[논문]분계점 비대칭과 멱변환 특징을 가진 비정상-변동성 모형

최선우; 황선영; 이성덕

doi:10.5351/kjas.2020.36.6.713

분계점 비대칭과 멱변환 특징을 가진 비정상-변동성 모형
Volatility-nonstationary GARCH(1,1) models featuring threshold-asymmetry and power transformation 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.33 no.6, 2020년, pp.713 - 722

최선우 (숙명여자대학교 통계학과) , 황선영 (숙명여자대학교 통계학과) , 이성덕 (충북대학교 정보통계학과)

초록
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본 논문에서는 금융시계열의 특징인 비대칭 변동성을 연구하고 있다. 멱변환을 동시에 고려한 멱변환-비대칭 GARCH 모형을 소개하고 있다. 변동성이 비정상인 모형을 다루고 있으며 오차항으로 표준정규분포와 더불어 표준화 t-분포도 고려하여 변동성 정상/비정상 조건을 제시하고 있다. 미국 주가 시계열인 다우지수 적용사례를 예시하였다.

Contrasted with the standard symmetric GARCH models, we consider a broad class of threshold-asymmetric models to analyse financial time series exhibiting asymmetric volatility. By further introducing power transformations, we add more flexibilities to the asymmetric class, thereby leading to power transformed and asymmetric volatility models. In particular, the paper is concerned with the nonstationary volatilities in which conditions for integrated volatility and explosive volatility are separately discussed. Dow Jones Industrial Average is analysed for illustration.

주제어

표/그림 (8)

그림 Figure 4.1. Daily closing price and return rate.
표 Table 4.1. Dow Jones Indices return rate and descriptive statistics
그림 Figure 4.2. Dow Jones Indices Q-Q plot.
그림 Figure 4.3. NIC of Dow Jones return rate: asymmetry.
표 Table 4.2. Selected δ values of distributions
표 Table 4.3. Fitted results of δI-TGARCH
표 Table 4.4. Ljung-Box results
표 Table 4.5. AIC and BIC

AI 본문요약
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문제 정의

다우 자료가 변동성-비정상성이 있는지와 비대칭성(asymmetry)이 있는지를 파악하고자 한다. 수익률 변동성 분석은 R의 rugarch 패키지와 SAS의 AUTOREG와 MODEL 프로시저를 이용하였다.
변동성 입장에서 정상/비정상 모형을 구분해 보자. 시계열 모형 { (cid:2)(cid:2)}에서 (cid:3) -시차 후 변동성 ((cid:3) -step ahead volatility)을 ℎ(cid:2) ((cid:3)) = Var( (cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:4) ∣(cid:4)(cid:2) )으로 표현한다.
수익률 변동성 분석은 R의 rugarch 패키지와 SAS의 AUTOREG와 MODEL 프로시저를 이용하였다. 변동성-비정상성 여부를 판단하기 위해 TGARCH(1, 1) 모형 적합 결과를 살펴보자. TGARCH(1, 1) 모형의 적합 결과는 다음과 같다.
그러므로 다우 자료는 변동성-정상 모형과 동시에 Integrated 변동성-비정상 모형 분석이 유용하리라 판단된다. 변동성의 비대칭성을 확인하기 위해 TGARCH(1, 1) 모형의 적합 결과를 살펴보고 New Impact Cure (NIC) 를 확인해 보고자 한다. NIC는 Engle과 Ng (1993)에 의해 제안된 변동성 비대칭성을 쉽게 파악할 수 있는 그래프로서 직전 수익률을 $-축으로 하고 변동성 ℎ(cid:2)를 %-축으로 그린 그림이다.
1)의 변동성-정상 GARCH(1, 1) 모형과 변동성-비정상 IGARCH(1, 1)은 모두 (cid:2)(cid:2)에 관해서 대칭모형이다. 본 연구에서는 GARCH(1, 1) 모형에 분계점-비대칭(threshold-asymmetry)과 멱변환(power transformation)을 적용하여 다양한 비대칭성을 도입하고 동시에 모형의 수식 다양성을 제고하고자 한다. 특히 변동성-비정상 모형을 중심으로 알아보고자 하며, 미국 다우존스 산업평균지수(다우 지수)에 다양한 변동성-비정상모형을 적용해서 비교하고자 한다.
본 절에서는 변동성-비정상 모형을 미국 다우존스 산업평균 지수(Dow Jones Industrial Average; Dow)의 일별 종가 자료에 적용하고 평가하고자 한다. 사용된 자료는 2014년 1월 2일에서 2017년 12월 29일까지 총 1, 007개의 관측치 데이터이다.
의미하며 비정상 모형은 ℎ(cid:2)((cid:3)) 이 무한대로 발산하는 모형이다. 본 절에서는 비대칭 모형인 TGARCH 모형과 Power TGARCH 모형에서 변동성 정상/비정상 조건을 Park 등 (2009) 및 Hwang 등 (2010)을 중심으로 알아보고자 한다. 먼저, TGARCH 모형을 고려한다.
본 절에서는 식 (1.1)의 표준적인 GARCH(1, 1) 모형에 비대칭성 및 멱변환을 적용하여 다양한 변동성 점화식을 소개하고자 한다. 주로 인용한 문헌은 Choi 등 (2012), Park 등 (2009), Hwang 등 (2010), Rabemananjara와 Zakoian (1993), Terasvirta (2009), Glosten 등 (2003), Hwang과 Kim (2004), 그리고 Hwang과 Basawa (2004)이며 이 문헌들 내부의 참고문헌을 보면 비대칭 멱변환 모형에 대한 많은 정보를 얻을 수 있을 것이다.
본 연구에서는 GARCH(1, 1) 모형에 분계점-비대칭(threshold-asymmetry)과 멱변환(power transformation)을 적용하여 다양한 비대칭성을 도입하고 동시에 모형의 수식 다양성을 제고하고자 한다. 특히 변동성-비정상 모형을 중심으로 알아보고자 하며, 미국 다우존스 산업평균지수(다우 지수)에 다양한 변동성-비정상모형을 적용해서 비교하고자 한다.

