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프랙털 도형과 카오스 게임 탐구
A Study on the Fractal and Chaos Game 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.33 no.2, 2019년, pp.67 - 84  

김수환 (청주교육대학교) ,  윤준서 (청주청석고등학교) ,  조민준 (충북과학고등학교)

초록
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본 논문은 창의적 교육용 웹 기반 OKMINDMAP을 활용하여 중3학생 2명을 연구대상자로 선정하여 2018년 3월부터 12월까지 100시간의 수업과 여름방학의 2박3일 집중캠프를 통한 집중탐구활동의 결과물이다. 교사는 조력자로 연구문제는 학생 2명이 스스로 선정하였으며 다양한 프랙털 도형에 관한 차원을 생성함수를 변형하여 조사하였으며, 변형 시어핀스키 삼각형에서도 카오스게임이 가능함을 보인 연구물이다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The purpose of this study is to investigate the effectiveness of intensive inquiry activity through intensive camp for 2 hours and 3 days in summer vacation and 100 hours of classes from March to December 2018 by selecting 2 middle school students using OKMINDMAP for creative education. It is the re...

주제어

#프랙털 도형   #카오스 게임   #시어핀스키 삼각형   #시어핀스키 사면체  

표/그림 (28)

AI 본문요약
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문제 정의

  • 차원을 직관적인 방법으로 말하자면, 직선은 일차원 대상들, 평면은 이차원 대상들이 전형적인 것이다. 도형의 닮음비, 넓이의 비, 부피의 비 등에 대하여 생각해보자. 두 평면도형의 닮음비가 m : n이면 넓이의 비는 m2 : n2이다.
  • 따라서 본 연구에서는 학습자의 추론 능력 향상을 위하여 프랙털 도형과 카오스 게임에 대하여 학생들이 스스로 조사한 후, OK마인드맵(OKmind map)을 활용하여 프랙털 도형의 생성함수와 차원에 관하여, 변형 시어핀 스키 삼각형에서도 카오스 게임을 할 수 있을지에 대한 질문을 제기하면서 다음과 같은 연구를 시도하였다.
  • 연구 결과는 여러 가지 프랙털 도형의 생성함수에 대한 기술 및 차원 계산과 프랙털 도형 생성함수의 변형방식에 따라 그 차원 계산 공식의 일반화가 가능한 지를 탐구해보고 카오스 도형에 대한 탐구다. 차원 계산은공학용 계산기를 이용할 수도 있었으며 상용로그를 이용하여 계산할 수도 있었다.
  • 전 단계의 도형과 크기가 같은 복사물을 갖도록 다음 단계 확대도를 아래와 같이 그린다. 즉, 2단계 코흐곡선을 3배로 확대한 도형을 만들어보자.

가설 설정

  • (4) 변형 시어핀스키 삼각형에서도 카오스 게임을 할 수 있을까?
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
프랙털 구조란 무엇인가 프랙털 도형은 컴퓨터 소프트웨어를 활용하여 재귀적이거나 반복적인 작업에 의해 만들어지는 패턴으로 시어 핀스키 삼각형, 시어핀스키 사면체, 칸토어 집합 등 여러 가지 고전적인 유형의 프랙털이 있다. 프랙털이란 작은 일부 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 가지는데, 이러한 특징을 ‘자기 유사성(self-similarity)’이라고 하며, 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙털 구조라고 한다. 한편 카오스 게임이란 혼돈 이론(Chaos theory)의한 분야로 게임이지만 프랙털로 표현될 수 있는 질서가 나타난다(위키백과).
프랙털 도형에는 어떤 유형이 있는가 프랙털 도형은 컴퓨터 소프트웨어를 활용하여 재귀적이거나 반복적인 작업에 의해 만들어지는 패턴으로 시어 핀스키 삼각형, 시어핀스키 사면체, 칸토어 집합 등 여러 가지 고전적인 유형의 프랙털이 있다. 프랙털이란 작은 일부 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 가지는데, 이러한 특징을 ‘자기 유사성(self-similarity)’이라고 하며, 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙털 구조라고 한다.
프랙털 도형의 생성함수와 차원 계산은 어떻게 하는가 여러 가지 프랙털 도형의 차원을 계산함에 있어서, 2차원 도형은 닮음비가 1 : n이면 크기의 비가 1 : n2 이 되고, 3차원 도형은 닮음비가 1 : n이면 크기의 비가 1 : n3 이 되는 점을 이용하여 프랙털 도형의 경우로 일반화할 경우, 닮음비가   이면 크기의 비가 1 : nd 이 됨을 이용할 수 있다. 1차원 도형에서 시작된 프랙털 도형으로는 잘 알려져 있는 칸토르의 집합은 0.631차원, 코흐 곡선 1.262차원, 페아노 곡선 2차원 등이 대표적이다. 이 페아노 곡선은 그 차원이 2가 되므로, 평면을 가득 채우는 곡선이 되는것을 알 수 있다. 2차원 도형에서 시작된 프랙털 도형으로는 잘 알려져 있는 시어핀스키 삼각형 1.595차원, 시어핀스키 양탄자 1.893차원, 정사각형 위의 속이 빈 정육면체는 2.33차원 등의 대표적인 프랙털 도형이다. 3차원 도형에서 시작된 프랙털 도형으로는 잘 알려져 있는 멩거의 스폰지 2.727차원, 시어핀스키 사면체 2차원 등이 대표적인데, 시어핀스키 사면체는 그 차원이 2가 되어 3차원 도형에서 시작되지만 점점 2차원 도형으로변모해가는 특별한 도형이 됨을 알 수 있다.
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참고문헌 (8)

  1. Kim Soo Hwan (2017). Cases of Mathematics Gifted Education Programs -Math, learn differently. Seoul : Dongmyeong Sa. 

  2. Kim Soo Hwan (2016). The History of Mathematics. Seoul : Gyowoo Sa. 

  3. Park Gyo Sik (2003). A Study on the Number of Fractal Graphics. Incheon National University of Education Journal of Science Education, 15, 1-29. Gyeonggido : Gyeongin National University of Education 

  4. Son Hong Chan (2010). Material research for teaching and learning of mathematical reasoning and connectivity-Focusing on the Number of Figures, Pascal's Triangle, Fibonacci Sequence. The Korean Journal of Mathematics Education . 12(4),619-637. 

  5. Shin In Seon & Ryu Hee Chan translation (2002). Fractal Geometry for Mathematics Teachers. Seoul : Gyeongmoon Sa. 

  6. NCTM (1992). Fractals for the Classroom Part One Introduction to Fractals and Chaos. VA : THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. 

  7. NCTM (1992). Fractals for the Classroom Part Two Complex Systems and Mandelbrot Set. VA : THE NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. 

  8. Tannenbaum PETER (2007). Excursions in Modern Mathematics with mini excursions, sixth Edition. NJ : Pearson Prentice Hall. 

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