초록 ▼

본 연구에서는 다변량 정규성 검정을 위하여, 좀 더 실제적으로 활용이 가능한 통계량을 제안하고자 한다. 일변량 정규성 검정에서 많이 이용되고, 좋은 검정력을 갖는것으로 알려진 Shapiro-Wilk 통계량, 왜도나 첨도 등을 Srivastava & Hui(1987)에서와 같이 주성분을 이용하여 다변량으로 일반화하는 방법과 주성분이외의 방향을 고려하면서 모든 방향을 고려할 때 생기는 계산상의 불편함을 피할 수 있는 방법에 대해서 연구한다. 그리고 이와 같은 방법으로 제안된 통계량의 성질을 규명하고 유사한 타통계량과 비교하고자 한다.<

본 연구에서는 다변량 정규성 검정을 위하여, 좀 더 실제적으로 활용이 가능한 통계량을 제안하고자 한다. 일변량 정규성 검정에서 많이 이용되고, 좋은 검정력을 갖는것으로 알려진 Shapiro-Wilk 통계량, 왜도나 첨도 등을 Srivastava & Hui(1987)에서와 같이 주성분을 이용하여 다변량으로 일반화하는 방법과 주성분이외의 방향을 고려하면서 모든 방향을 고려할 때 생기는 계산상의 불편함을 피할 수 있는 방법에 대해서 연구한다. 그리고 이와 같은 방법으로 제안된 통계량의 성질을 규명하고 유사한 타통계량과 비교하고자 한다.
본 연구에서는 다변량 정규분포의 검정을 위하여 주성분의 Shapiro-Wilk 통계량이나 주성분 왜도의 최대를 보는 통계량을 고려하였다. 이 통계량은 affine invariance의 성질을 갖지는 않으나 귀무가설에서의 분포가 미지의 평균벡터와 분산-공분산 행렬에의존하지는 않음을 볼 수 있다. 또한 주성분들이 근사적으로 독립이라는 사실을 이용하여 귀무가설에서의 극한분포를 쉽게 유도할 수 있다. 모의실험결과 검정력이 그리 우수하지는 않았으나 실제 자료분석 시에는 유용하게 사용될 수 있을 것이다.
또한 Shapiro-Wilk 통계량의 근사통계량을 일반화한 Kim & Bickel(2003)에서 제안한 이변량 정규분포를 위한 검정통계량을 Fattorini(1986)의 방법을 이용하여 이변량이상인 경우에도 실제적으로 사용가능하도록 일반화하였다. 그리고 Malkovich & Afifi(1977)가 제안한 다변량 왜도와 첨도를 근사적으로 계산할 수 있는 방법을 제안하였다. 이는 왜도나 첨도를 모든 가능한 다변량 분포의 선형결합에 대해서 고려하는 대신에 경험적 분포가 근사적으로 균등분포를 따르는 방향을 고려하여 이에 대해서 왜도나 첨도의 최대를 생각하는 방법이다.
검정력 비교를 위하여 모의실험을 통하여 여러가지 대립가설에서, 제안된 통계량과 기존의 통계량을 비교하였다.
많은 다변량 해석기법에서의 여러 가지 추론 방법은 모집단이 이변량 정규분포를 따른다는 가정 하에서 고안되어 있으므로 다변량 정규분포에 대한 적합도 검정은 그중요성을 무시할 수 없다.
Sriviastava & Hui(1987)가 제안한 주성분을 이용하여 일변량 통계량을 다변량으로 확장하는 방법은 자료의 차원이 높을 때에도 실제적으로 사용하는데 무리가 없고 점근분포의 유도도 가능하나 주성분만을 고려함으로써 다변량 자료의 주성분 이외의 방향, 즉 의미 있는 일차결합에 대한 정보를 손실하게 된다. 그러나 자료의 탐색이나 진단을 통한 정규분포로의 변환에 정보를 제공하는 도구로서는 의미가 있다주성분을 이용하는 방법의 단점을 해결하기 위하여 주성분 이외의 방향을 고려하는 방법에 대해서도 연구되었고 자료의 차원이 높을 경우에 사용하기 곤란하던 기존의 통계량의 실제적인 계산방법을 제시하였다.

Abstract ▼

The purpose of this study is to propose a test statistic for multivariate normality, which is practical for high dimensional data. The Shapiro-Wilk statistic, skewness, kurtosis have been found to be the best omnibus test for detecting departures from univariate normality. We generalize these statis

The purpose of this study is to propose a test statistic for multivariate normality, which is practical for high dimensional data. The Shapiro-Wilk statistic, skewness, kurtosis have been found to be the best omnibus test for detecting departures from univariate normality. We generalize these statistics to multivariate cases using the principal components. Also we consider some practical ways to compute the statistics generalized to multivariate cases using Roy's union-intersection principle.
In this study we considered some test statistics for testing multivariate normality based on principal components. These statistics do not have the property of affine invariance. However the distributions under the null hypothesis do not depend on the unknown mean vector and variance-covariance matrix. Also the null distributions can be easily derived by using the fact that principal components are asymptotically independent. Although the powers of the statistics are not very high, they could be used effectively in data analysis.
We also considered an approximation to the statistics for multinomality using Roy's union-intersection principle. We generalized Kim & Bickel(2003)'s statistic for bivariate normality to that of multinormality, applying Fattorini(1986)'s method. The statistic is an approximate statistic to multivariate Shapiro-Wilk statistic. And we proposed an approximate statistics to Malkovich & Afifi(1973)'s multivariate skewness and kurtosis.
Power performance of the proposed tests is assessed in a Monte Carlo study.
The assumption of multivariate normality underlies much of the standard classical multivariate statistical methodology. But it is much more difficult to find a statistic that is universally accepted for testing multivariate normality.
The statistics for multinormality using principal components proposed by Srivastava & Hui(1987) are practical even for high dimensional data. However it seems that they lose some information in some meaningful linear combinations of the data by investigating just principal components. In spite of that, they could be used effectively in data analysis.
To solve the shortcoming of the statistics based on principal components, we also considered some other directions besides principal components and proposed the way to compute the statistics using Roy's union-intersection principle approximately.

목차 Contents

• Ⅰ. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• Ⅱ. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• Ⅲ. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...6
• 3. 결과 및 고찰...13
• 4. 결론...19
• 5. 인용문헌...19