가설 설정

먼저, TGARCH 모형을 고려한다. {(cid:7)(cid:2)}의 분포는 평균이 영이고 분산이 1인 표준화된 분포로서 영을 중심으로 대칭임을 가정한다.
모형의 성능을 판단하기 위해 비교 모형으로는 IGARCH(1, 1)와 TGARCH(1, 1) 모형을 사용하고자 한다. 각 모형마다 표준화 오차 {(cid:27)(cid:2)}의 분포는 표준정규분포와 표준화 (cid:3)-분포를 가정하였다. 표준화 (cid:3)-분포는 분산이 1인 분포로서 자유도(df)가 &인 표준화 (cid:3)- 분포의 확률밀도 함수 및 적률은 식 (3.

제안 방법

δI-TGARCH(1, 1) 모형과 비교 모형들을 적합 후 모형별 AIC와 BIC 값을 이용하여 비교하였다. AIC와 BIC 값은 Table 4.
표준화 오차 {(cid:7)(cid:2)}는 평균이 0이고 분산이 1인 iid 과정이고, 연관 모수들은 모두 비음, 즉, (cid:8)(cid:6)>0, (cid:8)(cid:5)≥0, (cid:9)(cid:5)≥0을 만족한다. 고차의 GARCH 모형을 고려할 수 있으나 Hansen과 Lunde (2005)가 주장한 바, 실제 금융/경제 시계열 자료 분석에서 일차 모형인 GARCH(1, 1)만을 고려해도 충분하므로 본 논문에서는 일차 모형만을 다루고자 한다. GARCH(1, 1) 모형에서 (cid:3) -시차 후 변동성 ℎ(cid:2) ((cid:3)) 은 다음과 같은 점화식 구조를 가진다 (Tsay, 2010, 식 (3.
사용된 자료는 2014년 1월 2일에서 2017년 12월 29일까지 총 1, 007개의 관측치 데이터이다. 먼저, 수익률 자료를 얻기 위해 로그 차분을 하고 분석을 시작하였다. 다우지수 {(cid:2)(cid:2)}를 시간 (cid:3) 에서의 일별 종가라고 할 때, 일별 백분위 로그수익률 {(cid:5)(cid:2)}를 다음과 같이 계산 한다.
변동성 모형을 적합하기 전에 일별 수익률의 분포를 살펴보았다. 다우 자료의 기초적인 기술 통계량은 Table 4.
05 하에서 백색잡음 모형을 따른다고 판단할 수 있으며 선택한 모든 δI-TGARCH(1, 1) 모형 적합의 적절성을 확보하였다. 변동성-비정상 δI-TGARCH(1, 1) 모형의 효과를 비교 분석하기 위해 대칭모형인 IGARCH(1, 1)을 다우 자료에 적합하였다. 비교모형의 적합 결과는 다음과 같다.
(cid:10)=1인 경우는 (cid:11)(1) = (cid:11) = ((cid:8)(cid:5)(cid:5) + (cid:8)(cid:5)(cid:8) ) + (cid:9)(cid:5)이 성립한다. 본 연구에서는 평균이 영이고 분산이 1인 표준화 오차의 분포로서 표준정규분포와 다음의 pdf를 가진 자유도(df)가 (cid:15)인 표준화 (cid:5)-분포 (분산 =1)를 고려한 기로 한다. (Tsay, 2010, p.
선택된 모형이 적합한지를 판단하기 위해 표준화된 잔차 시계열 ((cid:27)(cid:2)(cid:6)(cid:23)(cid:2)/(cid:25)ℎ(cid:2))과 ((cid:27)(cid:2) (cid:6))을 구하여 Ljung-Box 검정을 하였다. Table 4.
다우 자료가 변동성-비정상성이 있는지와 비대칭성(asymmetry)이 있는지를 파악하고자 한다. 수익률 변동성 분석은 R의 rugarch 패키지와 SAS의 AUTOREG와 MODEL 프로시저를 이용하였다. 변동성-비정상성 여부를 판단하기 위해 TGARCH(1, 1) 모형 적합 결과를 살펴보자.

