의 블록 효과가 존재하기 때문에 비모수적 방법의 장점인 분포무관 성질은 유지하면서 블록 간의 정보 손실을 가져온다는 문제점이 있다. 추후 반복이 있는 랜덤화 블록 계획법에서 비모수 검정법에 대한 연구가 진행된다면 본 논문에서 Cauchy분포에서 제 1종 오류를 제어함에 있어 어려움이 있던 부분과 블록 간의 정보손실을 보완할 수 있는 검정법이 있는지 연구를 통해 살펴볼 필요가 있다.
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