[논문]지진 재현수준 예측에 대한 로그-로지스틱 분포와 일반화 극단값 분포의 비교

고낙경; 하일도; 장대흥

doi:10.5351/kjas.2020.33.1.107

초록
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자연 재해로부터 관측되는 자료를 대상으로 재현 수준 예측 등과 같은 자료 분석을 위해 일반화 극단값 분포(generalized extreme value)가 자주 사용되어 왔다. 표본 수가 충분히 큰 경우 연속적인 블록 최댓값들은 점근적으로 일반화 극단값 분포를 따른다. 하지만 소표본인 경우 이러한 사실은 성립되지 않을 수도 있다. 본 논문에서는 이러한 문제점을 해결하기 위해 모형 적합도 검정 및 모형 선택을 통해 로그-로지스틱(log-logistic) 분포의 사용을 제안한다. 하나의 예증으로서 중국 지진 자료를 대상으로 하여 로그-로지스틱 분포를 이용하여 재현 기간별 재현 수준 예측 및 신뢰구간을 제시한다.

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Extreme value distributions have often been used for the analysis (e.g., prediction of return level) of data which are observed from natural disaster. By the extreme value theory, the block maxima asymptotically follow the generalized extreme value distribution as sample size increases; however, thi...

Extreme value distributions have often been used for the analysis (e.g., prediction of return level) of data which are observed from natural disaster. By the extreme value theory, the block maxima asymptotically follow the generalized extreme value distribution as sample size increases; however, this may not hold in a small sample case. For solving this problem, this paper proposes the use of a log-logistic (LLG) distribution whose validity is evaluated through goodness-of-fit test and model selection. The proposed method is illustrated with data from annual maximum earthquake magnitudes of China. Here, we present the predicted return level and confidence interval according to each return period using LLG distribution.

주제어

표/그림 (9)

그림 Figure 2.1. Time series plot for annual maximum earthquake magnitudes of China.
표 Table 2.1. Mann-Kendall trend test and Dickey-Fuller’s unit root test for annual maximum earthquake magnitudes of China
표 Table 3.1. Estimation of parameters in the generalized extreme value distribution of annual maximum earthquake magnitudes of China
표 Table 3.2. Estimation of parameters in the log-logistic distribution of annual maximum earthquake magnitudes of China
그림 Figure 4.1. (a): Plots of empirical cumulative distribution function (ECDF) versus tted GEV and LLG distributions for the China data; (b): histogram of the China data versus graphs of tted GEV and LLG distributions.
표 Table 4.1. The p-values of goodness-of-t tests for GEV and LLG distributions of annual maximum earthquake magnitudes of China
표 Table 4.2. AIC and BIC for GEV and LLG distributions of annual maximum earthquake magnitudes of China
그림 Figure 4.2. Predicted return level and conﬁdence interval according to return period for the China data.
표 Table 4.3. Estimation of return level and conﬁdence interval according to return period for the China data by ML and bootstrap methods

AI 본문요약
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문제 정의

01). 따라서 본 논문에서는 정상성에 기초하여 자료 분석을 실시하고자 한다.
본 논문에서는 소표본의 경우 블록 최댓값들에 대한 GEV 분포의 한 대안으로 LLG분포의 사용을 제안 하였다. 이를 위해 중국 연별 최대 규모 자료를 이용하여 적합된 두 분포를 적합도 검정과 모형 선택방법을 실시하여 LLG 분포의 적절성을 보였다.
하지만 소 표본인 경우 이러한 블록 최댓값들은 GEV 분포를 따르지 않을 수도 있다. 본 논문에서는 이러한 문제점을 해결하기 위해 모형 적합도 검정 및 모형 선택을 통해 로그-로지스틱(log-logistic; LLG) 분포의 사용을 제안한다.
본 절에서는 제안된 방법의 예증을 위해 2절의 중국의 지진자료를 대상으로 하여 적합도 검정 및 모형 선택을 실시하여 LLG 분포 사용의 타당성을 보이고자 한다.

