[논문]도형 위의 임의의 점의 표현에 대한 연구 -평행이동 된 도형을 중심으로-

이민정

doi:10.7468/jksmee.2019.33.2.105

도형 위의 임의의 점의 표현에 대한 연구 -평행이동 된 도형을 중심으로-
On a Representation of an Arbitrary Point on a Figure Focused on a Translated Figure 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.33 no.2, 2019년, pp.105 - 122

이민정 (해강중학교)

초록
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교과서에서는 도형 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구할 때 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로, 평행이동 된 도형 f(x-a, y-b) = 0 위의 점은 점 (x', y') 로 표현하고 있다. 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로 표현한다면 점 (x, y)와 도형 f(x, y) = 0은 다른 대상인데 같은 문자들이 사용되어지고 있다. 본 연구에서는 이러한 교과서의 표현이 50년 넘게 고수되어, 학생들의 사고가 경직되므로, 개선이 필요하다고 보고 다음과 같이 연구한다. 첫째, 공식을 유도할 때, 도형 위의 임의의 점을 교과서와 달리 표현했을 때의 학생들의 반응은 어떠한가? 둘째, 살펴본 결과를 바탕으로 교과서 표현을 어떻게 수정할 것인가? 셋째, 수정한 표현에 대해 학생들은 어떻게 반응하는가? 그 결과 도형 위의 임의의 점을 교과서와 달리 표현하고 평행이동 된 도형 위의 점을 점 (x, y)로 두었더니, 조사한 학생들은 모두 본 연구에서 개선한 설명이 더 쉽다고 응답하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In Korean textbooks, by T(x,y) = (x+a, y+b) where a and b are horizontal and vertical changes respectively, an arbitrary point on the original figure f(x, y) = 0 has been expressed as a point (x, y) and a point on a translated figure f(x-a, y-b) = 0 has been expressed as a point (x', y'). If an arbitrary point on a figure f(x, y) = 0 is expressed as a point (x, y), then a point (x, y) and a figure f(x, y) = 0 are different targets but the same characters are used. In this following study, there were found that the expressions in these textbooks were stuck for more than 50 years, so students' thoughts were stiff. And therefore these are a need to be improved so that those things are studied as follows. First, inducing a formula, what are the students' responses like when were expressed differently from textbooks? Second, based on the results reviewed, how will the expressions of the textbook be revised? Third, how do the students respond to the modified expressions? As the result, a point on the original figure were expressed differently from textbooks and a point on a translated figure was put as a point (x, y), and about it, all of the students surveyed said that this improved expressions made in the study were easier.

주제어

표/그림 (12)

그림 [그림 I-1] 2018학년도 고등학교 수학 교과서의 도형의 평행이동에 관한 그림(류희찬 외, 2018)
그림 [그림 II-1]좌표 평면 위의 점에 관한 그림(해법수학연구회, 2019)
그림 [그림 II-2] 점과 직선의 위치관계(장지경, 2007)
그림 [그림 III-1] 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 첫 번째 설문 조사지
그림 [그림 III-2] 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 두 번째 설문 조사지
그림 [그림 IV-1] 설문 조사 결과 각 내용에 응답한 학생 수 분포
그림 [그림 IV-2] 첫 번째 설문 조사할 때 1번 설명을 이해하기 쉬워 한 학생의 답안지
그림 [그림 IV-3] 접선의 방정식 교과서 예제(황우형 외, 2013)
그림 [그림 IV-4] 도형의 평행이동에 대한 첫 번째 수정된 설명
그림 [그림 IV-5] 풍산자 수학(상) 문제집의 증명
그림 [그림 IV-6] 두 번째 설문 조사할 때 2번 설명을 이해하기 쉬워 한 한 학생의 답안지
그림 [그림 IV-7] 도형의 평행이동에 대한 2차 수정된 설명

