[논문]효율적이고 신뢰성있는 자연요소 균열해석을 위한 균열선단 그리드 세분화기법

조진래

doi:10.7734/coseik.2019.32.3.183

효율적이고 신뢰성있는 자연요소 균열해석을 위한 균열선단 그리드 세분화기법
A Near-tip Grid Refinement for the Effective and Reliable Crack Analysis by Natural Element Method 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.32 no.3, 2019년, pp.183 - 190

조진래 (홍익대학교 조선해양공학과)

초록
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본 논문은 균열선단 그리드 세분화기법을 소개하고 자연요소법을 이용한 균열해석에 이 기법을 적용함으로서 그 유효성을 고찰하였다. 유한요소법에 있어서의 국부적 h-세분화와 같이 높은 응력 특이성을 보이는 균열선단 주위를 따라 자연요소법 그리드를 국부적으로 세분화하였다. 본 논문에서 소개되는 그리드 세분화기법은 2단계로 구성되며, 1단계에서는 그리드 점들이 추가되고 2단계에서는 균열선단 절점을 공유하는 델라우니 삼각형들이 나뉘게 된다. 제안하는 그리드 세분화기법의 타당성과 균열해석에서의 유효성을 입증하기 위해 대칭 엣지 균열을 갖는 평면 변형률 상태의 사각 평판을 해석하였다. 수치해석 결과의 상대비교를 위해 균일한 자연요소 그리드를 이용한 균열해석도 수행하였으며, 균열선단이 세분화된 그리드는 균일한 그리드와는 달리 이론해와 조밀한 그리드와 유사한 균열선단 응력분포를 나타내었다. 또한, 총 그리드 절점수에 대한 해석결과의 전역 상대오차에서도 세분화된 그리드가 균일한 그리드에 비해 높은 수렴율 나타내었다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper introduces a near-tip grid refinement and explores its usefulness in the crack analysis by the natural element method(NEM). As a sort of local h-refinement in finite element method(FEM), a NEM grid is locally refined around the crack tip showing high stress singularity. This local grid refinement is completed in two steps in which grid points are added and Delaunay triangles sharing the crack tip node are divided. A plane strain rectangular plate with symmetric edge cracks is simulated to validate the proposed local grid refinement and to examine its usefulness in the crack analysis. The crack analysis is also simulated using a uniform NEM grid for comparison. Unlike the uniform grid, the refined grid provides near-tip stress distributions similar to the analytic solutions and the fine grid. In addition, the refined grid shows higher convergence than the uniform grid, the global relative error to the total number of grid points.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

소개하고자 하는 그리드 세분화는 유한요소법에서 요소망 국부 h-세분화가 해석결과의 정확도를 효과적으로 향상시킨다는 사실(Szabo and Babuska, 1991)에 착안한 것이다. 본 연구의 주된 목적은 자연요소법에 의한 균열해석에서 균열선단 그리드 세분화가 해석결과 향상에 얼마나 효과적인지 탐구하는 것이다. 이를 위해 균열선단 주위의 응력분포를 이론해 그리고 균일 자연요소 그리드의 해석결과와 비교하였다.

가설 설정

다음으로 균일한 그리드와 균열선단 세분화 그리드로 구한균열해석 결과에 대한 오차분석을 수행하였다. 이 문제의 변위장에 대한 엄밀해를 구할 수 없기 때문에 편향된 매우 조밀한 자연요소 그리드로 구한 변위장을 엄밀해 #이라고 가정한다.그러면 나머지 두 그리드로 구한 변위장 u_h의 에너지 노옴(energy norm)에서의 전역 절대오차(global absolute error)#_E(Ω)는 다음과 같이 근사할 수 있다(Szabo andBabuska, 1991).

