[논문]사면안정해석에 있어서의 유한요소법과 한계평형법의 비교

이동엽; 유충식

문제 정의

따라서, 본 연구에서는 강도감소기법에 근거한 유한요소해석기법의 사면안정해석에의 적용성을 검토 하고 기존의 한계해석법에서 다룰 수 없는 대상지반의 팽창각의 영향, 구성법칙 등이 사면의 안전율에 미치는 영향을 검토하였다. 이를 위해 먼저 가상의 사면문제에 있어서 유한요소법(FEM)과 한계평형법 (LEM)의 안전율을 비교하여 검토하였으며 이에 따른 사면안정해석에 있어서 유한요소 해석결과에 영향을 미치는 요인들에 대한 매개변수 연구를 수행하여 그 결과를 고찰하였다.
본 연구에서는 유한요소법에 의한 사면의 안전율 평가에 있어서의 적용성을 검토하기 위하여 유한요 소 해석결과와 PCSTABL을 이용한 한계평형해석을 실시하였다. 한편, 구성모델적용에 관련된 각종 파 라미터에 따른 안전율 변화경향을 알아보기 위하여 유한요소해석의 해석 파라미터로서 Mohr-Coulomb(M-C) 과 Extended Linear Drucker Prager(D-P) 탄소성 구성법칙, 소성포텐셜의 기울 기를 정의하는 팽창각에 따른 흐름법칙, 사면의 경사, 요소의 크기를 도입하였고 한계평형법은 Bishop의 방법으로 안전율을 계산하였다.
팽창각의 영향에 따른 결과를 비교하기 위해 본 연구에서는 두 가지 경우 즉, 비팽창흐름과 관련흐름 법칙을 선택하여 해석을 수행하였다. 이는 비팽창흐름의 경우는 항복 중에 체적변화가 없는 상태로 비 관련흐름법칙을 적용하여 사면의 안전율을 정확하게 계산하여 한계평형법에 의한 안전율의 비보수적 경향을 알아보고자 함이며, 관련흐름법칙의 경우에는 소성이론에 대한 직접적인 비교가 가능하고 응력과 속도 특성이 일치하므로 유한요소법과 한계평형법으로부터 생기는 파괴면에 의해 예측되는 파괴메커니즘 사이에 일치점을 기대하기 위한 것이다.

가설 설정

사면안정해석에 사용되는 가장 보편적인 방법은 한계평형법(Limit Equilibrium Method)과 이를 이용한 사면안정 해석용 프로그램들이다. 한계평형법은 가상파괴면을 따르는 모든 위치에서의 안전율을 동일한 것으로 간주하며 강도파라미터는 응력-변형율 거동에 독립적이며 가상파괴면을 따르는 토체는 강 체로서 가정한다. 그러나 가상파괴면을 따르는 모든 점에서 안전율이 동일한 경우는 모든 절편들이 파 괴 직전에 있는 경우이다.