제안 방법

2에서 보는 바와 같이 GEV와 LLG 분포에 두 모형선택 방법을 적용한 결과, AIC와 BIC 모두 LLG 분포에서 더 작은 값을 가지므로 모형 선택에서도 LLG가 더 적절한 분포임을 확인 할 수 있다. 따라서 다음 절의 지진규모의 예측에 LLG 분포를 사용하고자 한다.
54). 따라서 본 논문에서는 자기상관성(autocorrelation)을 고려하지 않고 자료 분석을 실시하였다.
적합도 검정(goodness-of-fit tests)이란 주어진 표본자료가 모집단의 특정 확률분포에 얼마나 적합 하는지를 판단하는 방법이다. 이를 위해 본 논문에서는 대상 연구 자료에 대해 얻어진 경험적 분포(empirical distribution)와 우리가 가정한 모집단의 확률분포(즉 LLG, GEV)가 얼마나 잘 일치하는지를 검정하기 위해, 다음의 세 가지 유용한 적합도 검정법을 사용한다.
제안된 방법의 한 예증을 위해 중국의 연별 최대 지진규모 자료를 대상으로 하여 LLG 분포와 GEV 분포에 대해 적합도 검정과 모형 선택을 실시한 후, LLG 분포가 보다 적절한 모형임을 보인다. 이를 통해 LLG 분포를 이용하여 재현 기간별 지진의 재현수준 예측 및 신뢰구간을 제시한다.
이를 위해 중국 연별 최대 규모 자료를 이용하여 적합된 두 분포를 적합도 검정과 모형 선택방법을 실시하여 LLG 분포의 적절성을 보였다. 이에 따라 4절에서 LLG 분포을 이용하여 지진의 재현수준 예측을 제시하였다.

대상 데이터

1986년부터 2008년의 자료는 “중국지진역사기록표”(http://www.docin.com/p-1168791466.html)에서 얻었다.
분석에 사용되는 자료는 총 34개의 소표본 자료로 1986년 1월에서 2019년 7월까지 중국에서 발생한 연별 최대 규모 데이터(annual maximum earthquake magnitudes)이다. 중국 지진국 홈페이지(http://data.
분석에 사용되는 자료는 총 34개의 소표본 자료로 1986년 1월에서 2019년 7월까지 중국에서 발생한 연별 최대 규모 데이터(annual maximum earthquake magnitudes)이다. 중국 지진국 홈페이지(http://data.earthquake.cn/gcywfl/index.html)는 2009년부터 발생한 규모 3이상의 지진 자료만을 제공한다. 1986년부터 2008년의 자료는 “중국지진역사기록표”(http://www.

데이터처리

마지막으로 5절에서는 분석 결과에 대해 토론한다. 본 분석에 사용된 모든 계산은 R 프로그램을 이용하였다.
본 자료는 시계열 자료 (Figure 2.1)이므로 정상성(stationarity) 여부를 조사하기 위해 경향성 분석 및 단위근 검정(unit root test)을 실시하였다. 먼저 경향성 분석을 위해 만-켄달 검정법(Mann-Kendall test)을 사용하였다 (H 0 : 단조 추세가 존재하지 않는다).
최대가능도(maximum likelihood; ML) 방법으로 얻은 재현 수준의 신뢰구간 결과를 비모수적 붓스트랩(Bootstrap)방법 (“fitdistrplus” R package)의 결과와 비교하였다.

이론/모형

1)이므로 정상성(stationarity) 여부를 조사하기 위해 경향성 분석 및 단위근 검정(unit root test)을 실시하였다. 먼저 경향성 분석을 위해 만-켄달 검정법(Mann-Kendall test)을 사용하였다 (H 0 : 단조 추세가 존재하지 않는다). Table 2.
모형 선택을 위해 본 논문에서는 일반적으로 자주 사용되는 두 가지 기준인 다음의 Akaike’s information criterion (AIC)와 Bayesian information criterion (BIC)를 사용한다.
여기서 α와 β는 각각 양의 실수 값을 갖는 척도모수와 형상모수이다. 본 논문에서는 GEV 분포에서와 같이 최대 가능도 추정법을 LLG 분포의 모수 추정에 사용한다. 대응하는 로그 가능도함수는 다음과 같이 주어진다.
특히 형상모수 ξ는 GEV 분포의 형태를 결정하는 모수로서, 그 크기에 따라 ξ = 0일 때 Gumbel 분포, ξ > 0일 때 Frechet 분포, 그리고 ξ < 0일 때 Weibull 분포가 된다. 본 논문에서는 GEV 분포의 모수를 추정하기 위해 최대가능도 추정법(maximum likelihood estimation)을 사용하였다. 블록의 개수가 m일 때 GEV 분포의 로그 가능도함수(log-likelihood function)는 다음과 같이 주어진다.