제안 방법

앞의 3절에서 소개한 균열선단 그리드 세분화기법에 대한알고리듬을 Fortran으로 코딩하고, 앞서 개발된 자연요소법 프로그램(Cho and Lee, 2006)에 통합시켰다. 그리고 소개한 기법의 벤치마크를 위해 Fig. 8에 나타낸 대칭 엣지 균열(edge cracks)이 있는 직사각형 평판을 선택하였다. 평판은 평면 변형률 상태에 있으며 영률과 프와송 비는 각각 E=200GPa와 v=0.
이 균열문제는 특이요소(singularelement)을 이용한 유한요소해석 연구를 위해 Tracey (1971)가 처음 도입하였으며 그 이후에는 Barsoum(1976)이 채택하였다. 문제의 대칭성을 이용하여 음영 처리된 좌측 상단의1/4 영역을 균열해석에 사용하였다.
세 가지 유형의 NEM 그리드에 대해 균열해석을 수행하였으며, 균열선단 주위의 응력분포를 이론해와 비교하였다. 이론해와 완전히 다른 일정한 응력분포를 나타낸 균일한 그리드와 달리 균열선단이 세분화된 그리드는 매우 조밀한 그리드와 같이 이론해와 유사한 응력분포를 나타내었다.
앞의 3절에서 소개한 균열선단 그리드 세분화기법에 대한알고리듬을 Fortran으로 코딩하고, 앞서 개발된 자연요소법 프로그램(Cho and Lee, 2006)에 통합시켰다. 그리고 소개한 기법의 벤치마크를 위해 Fig.
본 연구의 주된 목적은 자연요소법에 의한 균열해석에서 균열선단 그리드 세분화가 해석결과 향상에 얼마나 효과적인지 탐구하는 것이다. 이를 위해 균열선단 주위의 응력분포를 이론해 그리고 균일 자연요소 그리드의 해석결과와 비교하였다. 또한, 해석결과의 향상 정도를 전역 상대오차(global relative error)의 수렴률(convergence ratio)을 이용하여 고찰하였다.
2단계로 구성된 알고리듬을 통해 균열선단 절점에접한 델라우니(delaunay) 삼각형들은 보다 작은 삼각형들로 세분화되었으며, 삼각형들의 교점에는 절점이 새로이 생성되었다. 제안한 그리드 세분화기법의 타당성과 유용성을 입증하기위해 대칭 엣지 크랙(edge cracks)을 가진 직사각형 판재의모드 I 균열해석을 수행하였다.

대상 데이터

균열해석을 위해서 3가지 유형의 자연요소 그리드가 사용되었다. Fig.
본 논문에서는 자연요소법(NEM)에 의한 균열해석의 효율성과 신뢰성을 향상시키기 위한 균열선단 그리드 세분화기법을 조진래 한국전산구조공학회 논문집 제32권 제3호(2019.6) 189소개하였다. 2단계로 구성된 알고리듬을 통해 균열선단 절점에접한 델라우니(delaunay) 삼각형들은 보다 작은 삼각형들로 세분화되었으며, 삼각형들의 교점에는 절점이 새로이 생성되었다.

데이터처리

다음으로 균일한 그리드와 균열선단 세분화 그리드로 구한균열해석 결과에 대한 오차분석을 수행하였다. 이 문제의 변위장에 대한 엄밀해를 구할 수 없기 때문에 편향된 매우 조밀한 자연요소 그리드로 구한 변위장을 엄밀해 #이라고 가정한다.
이를 위해 균열선단 주위의 응력분포를 이론해 그리고 균일 자연요소 그리드의 해석결과와 비교하였다. 또한, 해석결과의 향상 정도를 전역 상대오차(global relative error)의 수렴률(convergence ratio)을 이용하여 고찰하였다.

이론/모형

본 연구는 자연요소법의 균열해석 적용에 관한 것으로서 균열선단 주위의 자연요소 그리드 세분화(NEM grid refinement)기법을 내용으로 한다. 소개하고자 하는 그리드 세분화는 유한요소법에서 요소망 국부 h-세분화가 해석결과의 정확도를 효과적으로 향상시킨다는 사실(Szabo and Babuska, 1991)에 착안한 것이다.
선정된 3개의 자연요소 그리드에 대한 균열해석을 2절에 소개한 자연요소법으로 수행하였으며, 수치적분을 위해 13개가우스 적분점(gauss points)을 사용하였다. 다음의 Fig.

