초록 ▼

2차원 다양체의 곡면론 연구, Poincare Conjecture를 비롯한 3차원 다양체의 연구 및 4차원에서 로렌츠 다양체의 연구등 저차원 다양체의 연구가 활발한 가운데 본 연구팀은 그래프이론과 매듭이론을 통한, 특히 다항식 불변량등 각종 불변량에 따른 조합적인 관점과 (제1세부 과제) Lie군 또는 유한군의 위상변환군의 작용에 따른 저차원 다양체 혹은 고정점으로 나타날수 있는 이들의 부분 다양체 상에서의 위상적 성질 및 군표현적 성질조사등 위상변환군 연구 (제2세부 과제)를 통한 저차원 다양체의 연구와 더불어 위상학적인 그래프

2차원 다양체의 곡면론 연구, Poincare Conjecture를 비롯한 3차원 다양체의 연구 및 4차원에서 로렌츠 다양체의 연구등 저차원 다양체의 연구가 활발한 가운데 본 연구팀은 그래프이론과 매듭이론을 통한, 특히 다항식 불변량등 각종 불변량에 따른 조합적인 관점과 (제1세부 과제) Lie군 또는 유한군의 위상변환군의 작용에 따른 저차원 다양체 혹은 고정점으로 나타날수 있는 이들의 부분 다양체 상에서의 위상적 성질 및 군표현적 성질조사등 위상변환군 연구 (제2세부 과제)를 통한 저차원 다양체의 연구와 더불어 위상학적인 그래프 이론연구로서 그래프의 피복(covering)과 번들구조와 이들의 특성다항식의 계산, 조합적군론과의 상호관계, 곡면상에의 embedding 등의 연구와 저차원 다양체에서 이들의 기하학적인 응용을 시도한다.(제 3 세부과제). 또한 이들 저차원 다양체의 기하학적인 구조로서(리이만 혹은 로렌츠) 각종 곡률불변량을 이용 embedding과 submersion에 따르는 부분다양체의 체적 계산, Morse 지표이론의 로렌츠 다양체로의 확장을 통한 space-time의 singlarity 연구를 수행하였다. (제4세부과제). 연구된 내용의 중요 결과는 다음과 같다. [1] 각종 다항식불변량을 계산하기 위한 알고리즘 개발을 통해 Conwa 다항식에 관한 Rotor 정리의 한계를 구하였다. [2] 그래프 번들이 동형일 대수적특성을 구하고 이를 이용하여 동형류의 갯수를 계수하고 이를 피복(covering)에 이용하였다. Dumbbell그래프의 피복그래프로서 순환순열 그래프의 동형류를 계수하고 이는 대칭군에서의 Diheral 군의 이중 cost의 갯수와 같음을 밝혔다. [3] 곡면내에 주어진 그래프가 2-cell embedding 될수 있는 모든 방법의 갯수를 계수하고 특히 Dipole에 대해서는 유수다향식을 계산하였다. [4] Witten-Reshetikhin-Turaev가 제시한 다양체 불변량의 위사아적, 조합적 이해를 위한 결과등이 얻어졌으며, framed braid를 통한 새로운 방법도 시도되었다. [5] 대수적으로 Smith 대등 표현을 구성 하였으며 미분 가능 변환군의 비선형현상이 실 대수 변환군에서 일어남을 보였다. Self-Dual리만 4차 공간이 양의 scalar 곡률을 가질 때 generic metric이 존재하여 self-dual connection 들이 Moduli 공간이 미분 가능하고 유한군이 작용함을 보였다. [6] 저차원 구상에서 2개의 고정점을 갖는 cyclic군의 작용이 있을때 이 고정점의 탄젠트 공간상에 자연스럽게 생성되는 군표현이 언제 동치가 될 수 있는지에 대한 연구와 기하학적인 측면에서 주어진 Lie군 G가 다양체 M에 작용할때 Iso(M,G)=G 가 되는 metric g의 존재성에 대해 연구 하였다. [7] 그래프의 피복 (covering)의 동형류 갯수를 조사하고 그래프 번들이나 피복의 고유치 계산을 위하여 그래프 번들의 특성다항식을 계산하였다. [8] 다양체의 각종 곡률 불변량을 이용하도 튜부 부피를 적분기하학적 관점에서 연구함으로써 다양체의 기본 위상적 성질에 따르는 부분다양체의 부피계산과 Weyl또는 Chern의 적분 공식에 의한 적분불변량 및 재생성질을 가지는 곡률 불변량을 연구하였다. [9] 다양체의 곡률 불변량을 튜브 부피의 기하학적 내지 적분기하학적 관점에서 연구하고, 다양체의 연구에 있어서 기본다양체의 위상적 성질과 부분다양체의 튜브 부피와의 관계를 깊이 연구하였다. 또한 Calrtan에 의해 제기된 문제로서 상수곡률을 가지는 다양체 상의 isoparametric 초곡면군의 대역적 구조를 연구하며 등질 및 비등질 초곡면을 연구하였다.