대상 데이터

종가 자료에 적용하고 평가하고자 한다. 사용된 자료는 2014년 1월 2일에서 2017년 12월 29일까지 총 1, 007개의 관측치 데이터이다. 먼저, 수익률 자료를 얻기 위해 로그 차분을 하고 분석을 시작하였다.

이론/모형

1 간격으로 δ 값을 증가시키며 (cid:7)’(cid:11) 값을 계산한 후 모형을 적합하였다. {(cid:27)(cid:2)}의 분포 시나리오 별로 가장 적합한 δI-TGARCH(1, 1) 모형을 선택하기 위해 로그 가능도(log likelihood)을 이용하였다. 분포와 δ에 따른 로그가능도 값으로부터 최대 로그가능도를 갖는 δ 값을 선택하였다.
3)의 δI-TGARCH(1, 1) 모형을 적합하고자 한다. 모형의 성능을 판단하기 위해 비교 모형으로는 IGARCH(1, 1)와 TGARCH(1, 1) 모형을 사용하고자 한다. 각 모형마다 표준화 오차 {(cid:27)(cid:2)}의 분포는 표준정규분포와 표준화 (cid:3)-분포를 가정하였다.

성능/효과

다우 자료의 변동성에 비대칭성과 비정상성이 존재한다는 것을 확인하였다. 따라서 이를 동시에 담고 있는 식 (2.
05 하에서 백색잡음 모형(white noise)을 따른다는 귀무가설을 기각하지 못한다. 따라서 12차까지의 잔차와 잔차 제곱이 신뢰수준 0.05 하에서 백색잡음 모형을 따른다고 판단할 수 있으며 선택한 모든 δI-TGARCH(1, 1) 모형 적합의 적절성을 확보하였다. 변동성-비정상 δI-TGARCH(1, 1) 모형의 효과를 비교 분석하기 위해 대칭모형인 IGARCH(1, 1)을 다우 자료에 적합하였다.

참고문헌 (19)

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Engle, R. F. and Ng, V. K. (1993). Measuring and testing the impact of news on volatility, Journal of Finance, 48, 1749-1778.

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Glosten, L. R., Jagannathan, R., and Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks, The Journal of Finance, 48, 1779-1801.

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Hwang, S. Y., Basawa, I. V., Choi, M. S., and Lee, S. D. (2014). Non-ergodic martingale estimating functions and related asymptotics, Statistics, 48, 487-507.

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Hwang, S, Y., Kim, S., Lee, S. D., and Basawa, I. V. (2007). Generalized least squares estimation for explosive AR(1) processes with conditionally heteroscedastic errors, Statistics & Probability Letters, 77, 1439-1448.

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Kim, J. Y. and Hwang, S. Y. (2018), A threshold-asymmetric realized volatility for high frequency financial time series, Korean Journal of Applied Statistics, 31, 205-216.

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Park, J. A., Baek, J. S., and Hwang, S. Y. (2009). Persistent threshold-GARCH processes: Model and application, Statistics & Probability Letters, 79, 907-914.

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Rabemananjara, R. and Zakoian, J. M. (1993). Threshold ARCH models and asymmetries in volatility, Journal of Applied Econometrics, 8, 31-49.

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Terasvirta, T. (2009). An introduction to univariate GARCH models, in Handbook of Financial Time Series, 17-42, Eds., Andersen, T. G., Davis, R. A., Kreiss, J. P. and Mikosch, T., Springer, Berlin.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series (3rd ed), Wiley, New York.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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