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 연구의 신뢰도를 높이기 위하여 blind study로 학생들에게는 설문조사지의 두 설명 중 이해하기 쉬운 번호를 선택하도록 하고 이유를 쓰도록 하였다. 본 연구에서는 그 이유 중에서 도형 위의 임의의 점에 대한 교과서와 다른 표현에 대해 문제제기를 하는지에 대해 살펴보고자 하였다. 연구의 신뢰도를 높이기 위해서 수업을 시작하기 전에 설문 조사를 실시하였다.
’ 는 학생들이 3명이나 있었고 무엇보다 1번 설명이 쉽다고 한 학생이 해당 반에서 수학 성적이 1등인 학생이었기 때문에 좀 더 표현을 개선시키는 연구가 필요하다고 보았다. 본 연구에서는 이러한 문제점이 생긴 원인이나 해결점을 찾기 위해 일본의 사례를 조사해 보고 우리나라 교과서의 개선점을 찾아보았다.
설문 조사 결과와 몇몇 외국 사례를 조사해 보고 우리나라 교과서의 설명 방법을 개선해 보았다. 그리고 A중학교 3학년(예비고등학교 1학년) 학생들 중 성적이 우수한 네 명의 학생을 대상으로 2018년 11월 본 연구에서 수정한 교과서 설명과 유사한 풍산자 문제집의 설명과 기존 교과서의 설명 중 어느 것이 이해하기 쉬운지에 대한 두 번째 설문 조사를 실시하였다.

가설 설정

1. 평행이동한 도형의 방정식을 구하는 공식을 유도할 때, 도형 위의 임의의 점을 교과서와 다르게 표현했을 때의 학생들의 반응은 어떠한가?

