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피타고라스의 정리 III : 등각사각형의 관점에서
Pythagorean Theorem III : From the perspective of equiangular quadrilaterals 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.33 no.3, 2020년, pp.155 - 165  

조경희 (Division of Liberal Arts and Sciences, Mokpo National Maritime Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

Pythagorean theorem is a proposition on the relationship between the lengths of three sides of a right triangle. It is well known that Pythagorean theorem for Euclidean geometry deforms into an interesting form in non-Euclidean geometry. In this paper, we investigate a new perspective that replaces ...

주제어

#직사각형   #등각사각형   #직각삼각형   #반각삼각형   #피타고라스의 정리  

AI 본문요약
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문제 정의

  • 2) 이 절에서는 피타고라스의 정리가 비-유클리드 기하에서 어떻게 일반화되는지 살펴본다.
  • 이 논문에서는 직사각형을 일반화하는 개념으로서 등각사각형을 택함으로써 얻어지는 성질들을 분석하고, 특히 피타고라스의 정리의 여러 동치 명제 중의 하나가 많은 비-유클리드 기하에서 그대로 성립함을 살펴본다.

가설 설정

  • (ii) 꼭지점 A 를 지나 좌표축에 평행인 두 개의 직선 중 하나만 삼각형 ∆ABC 와 만날 때 a = b + c − 2γ 이다.
  • 정리 3.1: 힐베르트 기하의 등각사각형은 원에 내접한다.
  • 정리 3.3: 힐베르트 기하의 임의의 삼각형 △에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
유클리드 기하에서 직각삼각형의 성질이 비-유클리드 기하에서는 어떤 도형이 가지는가? 정리 3.3에서 보았듯이 유클리드 기하에서 직각삼각형이 가지고 있었던 성질들을 많은 비-유클리드 기하의 반각삼각형이 가지고 있으며, 직사각형의 성질 또한 등각사각형이 가지고 있음을 관찰할 수 있었다. 그런 의미에서 직사각형의 자연스러운 확장은 어쩌면 등각사각형이 아닐까 하는 생각을 해 볼 수 있으며, 그러므로 직사각형 또는 직각삼각형과 관련된 유클리드 기하에서의 성질들을 등각사각형과 반각삼각형에 적용하여 생각해 보는 것은 매우 흥미로운 작업이라 생각된다.
구면기하와 쌍곡기하에에서 피타고라스의 정리를 증명한 것의 의미는 무엇인가? 그런데 최근 Paolo Maraner는 [6]에서 직각삼각형의 개념을 다른 방식으로 확장하여 피타고라스의 정리가 변형되지 않고 그대로 성립함을 구면기하와 쌍곡기하에서 증명하였다. 피타고라스의 정리를 훼손하지 않는다는 의미에서 매우 아름답고 자연스러운 것으로 보여지는 이 방향의 일반화에서는 직사각형을 등각사각형으로 대체하였다. 즉, 직각삼각형이 직사각형의 반이라는 점에 착안하여 비-유클리드 기하에서도 등각사각형의 반에 해당 하는 삼각형을 반각삼각형 (proper triangle) 이라는 개념으로 확장하였다. 이러한 확장에 의하여 빗변의 개념이 보다 더 잘 정의되며1) 직각삼각형에 대한 유클리드 기하의 여러 성질 들이 그대로 성립한다.
피타고라스의 정리란? 정리 2.1: (Pythagorean theorem) 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 a, b이고 빗변의 길이가 c일때 a 2 + b 2 = c 2 이 성립한다.
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참고문헌 (7)

  1. Robin HARTSHOME, Geometry: Euclid and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000. 

  2. D. HILBERT, The Foundations of Geometry, 2nd English Edition, Authorized translated by Leo Unger from the 10th German Edition, Revised and Enlarged by Dr. Paul Bernays, The open court publishing company, 1971. 

  3. K. Jo and S.-D. YANG, Pythagorean Theorem I : In non-Hilbert Geometry, Journal for History of Mathematics 31(6) (2018), 315-337. 

  4. K. Jo and S.-D. YANG, Pythagorean Theorem II : Relationship to the Parallel Axiom, Journal for History of Mathematics 32(5) (2019), 241-255. 

  5. R. KAYA and H. B. COLAKOGLU, Taxicab versions of some Euclidean theorems, Int. J. Pure Appl. Math. 26(1) (2006), 69-81 

  6. Paolo MARANER, A spherical pythagorean theorem, The Mathematical Intelligencer 32 (2010), 46-50. 

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  7. W. PEJAS, Die Modelle des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie, Math. Annalen 143 (1961), 212-235. 

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