성능/효과

이러한 두 가지 모형 선택 기준들은 적합된 모수의 개수가 증가함에 따라 벌점(penalty)을 주는 방식으로 그 값이 작은 모형을 적절한 모형으로 선택해 준다. Table 4.2에서 보는 바와 같이 GEV와 LLG 분포에 두 모형선택 방법을 적용한 결과, AIC와 BIC 모두 LLG 분포에서 더 작은 값을 가지므로 모형 선택에서도 LLG가 더 적절한 분포임을 확인 할 수 있다. 따라서 다음 절의 지진규모의 예측에 LLG 분포를 사용하고자 한다.
본 논문에서는 소표본의 경우 블록 최댓값들에 대한 GEV 분포의 한 대안으로 LLG분포의 사용을 제안 하였다. 이를 위해 중국 연별 최대 규모 자료를 이용하여 적합된 두 분포를 적합도 검정과 모형 선택방법을 실시하여 LLG 분포의 적절성을 보였다. 이에 따라 4절에서 LLG 분포을 이용하여 지진의 재현수준 예측을 제시하였다.
예를 들어, 기존 문헌에 의하면 수문 자료(hydrological data) (Ashkar와 Mahdi, 2003) 및 신뢰수명 자료(reliability data) (Akhtar와 Khan, 2014)의 분석에 LLG 분포를 적용하여 왔다. 제안된 방법의 한 예증을 위해 중국의 연별 최대 지진규모 자료를 대상으로 하여 LLG 분포와 GEV 분포에 대해 적합도 검정과 모형 선택을 실시한 후, LLG 분포가 보다 적절한 모형임을 보인다. 이를 통해 LLG 분포를 이용하여 재현 기간별 지진의 재현수준 예측 및 신뢰구간을 제시한다.

후속연구

향후 과제로는 지진규모의 예측에 유용한 또 다른 확률분포로서 일반화 파레토 분포(generalized Pareto distribution) (Bae 등, 2018)를 이용하여 LLG 분포 및 GEV 분포와 함께 모형검토 및 재현수준 예측을 비교하고자 한다. 나아가 한국을 비롯한 일본의 지진자료도 이와 같은 방법으로 분석을 실시하는 것도 흥미 있는 향후 연구과제가 될 것으로 사료된다.
향후 과제로는 지진규모의 예측에 유용한 또 다른 확률분포로서 일반화 파레토 분포(generalized Pareto distribution) (Bae 등, 2018)를 이용하여 LLG 분포 및 GEV 분포와 함께 모형검토 및 재현수준 예측을 비교하고자 한다. 나아가 한국을 비롯한 일본의 지진자료도 이와 같은 방법으로 분석을 실시하는 것도 흥미 있는 향후 연구과제가 될 것으로 사료된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	적합도 검정이란 ?	적합도 검정(goodness-of-fit tests)이란 주어진 표본자료가 모집단의 특정 확률분포에 얼마나 적합 하는지를 판단하는 방법이다. 이를 위해 본 논문에서는 대상 연구 자료에 대해 얻어진 경험적 분포(empirical distribution)와 우리가 가정한 모집단의 확률분포(즉 LLG, GEV)가 얼마나 잘 일치하는지를 검정하기 위해, 다음의 세 가지 유용한 적합도 검정법을 사용한다.
	극단값 이론에 따르는 특징은 ?	극단값 이론에 따르면 (Fisher와 Tippett, 1928), 표본의 수가 충분히 큰 경우 연속적인 블록 최댓값(block maxima)들은 점근적으로 일반화 극단값(generalized extreme value; GEV) 분포를 따른다. 따라서 지진이나 홍수와 같은 자연 재해로부터 관측되는 자료를 대상으로 재현 수준(return level) 예측 등과 같은 자료 분석을 위해 GEV 분포가 자주 사용되어 왔다 (Nadarajah와 Choi, 2007; Pisarenko 등, 2010; Lee 등, 2014; Bae 등, 2018).

참고문헌 (10)

Ashkar, F. and Mahdi, S. (2003). Comparison of two tting methods for the log-logistic distribution, Water Resources Research, 39, 1-8.
Akhtar, M. T. and Khan, A. A. (2014). Log-logistic distribution as a reliability model: a Bayesian analysis, American Journal of Mathematics and Statistics, 4, 162-170.
Bae, E., Kim, S. Y., and Kim, C. (2018). Extreme value theory based earthquake risk modelling and management, The Journal of Risk Management, 29, 1-24.
Coles, S., Bawa, J., Trenner, L., and Dorazio, P. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, London.
Fisher, R. A. and Tippett, L. H. C. (1928). Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. In , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24, 180-190.

상세보기
Jenkinson, A. F. (1955). The frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of meteorological elements, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 81, 158-171.

상세보기
Lee, J. J., Kim, N. H., Kwon, H. J., and Kim, Y. (2014). A Bayesian analysis of return level for extreme precipitation in Korea, Journal of the Korean Data and Information Science Society, 27, 947-958.
Nadarajah, S. and Choi, D. (2007). Maximum daily rainfall in South Korea, Journal of Earth System Science, 116, 311-320.

상세보기
Pisarenko, V. F., Sornette, D., and Rodkin, M. V. (2010). Distribution of maximum earthquake magnitudes in future time intervals: application to the seismicity of Japan (1923-2007). Earth, Planets and Space, 62, 567.

상세보기
Ryu, S., Eom, E., Kwon, T., and Yoon, S. (2016). The estimation of CO concentration in Daegu-Gyeongbuk area using GEV distribution, Journal of the Korean Data and Information Science Society, 27, 1001-1012.

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