제안 방법

[그림Ⅲ-1]는 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 설문 조사지이다. 1번 설명과 2번 설명 모두에 대해 학생 동의를 구하기 위해서 가로로 모아 찍기 인쇄를 하여 한 장의 출력물에 학생이 직접 답을 쓰도록 하였다.
[그림Ⅲ-2]은 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 두 번째 설문조사지로 2번 설명의 스캔한 부분 글씨가 흐려서 본문과 같은 글자 모양으로 재작성한 것이다. 1차 설문조사 때와 마찬가지로 [그림Ⅲ-2]의 1번 설명과 2번 설명 모두에 대하여 학생 동의를 구하기 위하여, 파워포인트의 2개의 슬라이드에 스캔한 그림을 각각 삽입한 후 세로로 모아 찍기 인쇄를 하여 한 장의 출력물에 학생들이 직접 작성하도록 하였다.
2015년 6월 을 학습하기 전 교과서의 도형의 평행이동에 대해 연구한 설명이 실제 학생들에게 어떻게 받아들여지는지를 살펴보고, 연구한 설명을 적절히 수정하기 위하여 [그림Ⅲ-1]과 같이 본 연구에서 연구한 1번 설명과 기존 교과서(좋은책 신사고(황선욱 외, 2014))의 2번 설명 중 어느 것이 이해하기 쉬운지에 대해 말하고 그 이유에 대해 설명하는 설문 조사를 실시하였다.
설문 조사 결과와 몇몇 외국 사례를 조사해 보고 우리나라 교과서의 설명 방법을 개선해 보았다. 그리고 A중학교 3학년(예비고등학교 1학년) 학생들 중 성적이 우수한 네 명의 학생을 대상으로 2018년 11월 본 연구에서 수정한 교과서 설명과 유사한 풍산자 문제집의 설명과 기존 교과서의 설명 중 어느 것이 이해하기 쉬운지에 대한 두 번째 설문 조사를 실시하였다. 네 명의 학생은 편의상 접근이 용이했던 임의 추출한 학생들로 역시 조사결과를 일반화하는 데에는 한계가 있지만, 어떠한 연구 방향에 대한 설명 없이 설문 조사를 실시하였다.
그리고 도형을 이루는 임의의 점의 x좌표, y좌표 사이의 관계를 나타내는 식이 결국 그 도형의 방정식이 된다는 것을 일부 학생들이 이해하지 못하는 것으로 파악되어서, [그림Ⅳ-4]의 평행이동한 점의 좌표를 점(x, y)로 두어서 자연스럽게 새로운 도형의 방정식을 이해하도록 하였다.
그리고 본 연구에서는 첫 번째 설문 조사 결과를 볼 때 도형의 방정식 f(x,y) = 0 위의 임의의 점을(x, y)와 같이 나타내지 않고 다른 문자를 추가함으로 인해 파생되는 문자 개수가 많아지는 문제로 학생들이 이러한 표현에 거부감을 보였기 때문에 본 연구에서는 첫 번째로 교과서의 증명에 Urabe(2018)와 비슷하게 평행이동하기 전의 구좌표를 점 (x₁,y₁)으로 두고 평행 이동한 새로운 점의 좌표를 점 (x, y)로 두는 것으로 교과서 표현을 간단하게 수정할 것을 제안하였다. 그러나 두 번째 설문조사지의 결과를 볼 때 본 연구 결과와 유사한 풍산자 수학(상) 문제집의 설명을 학생들이 더 이해하기 쉬워함을 알 수 있었는데 도형 위의 점을 도형의 방정식에 대입하는 순서도 처음이 아니라 나중에 두는 것이 쉽다는 의견이 있었다.
그리고 A중학교 3학년(예비고등학교 1학년) 학생들 중 성적이 우수한 네 명의 학생을 대상으로 2018년 11월 본 연구에서 수정한 교과서 설명과 유사한 풍산자 문제집의 설명과 기존 교과서의 설명 중 어느 것이 이해하기 쉬운지에 대한 두 번째 설문 조사를 실시하였다. 네 명의 학생은 편의상 접근이 용이했던 임의 추출한 학생들로 역시 조사결과를 일반화하는 데에는 한계가 있지만, 어떠한 연구 방향에 대한 설명 없이 설문 조사를 실시하였다. [그림Ⅲ-2]은 도형의 평행이동의 두 가지 설명에 대한 이해도의 두 번째 설문조사지로 2번 설명의 스캔한 부분 글씨가 흐려서 본문과 같은 글자 모양으로 재작성한 것이다.
[그림Ⅳ-5]의 풍산자 수학(상) 문제집의 증명처럼 대입하는 과정을 나중에 두는 것이 쉽다고 응답한 학생이 있었다. 두 번째 설문조사 결과를 토대로 [그림Ⅳ-7]과 같이 두 번째로 평행이동에 대한 설명을 수정해 보았다. 물론 그림을 예로 들어 설명을 보충할 수 있다.
본 연구에서는 설문 결과와 논문에서 언급된 여러 외국의 사례를 참고하여 [그림Ⅳ-4]와 같이 도형의 평행이동에 대한 설명을 좀 더 이해하기 쉽게 수정하였다. [그림Ⅳ-4]는 도형의 평행이동에 대한 첫 번째 수정한 설명이다.
본 연구에서는 연구의 신뢰도를 높이기 위하여 blind study로 학생들에게는 설문조사지의 두 설명 중 이해하기 쉬운 번호를 선택하도록 하고 이유를 쓰도록 하였다. 본 연구에서는 그 이유 중에서 도형 위의 임의의 점에 대한 교과서와 다른 표현에 대해 문제제기를 하는지에 대해 살펴보고자 하였다.
연구의 신뢰도를 높이기 위해서 수업을 시작하기 전에 설문 조사를 실시하였다. 비교반과 실험반을 구성하여 2번 설명과 1번 설명을 한 후 설문조사를 실시할 경우 교사의 의도적인 개입으로 실험 결과의 신뢰도에 문제가 생길 것으로 판단되어 1번 설명과 2번 설명 중 어느 것에 대해서도 가치판단을 하지 않고 설문 조사를 실시하였다. 설문 조사를 실시했던 K고등학교의 해당 학급의 학생들은 편의상 접근이 용이했던 학생들로 조사 결과를 일반화하는 데에는 한계가 있지만, 결과의 신뢰도를 확보하기 위하여 연구의 방향을 이해도에 대해 묻는 것처럼 하였으며, 논문 연구를 위한 것으로 학생들의 동의를 얻어 설문 조사를 실시하였다.
비교반과 실험반을 구성하여 2번 설명과 1번 설명을 한 후 설문조사를 실시할 경우 교사의 의도적인 개입으로 실험 결과의 신뢰도에 문제가 생길 것으로 판단되어 1번 설명과 2번 설명 중 어느 것에 대해서도 가치판단을 하지 않고 설문 조사를 실시하였다. 설문 조사를 실시했던 K고등학교의 해당 학급의 학생들은 편의상 접근이 용이했던 학생들로 조사 결과를 일반화하는 데에는 한계가 있지만, 결과의 신뢰도를 확보하기 위하여 연구의 방향을 이해도에 대해 묻는 것처럼 하였으며, 논문 연구를 위한 것으로 학생들의 동의를 얻어 설문 조사를 실시하였다.
본 연구에서는 그 이유 중에서 도형 위의 임의의 점에 대한 교과서와 다른 표현에 대해 문제제기를 하는지에 대해 살펴보고자 하였다. 연구의 신뢰도를 높이기 위해서 수업을 시작하기 전에 설문 조사를 실시하였다. 비교반과 실험반을 구성하여 2번 설명과 1번 설명을 한 후 설문조사를 실시할 경우 교사의 의도적인 개입으로 실험 결과의 신뢰도에 문제가 생길 것으로 판단되어 1번 설명과 2번 설명 중 어느 것에 대해서도 가치판단을 하지 않고 설문 조사를 실시하였다.
본 연구에서는 학생들은 원래 도형 위의 점을 점 (x,y) 또는 점 (c,d)로 두는 것에 대해 사용한 문자수의 많고 적음에 문제를 제기했을 뿐 어떤 문자로 두느냐에 대해 문제를 제기하지는 않았기 때문에 [그림Ⅳ-4]로 교과서 표현을 바꾼다 해도 교사의 구체적 설명이 없는 이상 특이하다고 생각하지 않을 것으로 보았다. 평행이동한 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 도형 위의 임의의 점을 나타내는 표현에는 다양성이 필요하므로 교과서 표현을 바꾸었다.