제안 방법

5m로 하여 20단계에 걸쳐 시공과정에 따라 성토고에 따른 자중을 부여하는 방법을 취하였으며, 성토부를 구성하는 요소망의 세분화에 관련된 안전율 변화경향을 알아보기 위하여 조밀한 요소망(fine mesh)의 경우 요 소의 수(가로X세로)는 60x20, 80x20이며, 거친 경우(coarse mesh)의 요소의 수는 30x20, 40x20의 두 가지 경우로 요소망을 구성하였다. 그리고 기 초지반과 성토재를 구성하는 재료의 각각 풍화암과 화강풍화토로 가정하여 8절점 가감적분요소를 사용하여 모델링하였고 재료의 역학적 특성을 표 1에 나타내었다.
사면에 평행한 기울기로 존재하는 연약층을 가지는 비배수 점성토 사면의 경우, Tresca 파괴규준(0=0)을 적용하여 전응력에 의하여 해석한 결과 비배수 전단강도가 같은 균질사면의 안 전율은 Tayor의 해와 거의 일치하는 결과를 얻었으며, 가상파괴면은 원호형상의 사면 저부파괴를 나타 내었다고 하였다. 그리고, 연약층과 사면의 비배수전단강도의 비에 따라 Janbu의 해와 비교하여 비배수 전단강도 비에 의한 사면의 가상파괴면과 안전율에 대한 영향을 분석하였다.
그림 3에서 각각의 경계부는 사 면의 정점으로부터 우측 경계부는 2H, 좌측 경계부와 바닥면은 1H 지점에 설정하였고, 경계조건으로는 기초지반의 바닥면은 수평변 위와 수직변위를 모두 구속하고 사면의 좌우 측 경계부는 수평변위를 고정하였고, 성토가 이루어짐에 따라 성토부의 우측 경계부의 수 평변위를 구속하였다. 기초지반은 성토 전에 자중을 재하하여 초기응력을 구현하고, 성토고는 0.5m로 하여 20단계에 걸쳐 시공과정에 따라 성토고에 따른 자중을 부여하는 방법을 취하였으며, 성토부를 구성하는 요소망의 세분화에 관련된 안전율 변화경향을 알아보기 위하여 조밀한 요소망(fine mesh)의 경우 요 소의 수(가로X세로)는 60x20, 80x20이며, 거친 경우(coarse mesh)의 요소의 수는 30x20, 40x20의 두 가지 경우로 요소망을 구성하였다. 그리고 기 초지반과 성토재를 구성하는 재료의 각각 풍화암과 화강풍화토로 가정하여 8절점 가감적분요소를 사용하여 모델링하였고 재료의 역학적 특성을 표 1에 나타내었다.
따라서, 기존의 연구방법에서는 유한요소해석을 통한 사면안정해석에 있어서 특정한 구성법칙과 비관련 또는 관련흐름의 단일 조건에 대한 해석만을 실시하였고 각각의 해석결과에 있어서의 차이를 보이고 있으므로 본 연구에서는 한계평형법에서 다룰 수 없는 대상지반의 탄소성 구성법칙과 흐름법칙 등이 사 면의 안전율에 미치는 영향을 종합적으로 검토하였다、
따라서, 본 연구에서는 강도감소기법에 근거한 유한요소해석기법의 사면안정해석에의 적용성을 검토 하고 기존의 한계해석법에서 다룰 수 없는 대상지반의 팽창각의 영향, 구성법칙 등이 사면의 안전율에 미치는 영향을 검토하였다. 이를 위해 먼저 가상의 사면문제에 있어서 유한요소법(FEM)과 한계평형법 (LEM)의 안전율을 비교하여 검토하였으며 이에 따른 사면안정해석에 있어서 유한요소 해석결과에 영향을 미치는 요인들에 대한 매개변수 연구를 수행하여 그 결과를 고찰하였다.
Matsui(1992)는 제방과 굴착사면에 강도감소기법을 적용하여 보강사면에 대한 굴착설계에 있어서 현장 데이터를 통한 강도감소기법의 적용성에 관하여 연구하였다. 해석결과를 통하여 제방과 굴착사면 모두에 있어서 미끄러짐 면이 잘 나타남을 확인하 였고 한계전단강도 감소비의 물리적 의미를 전체 전단변형율과 전단변형율의 증분에 관하여 설명하였다. 그리고, 보강사면의 굴착에 따른 예상된 파괴면은 현장계측 결과와 잘 일치하였으며 수정 Fellenius 의 방법과 비교하여 만족할 만한 결과를 얻음으로 인하여 강도감소기법의 적용가능성을 확인하였다.
해석대상 사면의 기하학적 제원은 도로성토 사면으로 가정하여 도로설계규정을 참고로 하여 사면의 높이(H)를 10m로 하고 사면의 경사각⑻은 설계규정에 탄력을 두어 각각 30, 35, 45도로 구성하고, 유한 요소망의 경계부는 예비해석을 통하여 해석 에 영향을 미치지 않는 범위 내에서 설정하였으며, 그림 3은 해석에 적용된 요소망을 나타내고 있다. 그림 3에서 각각의 경계부는 사 면의 정점으로부터 우측 경계부는 2H, 좌측 경계부와 바닥면은 1H 지점에 설정하였고, 경계조건으로는 기초지반의 바닥면은 수평변 위와 수직변위를 모두 구속하고 사면의 좌우 측 경계부는 수평변위를 고정하였고, 성토가 이루어짐에 따라 성토부의 우측 경계부의 수 평변위를 구속하였다.

이론/모형

팽창각의 영향에 따른 결과를 비교하기 위해 본 연구에서는 두 가지 경우 즉, 비팽창흐름과 관련흐름 법칙을 선택하여 해석을 수행하였다. 이는 비팽창흐름의 경우는 항복 중에 체적변화가 없는 상태로 비 관련흐름법칙을 적용하여 사면의 안전율을 정확하게 계산하여 한계평형법에 의한 안전율의 비보수적 경향을 알아보고자 함이며, 관련흐름법칙의 경우에는 소성이론에 대한 직접적인 비교가 가능하고 응력과 속도 특성이 일치하므로 유한요소법과 한계평형법으로부터 생기는 파괴면에 의해 예측되는 파괴메커니즘 사이에 일치점을 기대하기 위한 것이다.
본 연구에서는 유한요소법에 의한 사면의 안전율 평가에 있어서의 적용성을 검토하기 위하여 유한요 소 해석결과와 PCSTABL을 이용한 한계평형해석을 실시하였다. 한편, 구성모델적용에 관련된 각종 파 라미터에 따른 안전율 변화경향을 알아보기 위하여 유한요소해석의 해석 파라미터로서 Mohr-Coulomb(M-C) 과 Extended Linear Drucker Prager(D-P) 탄소성 구성법칙, 소성포텐셜의 기울 기를 정의하는 팽창각에 따른 흐름법칙, 사면의 경사, 요소의 크기를 도입하였고 한계평형법은 Bishop의 방법으로 안전율을 계산하였다.

