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피타고라스의 정리 II : 평행공리와의 관계
Pythagorean Theorem II : Relationship to the Parallel Axiom 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.32 no.5, 2019년, pp.241 - 255  

조경희 (Division of Liberal Arts and Sciences, Mokpo National Maritime Univ.) ,  양성덕 (Dept. of Math., Korea Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The proposition that the parallel axiom and the Pythagorean theorem are equivalent in the Hilbert geometry is true when the Archimedean axiom is assumed. In this article, we examine some specific plane geometries to see the existence of the non-archimidean Hilbert geometry in which the Pythagorean t...

주제어

#피타고라스의 정리   #평행공리   #준-유클리드   #아르키메데스의 공리  

AI 본문요약
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문제 정의

  • 피타고라스의 정리는 성립하지만 평행공리가 성립하지 않는 비-아르키메데스 힐베르트 기하가 존재한다. 이 논문에서는 이러한 피타고라스의 정리와 평행공리의 관계에 있어서 극적인 차이를 나타내는 아르키메데스 힐베르트 기하와 비-아르키메데스 힐베르트 기하를 구체적인 모델을 통하여 비교 분석하고, 이 과정에서 피타고라스의 정리의 본질을 살펴본다.
  • 이제 비-아르키메데스 기하를 살펴 보자. 앞에서 정의한 수체 F 는 피타고라스 수체 가 아니므로 F 위에서 정의된 좌표평면기하 ΠF는 힐베르트 기하라고 할 수 없다.

가설 설정

  • (i) 내각의 합이 두 직각인 삼각형이 존재한다.
  • (ii) F 가 유클리드 수체이면 ΠF는 원의 연속원리를 만족한다.
  • (iii) 선분 AB 가 존재하여 임의의 선분 CD 에 대하여 nAB > CD 인 자연수 n이 존재한다.
  • 따름정리 3.2: 평행공리가 성립하는 힐베르트 평면에서는 피타고라스의 정리가 성립한다.
  • 임의의 힐베르트 기하에서 각을 이등분할 수 있으므로 (유클리드 명제 I.95)) 우리는 β가 예각이라고 가정할 수 있다.
  • 정리 4.1: 피타고라스의 정리가 성립하는 아르키메데스 힐베르트 평면에서는 평행공리가 성립 한다.
  • 정리 6.2: 피타고라스의 정리가 성립하는 힐베르트 기하는 준-유클리드 기하이다.
  • 정리 6.5: 준-유클리드 힐베르트 평면은 피타고라스의 정리를 만족시킨다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
비-아르키메데스 힐베르트 기하는 어떤 특징이 있는가? 아르키메데스의 공리가 성립하는 힐베르트 기하에 서는 평행공리와 피타고라스의 정리가 동치이지만, 비-아르키메데스 힐베르트 기하에서는 그렇지 않다. 피타고라스의 정리는 성립하지만 평행공리가 성립하지 않는 비-아르키메데스 힐베르트 기하가 존재한다. 이 논문에서는 이러한 피타고라스의 정리와 평행공리의 관계에 있어서 극적인 차이를 나타내는 아르키메데스 힐베르트 기하와 비-아르키메데스 힐베르트 기하를 구체적인 모델을 통하여 비교 분석하고, 이 과정에서 피타고라스의 정리의 본질을 살펴본다.
힐베르트 기하는 무엇인가? 힐베르트의 다섯 공리군 [10] 중 결합공리군, 순서공리군, 합동공리군을 모두 만족시키는 평면기하를 우리는 중립기하, 절대기하, 또는 힐베르트 기하라고 부른다. 이 논문에서는 힐베르트 기하라고 명명하기로 한다.
아르키메데스의 공리와 힐베르트의 공리계의 여러 기하 모델은 어떤 관계가 있는가? 아르키메데스의 공리의 성립 여부가 위 두 명제의 동치 여부를 결정하기 때문이다. 아르키메데스의 공리가 성립하는 힐베르트 기하에 서는 평행공리와 피타고라스의 정리가 동치이지만, 비-아르키메데스 힐베르트 기하에서는 그렇지 않다. 피타고라스의 정리는 성립하지만 평행공리가 성립하지 않는 비-아르키메데스 힐베르트 기하가 존재한다. 이 논문에서는 이러한 피타고라스의 정리와 평행공리의 관계에 있어서 극적인 차이를 나타내는 아르키메데스 힐베르트 기하와 비-아르키메데스 힐베르트 기하를 구체적인 모델을 통하여 비교 분석하고, 이 과정에서 피타고라스의 정리의 본질을 살펴본다.
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참고문헌 (24)

  1. David E. DOBBS, A single instance of the Pythagorean theorem implies the parallel postulate, Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 33(4) (2002), 596-600. 

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  4. M. J. GREENBERG, (Translation in Korean by Lee, Woo Young), Euclidean and Non-Euclidean geometries, Kyung Moon Sa, 1997. M. J. Greenberg, 이우영 역, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학, 경문사, 2013. 

  5. M. J. GREENBERG, Euclidean and Non-Euclidean Geometries : Development and History, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1980. 

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    상세보기

  8. R. HARTSHORNE (難破誠번역), 幾何？I, II, 現代？？から見たユ？クリッド原論, 丸善出版 株式？社, 2012. 

  9. T. L. HEATH, The thirteen books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary, 2nd ed., 3 vols, Cambridge University Press, 1926(Dover reprint 1956). 

  10. D. HILBERT, The Foundations of Geometry, 2nd English Edition, Authorized translated by Leo Unger from the 10th German Edition, Revised and Enlarged by Dr. Paul Bernays, The open court publishing company, 1971. 

  11. K. JO, A historical study of de Zolt's axiom, The Korean Journal for History of Mathematics 30(5) (2017), 261-287. 

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  14. R. KAYA, Area formula for Taxicab triangle, ME Journal 12(4) (2006), 219-220. 

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  22. K. P. THOMPSON, The nature of length, area, and volume in Taxicab geometry, Int. Electron. J. Geom. 4(2) (2011), 193-207. 

  23. YUN Gabjin, Geometry, Kyo Woo Sa, 2009. 윤갑진, 기하학, 교우사, 2009. 

  24. https://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml 

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