대상 데이터

2015년 6월 실시한 설문 조사 결과를 분석해 보면, 동그라미를 하고 제출한 학생은 총 31명 중 28명이었다. 그 중 모르겠다, 비슷하다, 둘 다 어렵다는 답을 적은 학생이 3명이었으며, 1번 설명이 이해하기 쉽다는 의견을 적은 학생이 1명, 2번 설명이 이해하기 쉽다는 의견을 적은 학생이 24명이었다.
그 중 모르겠다, 비슷하다, 둘 다 어렵다는 답을 적은 학생이 3명이었으며, 1번 설명이 이해하기 쉽다는 의견을 적은 학생이 1명, 2번 설명이 이해하기 쉽다는 의견을 적은 학생이 24명이었다. 2번 설명이 쉽다고 동그라미만하고 이유를 적지 않은 학생은 7명이었다. [그림Ⅳ-1]은 설문 조사 결과 각 내용에 응답한 학생 수 분포를 차트로 나타낸 것이다.
K고등학교 1학년 학생들을 대상으로 2015년 6월 본 연구에서 연구한 설명과 기존 교과서의 설명 중 어느 것이 이해하기 쉬운지에 대한 첫 번째 설문 조사를 실시하였다.
1번 설명이 이해하기 쉽다는 1명의 학생은 2번이 좀 더 간단하지만 이해하기에는 많은 정보를 나열한 1번이 마음에 든다고 하였다. 이 학생은 K고등학교에서 수학과목 성적이 상위권인 학생으로 1학년 2학기 중간고사 전 과목 평균 성적이 전교 석차 1등이었던 학생이다. 수학뿐만 아니라 다른 과목에서도 성적이 좋았던 학생이다.
학생의 응답지를 살펴보면, 학생 A는 f(x, y) = 0 위의 한 점을 점 P(a,b)로 하여 1번 설명과 다르게 미지수를 하나 더 추가하여 2번 설명이 더 헷갈리지 않는다고 하였으며, (a, b)를 f(x, y) = 0에 대입하고, a와 x, m과 b와 y,n과의 관계만 사용하면 증명이 된다고 하였다. 학생 A는 중학교 3학년 2학기 기말고사 수학 성적이 96점인 학생이었다. 학생 B 역시 다른 미지수로 두고 나중에 대입하여 2번 설명이 더 이해하기 쉽다고 하였다.