성능/효과

M-C 파괴규준과 D-P파괴규준에 비팽창흐름을 적용한 해석결과와 한계평형법과의 안전율의 차이는 M-C의 경우 10-13% 정도 안전율이 낮게 평가되었고 D-P 모델의 경우 비팽창흐름에 대한 안전율은 약 15~19%정도 안전율이 낮게 평가되어, 관련흐름법칙을 적용한 경우보다는 구성법칙과 한계평형법과 의 차이가 적으나, D-P 규준에 의한 안전율이 M-C 보다 안전율을 낮게 평가하는 결과를 보인다.
Griffith and Lane(1999)은 비팽창흐름(Non-dilatmt flow)을 적용하여 해가 수렴되지 않은 경우를 파 괴에 대한 안전율로 간주하여 다양한 경우의 사면에 관하여 해석을 실시하였다. 균질사면의 경우 Bishop & Morgenstern의 결과와 비교하여 강도감소기법에 의한 사면의 안전율과 잘 일치됨을 보였고, 기초지반의 파라미터가 사면의 강도파라미터와 일치하는 경우 기초의 유무로 인한 안전율의 차이는 거의 없다고 하였다. 사면에 평행한 기울기로 존재하는 연약층을 가지는 비배수 점성토 사면의 경우, Tresca 파괴규준(0=0)을 적용하여 전응력에 의하여 해석한 결과 비배수 전단강도가 같은 균질사면의 안 전율은 Tayor의 해와 거의 일치하는 결과를 얻었으며, 가상파괴면은 원호형상의 사면 저부파괴를 나타 내었다고 하였다.
그리고 M-C의 경우는 사면의 경사각 감소에 따른 안전율의 차이가 미미한 반면에 D-P 규준 은 사면의 경사각이 감소함에 따라서 사면의 경사각 45도에 비하여 완만한 35도와 30도의 경우 한계평 형법과의 차이가 증가하는 결과를 나타내므로 사면의 경사가 완만한 경우의 d-P규준에 의한 유한요소 해석은 한계평형법과의 차이를 크게 가져올 수 있는 것으로 사료된다. 그러나 M-C 와 D-P 모델 모두 에 있어서 안전율의 차이가 경사도에 따라 감소하지만, 한계평형 해석결과와 동일한 결과를 보이는 요 소망이 조밀한 경우 비팽창흐름에 따른 M-C 모델은 10~13% 그리고 D-P 모델의 경우 15~19% 정도 낮게 안전율을 평가하므로 흙의 강도를 과대평가할 수 있는 관련흐름에 기초한 해석보다는 비팽창흐름 에 의한 사면의 안전율 평가가 타당한 것으로 보인다.
유한요소해석을 통한 사면안정 해석 결과로부터 유한요소법에 의한 사면의 안전율 평가는 해석기법의 정확성, 구성법칙, 그리고 흐름 법칙 등에 의해 상당한 영향을 받게 되며, 한계평형법에 의한 안전율 평가와 동일한 합리적인 결과를 얻을 수 있다. 그리고 비팽창 흐름에 따른 M-C 모델과 D-P 모델 모두 한계 평형법과 관련 흐름에 기초한 결과보다 10-20% 정도 안전율을 과소평가하므로 흙의 강도를 과대평가할 수 있는 관련 흐름에 기초한 해석보다는 비팽창 흐름에 의한 사면의 안전율 평가가 타당한 것으로 사료된다.
해석결과를 통하여 제방과 굴착사면 모두에 있어서 미끄러짐 면이 잘 나타남을 확인하 였고 한계전단강도 감소비의 물리적 의미를 전체 전단변형율과 전단변형율의 증분에 관하여 설명하였다. 그리고, 보강사면의 굴착에 따른 예상된 파괴면은 현장계측 결과와 잘 일치하였으며 수정 Fellenius 의 방법과 비교하여 만족할 만한 결과를 얻음으로 인하여 강도감소기법의 적용가능성을 확인하였다.
한편, 소성변형율의 분포로 인한 파괴면의 형상에 대한 요소의 크기에 따른 효과는 파괴면의 형상에 있어서는 동일하나 소 성변형율의 폭이 넓어지는 결과를 보인다. 따라서 유한요소법에 의한 파괴면은 토체 내의 전단응력을 지지할 수 없는 경우에 자동적으로 얻어지며 그 결과로 인한 파괴면은 한계평형법과 동일하며 원호파괴 에 대한 타당성을 부여하는 것으로 판단된다.