성능/효과

6) 189소개하였다. 2단계로 구성된 알고리듬을 통해 균열선단 절점에접한 델라우니(delaunay) 삼각형들은 보다 작은 삼각형들로 세분화되었으며, 삼각형들의 교점에는 절점이 새로이 생성되었다. 제안한 그리드 세분화기법의 타당성과 유용성을 입증하기위해 대칭 엣지 크랙(edge cracks)을 가진 직사각형 판재의모드 I 균열해석을 수행하였다.
이러한 경향은 균열선단 세분화 그리드에서도 확인할 수 있다. 균열선단 세분화그리드의 총 절점수가 편향된 조밀한 그리드의 총 절점수의20% 미만인 점을 감안하면 제안하는 균열선단 세분화기법의효율성과 신뢰성을 확실히 정당화할 수 있다. 하지만, FEM에서는 균열선단 세분화 그리드를 사용하여도 응력분포의 정확도는 거의 향상되지 않음을 볼 수 있다.
하지만 균열선단이 세분화된 그리드의 총 절점수는 조밀한 그리드의 20% 미만이었다. 그리고 그리드 밀도(grid density)에 따른 해석결과의 오차분석을 통해 균열선단 세분화된 그리드가 모든 그리드 밀도에서 균일 그리드 보다 낮은 오차와 높은 수렴률을 나타내었다. 따라서, 제안한 그리드 세분화기법의 효율성과 신뢰성이 수치해석을 통해 명확히 입증되었다.
균열선단 세분화된 그리드가 균일한 그리드 보다 좀 더 높은 수렴률(convergence rate)을 나타낸다. 따라서, 균열선단에 5개의 절점을 추가함으로서 오차는 감소하고 수렴률은 향상되었다. 상하 1/2 풀 모델 역시 거의 유사한 수렴률을 나타낸다.
하지만, FEM에서는 균열선단 세분화 그리드를 사용하여도 응력분포의 정확도는 거의 향상되지 않음을 볼 수 있다. 따라서, 균열해석에 있어 자연요소법이 유한요소법에 비해 높은 정확성을 제공함을 확인할 수 있다.
그리고 그리드 밀도(grid density)에 따른 해석결과의 오차분석을 통해 균열선단 세분화된 그리드가 모든 그리드 밀도에서 균일 그리드 보다 낮은 오차와 높은 수렴률을 나타내었다. 따라서, 제안한 그리드 세분화기법의 효율성과 신뢰성이 수치해석을 통해 명확히 입증되었다. 더욱이 볼록하지 않는 영역을 포함하는 자연요소 그리드에서도 일반성과 수렴성을 나타내었다.

후속연구

본 논문에서는 세분화를 2단계까지 실시하였지만, 추가적으로 세분화가 가능하며 보다 정확한 근사해를 구할 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한요소법이 안고있는 문제점은?	, 1994; Liu et al., 1995; Duarte and Oden,1996)은 유한요소법(FEM: finite element method)이 안고있는 요소망 생성과 세분화의 번거로움 그리고 요소 찌그러짐에따른 문제점을 해결하기 위해 탄생하였다. 하지만, 이러한 무요소기법들은 그리드 절점에서 크로네커 델타(kronecker delta)성질을 만족하지 않아 변위 경계조건 처리를 위해 추가적인기법이 필요하다(Zu and Atluri, 1998).
	자연요소법이 무요소기법이 안고 있는 경계조건 처리과 수치적분상의 문제를 해결할 수 있는 이유는?	, 1998)으로 해결이 가능하다. 자연요소법에서는 보간함수들이 그리드 절점이 아닌 보로노이(voronoi)다이어그램과 델라우니(delaunay) 삼각화를 기반으로 정의되기 때문에 크로네커 델타 성질을 만족한다. 또한 보간함수 정의를 위해 생성된 델라우니 삼각형들이 가우스 구적분에 의한수치적분을 위한 배경 셀 역할을 하기 때문이다(Sukumar etal., 1998; Lee and Cho, 2008).

참고문헌 (12)

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Braun, Jean, Sambridge, Malcolm. A numerical method for solving partial differential equations on highly irregular evolving grids. Nature, vol.376, no.6542, 655-660.

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원문보기 상세보기
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10.1002/(SICI)1097-0207(19981115)43:5<839::AID-NME423>3.0.CO;2-R

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10.1002/(SICI)1098-2426(199907)15:4<417::AID-NUM2>3.0.CO;2-S

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Tracey, D.M.. Finite elements for determination of crack tip elastic stress intensity factors. Engineering fracture mechanics, vol.3, no.3, 255-265.

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Zhu, T., Atluri, S. N.. A modified collocation method and a penalty formulation for enforcing the essential boundary conditions in the element free Galerkin method. Computational mechanics, vol.21, no.3, 211-222.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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