Abstract ▼

The study of low dimensional manifolds is one of the most active research fields in mathematics due to Poincare conjecture or its own interests. Each member of our research group has been also involved in the research of such an interesting field throughout various branches in the topology and geome

The study of low dimensional manifolds is one of the most active research fields in mathematics due to Poincare conjecture or its own interests. Each member of our research group has been also involved in the research of such an interesting field throughout various branches in the topology and geometry. In this research project, we have studied low dimensional manifolds through a combination of each team's research activities. First, we investigate several polynomial invariants in the theory of knots and graphs and their relations from a combinatorial point of view, and show 1) the classification of graph bundles; 2) the genus poly nomial of the Dipole; 3) formular to enumerate all congruences classes of graph embeddings; 4) relation of Yassey-Rolfsen invariants and SstoLevine invsrisnts by the suspension function; 5) framed braid groups snd its rlstionship to 3-manifolds; 6) mutations of boundary links which is not boundary links; and 7) the representstions of frsmed brsids for 3-manifolds, (team 1). On the other hand, the team 2 investigates topological transformation groups on low dimensional manifolds, in particular, G-symmetry, the isotropy representation on sets of fixed points, the linearitg of group actions and Smith equivalence, and group actions on moduli spaces. The team 3 studies the classifications and the enumerations of graph coverings, and their relations to the group theory. The spectra of graph bundles is also studied and it gives some properties of graph bundles. Our another approach to study low dimensional manifolds is from the side of differential geometry: using curvature invariants and Norse index theory on Riemannian or Lorentzian manifolds. The team 4 calculates tube volume of submanifolds and investigates spacetime singularities.

목차 Contents

• 제 1 장 서 론...13
• 제 2 장 연 구 방 법...17
• 제 1 절 저 차원 다양체로의 조합적 접근...18
• 제 2 절 저 차원 다양체상의 군의 작용...19
• 제 3 절 위상그래프 이론과 곡면기하학에서의 응용...20
• 제 4 절 리이만, 로렌츠 다양체상의 가하학적 계산...20
• 제 3 장 결 과...23
• 제 1 절 저 차원 다양체로의 조합적 접근...23
• 제 2 절 저 차원 다양체상의 군의 작용...25
• 제 3 절 위상그래프 이론과 곡면기하학에서의 응용...26
• 제 4 절 리이만, 로렌츠 다양체상의 기하학적 계산...28
• 제 4 장 고 찰...29
• 제 5 장 결 론...33
• 제 6 장 참 고 문 헌...37
• 제 1 장 그래프 번들의 동형분류...51
• 제 1 절 서 론...51
• 제 2 절 연구방법...51
• 제 3 절 결 과...52
• 제 4 절 고 찰...53
• 제 5 절 결 론...54
• 참고문헌...54
• 제 2 장 그래프 Dipole 의 유수다항식...57
• 제 1 절 서 론...57
• 제 2 절 연구방법...57
• 제 3 절 결 과...58
• 제 4 절 고 찰...60
• 제 5 절 결 론...60
• 참고문헌...60
• 제 3 장 곡면상에서의 그래프 Embedding...63
• 제 1 절 서 론...63
• 제 2 절 연구방법...63
• 제 3 절 결 과...64
• 제 4 절 고 찰...67
• 제 5 절 결 론...68
• 참고문헌...69
• 제 4 장 반둘레고리와 서스편젼...71
• 제 1 절 서 론...71
• 제 2 절 연구방법...71
• 제 3 절 결 과...72
• 제 4 절 고 찰...73
• 제 5 절 결 론...73
• 참고문헌...73
• 제 5 장 돌연변이 변환에 관하여...75
• 제 1 절 서 론...75
• 제 2 절 연구방법...76
• 제 3 절 결 과...76
• 제 4 절 고 찰...79
• 제 5 절 결 론...79
• 참고문헌...79