그림에서 나타난 바와 같이 관련흐름을 적용한 M-C 모델과 D-P 모델 두 경우 모두 구성법칙에 관계없이 사면 내의 소성변 형율의 전파 경향이 사면의 선단으로부터 사면의 정점으로 부드럽게 이어지는 결과를 보여 파괴면이 명확히 정의되는 것을 볼 수 있다. 또한, 파괴면을 이루는 소성변형율의 분포가 동일하고 사면 경사각에 관계없이 Bishop에 의한 파괴면과 정확히 일치하는 결과를 보인다. 한편, 소성변형율의 분포로 인한 파괴면의 형상에 대한 요소의 크기에 따른 효과는 파괴면의 형상에 있어서는 동일하나 소 성변형율의 폭이 넓어지는 결과를 보인다.
대상사면에 관한 유한요소해석 결과와 한계평형 해석결과를 분석하여 그 결과를 표 2에 나타내었다. 먼저, 관련흐름법칙에 따른 요소망이 조밀한 경우의 해석결과를 살펴보면, M-C 모델을 적용한 FEM에 의한 안전율이 LEM에 의한 안전율과 일치하는 결과를 보이고 있다. 이는 강도감소기법에 근거한 유한 요소법을 적절히 적용할 경우 LEM과 동일한 안전율을 얻을 수 있음을 의미하며, 따라서 다양한 조건에 적용할 수 있을 것으로 판단된다.
본 연구 결과로부터 유한요소해석 기법에 의한 사면안정 해석의 적합성을 확인하였고 한계 평형법에서 고려할 수 없는 조건들을 고려함으로 인하여 한계 평형법에 비하여 보다 적합한 안전율을 평가할 수 있는 방법임을 확인하였다. 유한요소해석을 통한 사면안정 해석 결과로부터 유한요소법에 의한 사면의 안전율 평가는 해석기법의 정확성, 구성법칙, 그리고 흐름 법칙 등에 의해 상당한 영향을 받게 되며, 한계평형법에 의한 안전율 평가와 동일한 합리적인 결과를 얻을 수 있다.
본 연구 결과로부터 유한요소해석 기법에 의한 사면안정 해석의 적합성을 확인하였고 한계 평형법에서 고려할 수 없는 조건들을 고려함으로 인하여 한계 평형법에 비하여 보다 적합한 안전율을 평가할 수 있는 방법임을 확인하였다. 유한요소해석을 통한 사면안정 해석 결과로부터 유한요소법에 의한 사면의 안전율 평가는 해석기법의 정확성, 구성법칙, 그리고 흐름 법칙 등에 의해 상당한 영향을 받게 되며, 한계평형법에 의한 안전율 평가와 동일한 합리적인 결과를 얻을 수 있다. 그리고 비팽창 흐름에 따른 M-C 모델과 D-P 모델 모두 한계 평형법과 관련 흐름에 기초한 결과보다 10-20% 정도 안전율을 과소평가하므로 흙의 강도를 과대평가할 수 있는 관련 흐름에 기초한 해석보다는 비팽창 흐름에 의한 사면의 안전율 평가가 타당한 것으로 사료된다.
즉, M-C 모델의 경우 비팽 창흐름은 사면의 선단으로부터 사면 내에 걸쳐 뚜렷한 소성변형율의 전파를 보이는 관련흐름(그림 4 & 5)과 달리 사면의 선 단과 표면에 소성변형 율이 집중되어 나타난 다. 이러한 결과는 D-P 모델에서도 나타나며 D-P 모델은 M-C 모델에 비하여 사면의 선단과 표면에 걸쳐 소성변형율이 집중되어 사면의 내부로 확장되며 관련흐름법칙에 의한 결과보다 넓은 범위에 걸쳐 소성변형율이 형성되는 결과를 보이고 뚜렷한 소성변형율의 전파를 보이지 않는다.

후속연구

먼저, 관련흐름법칙에 따른 요소망이 조밀한 경우의 해석결과를 살펴보면, M-C 모델을 적용한 FEM에 의한 안전율이 LEM에 의한 안전율과 일치하는 결과를 보이고 있다. 이는 강도감소기법에 근거한 유한 요소법을 적절히 적용할 경우 LEM과 동일한 안전율을 얻을 수 있음을 의미하며, 따라서 다양한 조건에 적용할 수 있을 것으로 판단된다.

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