성능/효과

)으로 두고 평행 이동한 새로운 점의 좌표를 점 (x, y)로 두는 것으로 교과서 표현을 간단하게 수정할 것을 제안하였다. 그러나 두 번째 설문조사지의 결과를 볼 때 본 연구 결과와 유사한 풍산자 수학(상) 문제집의 설명을 학생들이 더 이해하기 쉬워함을 알 수 있었는데 도형 위의 점을 도형의 방정식에 대입하는 순서도 처음이 아니라 나중에 두는 것이 쉽다는 의견이 있었다. 두 번째 설문조사의 결과에서도 학생들의 답안을 살펴보면 학생들 모두 평행이동되기 전 도형 위의 임의의 점을 점 (x,y)로 두지 않고 다른 문자로 둔 것에 대하여 어떠한 문제도 제기하지 않았으며 평행이동 된 도형 위의 점을 점 (x, y)로 두는 것에 대해서도 문제를 제기하지 않았다.
본 연구에서 도형의 평행이동에 대해 제시한 설명보다 기존의 교과서의 설명이 이해하기가 더 쉽다는 의견이 많이 나왔다. 학생들은 문자가 많이 나오는 것을 이해하기 어렵다고 받아들였으며, 도형 위의 점의 좌표를 주어진 도형의 방정식에 대입하면 성립한다는 것을 이해하지 못하는 학생들이 있는 것으로 파악되었다.
본 연구에서는 교과서와 다른 표현에 대한 이 학생의 반응을 살피고자 학생의 답안을 살펴 본 결과, 이 학생은 2번 설명에서 1번 설명과 다르게 미지수가 한 개 더 추가되었다는 것에 긍정적인 반응을 보였으며, a와 x, m과 b와 y,n의 각 세 문자들 사이의 관계를 이용하면 쉽게 증명이 된다고 하였다. 1차 설문조사지의 1번 설명과 같이 평행이동 된 도형 위의 점을 점 (x, y)로 두지 않고 또 다른 문자로 두었다면 관계를 파악해야 할 각 문자의 개수가 4개가 된다.
그리고 도형 위의 점을 그림으로 직접 나타내는 것을 생략하였다. 본 연구에서는 새로운 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 새로운 도형의 모양을 짐작할 수는 있지만 결론을 내고 그림을 그리고 나면 유도 과정이 큰 의미가 없다고 보았다. 유도 과정과 별도로 도형의 그림을 원, 포물선 등을 예로 들어 별도로 나타내는 것이 바람직할 것으로 보았다.
이러한 설명 방식은 대칭이동한 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 도형 위의 임의의 점을 표현하는 방식에서도 같은 경우로 개선되어야 한다. 우리나라 교과서에서 평행이동한 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 사용된 문자는 본 연구에서 조사한 교과서에서 모두 같은 방식이었으며, 이 방식은 약 50년 전 한 교과서에서도 그대로 나타나 있던 것을 확인하였다. 이러한 방식은 학생들의 사고의 유연성을 방해하고 경직된 사고를 하도록 하므로 교과서 증명의 도형 위의 점의 문자 사용법을 유일하게 받아들이지 않고 다양한 관점이 가능하다는 교육이 필요하다고 본다.
본 연구에서는 새로운 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 새로운 도형의 모양을 짐작할 수는 있지만 결론을 내고 그림을 그리고 나면 유도 과정이 큰 의미가 없다고 보았다. 유도 과정과 별도로 도형의 그림을 원, 포물선 등을 예로 들어 별도로 나타내는 것이 바람직할 것으로 보았다.
도형의 평행이동에 대한 다양한 설명이 가능함에도 불구하고 우리나라 교과서 속에는 익숙해진 표현으로 50년 넘게 같은 표현으로 다양성 없이 지속되어 온 도형의 평행이동에 관한 설명이 있었다. 첫 번째 설문 조사 결과를 분석하여 볼 때, 우리나라 교과서의 도형의 평행이동에 대한 설명에 대한 개선책으로 Urabe(2018)과 같이 구좌표와 신좌표의 문자를 바꾸는 것이 가장 좋은 방법이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	도형이란?	도형은 점, 선, 면, 입체 또는 이들 집합으로 이루어진 것을 의미한다고 하였다(두산백과사전, 2018b). 그러므로 직선, 원, 포물선 등은 도형에 해당된다.
	평행이동한 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 사용된 문자는 어떤 문제점이 있는가?	우리나라 교과서에서 평행이동한 도형의 방정식을 유도하는 과정에서 사용된 문자는 본 연구에서 조사한 교과서에서 모두 같은 방식이었으며, 이 방식은 약 50년 전 한 교과서에서도 그대로 나타나 있던 것을 확인하였다. 이러한 방식은 학생들의 사고의 유연성을 방해하고 경직된 사고를 하도록하므로 교과서 증명의 도형 위의 점의 문자 사용법을 유일하게 받아들이지 않고 다양한 관점이 가능하다는 교육이 필요하다고 본다.
	교과서에서 평행이동한 도형의 방정식을 구할 때 평행이동된 도형과 그 도형 위의 점을 어떻게 표현하는가?	교과서에서는 도형 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구할 때 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로, 평행이동 된 도형 f(x-a, y-b) = 0 위의 점은 점 (x', y') 로 표현하고 있다. 도형 f(x, y) = 0 위의 임의의 점을 점 (x, y)로 표현한다면 점 (x, y)와 도형 f(x, y) = 0은 다른 대상인데 같은 문자들이 사용되어지고 있다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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