초록 ▼

1) 먼저 극소곡면의 embeddedness 에 관한 연구를 미네소타 대학의 Gulliver 와 수행하여 곡률의 상한이 주어진 리만 다양체에서 극소곡면의 경계곡선의 전곡률 값으로서 극소곡면의 embeddedness 를 얻어내는 정리를 증명하였다. 이는 Ekholm-White-Wienholtz 가 유크리드 공간에서 극소곡면의 embeddedness를 얻은 정리를 리만 다양체로 확장한 것이다.
2) n 차원 유클리드 공간의 볼록 영역 바깥에 있는 영역에 대한 상대적 등주부등식을 증명하였다. 이 부등식이 등식이 되는 경우는 바로 반

1) 먼저 극소곡면의 embeddedness 에 관한 연구를 미네소타 대학의 Gulliver 와 수행하여 곡률의 상한이 주어진 리만 다양체에서 극소곡면의 경계곡선의 전곡률 값으로서 극소곡면의 embeddedness 를 얻어내는 정리를 증명하였다. 이는 Ekholm-White-Wienholtz 가 유크리드 공간에서 극소곡면의 embeddedness를 얻은 정리를 리만 다양체로 확장한 것이다.
2) n 차원 유클리드 공간의 볼록 영역 바깥에 있는 영역에 대한 상대적 등주부등식을 증명하였다. 이 부등식이 등식이 되는 경우는 바로 반공(half ball) 인 경우이다. (Ghomi-Ritore 와 공동연구)
3) 상대적 등주부등식을 음의 곡률을 갖는 3차원 리만 다양체에서 증명하였다. 이 부등식도 반공의 경우에 등식이 된다. (Ritore 와 공동연구)
4) cone 에서 정의된 조화사상의 내부와 경계의 에너지에 관한 부등식 isoenergy inequality 으로부터 극소곡면 위의 라플라시안의 첫 고유치와의 관계식을 얻었다.
5) 아인슈타인 방정식과 비선형 클라인고든방정식 그리고 맥스웰 힉스 방정식이 결합 된 방정식 들에서 회전대칭이 있을때 작은 초기조건 하에서 대역적해의 존재성을 증명하였다.
6) 천-사이몬항을 주요 항으로 하고 있는 여러 형태의 (2+1)차원 자기쌍대방정식의 비위상적 해의 존재와 무한점 근처에서의 해의 점근적 행태를 조사하였다.
7) 베소프나 트리벨 리졸킨공간 등 여러축척의 함수공간상에서 3차원 오일러방정식의 국소해의 존재를 증명 하였고 해가 유한시간 내에 폭발할 조건을 구했는데 이들결과는 Kato, Kato-Ponce, 그리고 Beale-Kato-Majda의 고전적 결과들을 개선 시킨 것이다.
8) 2차원의 준 대기방정식의 일차원 모형에서 보편적 초기조건에대해 유한시간내에 해가 폭발함을 증명 하였고, 실제로 폭발하는 해를 구성하였다.

Abstract ▼

1) We proved that given a Jordan curve with its total curvature bounded above by a certain constant in a Riemannian manifold of nonpositive curvature, any minimal surface spanning the Jordan curve is embedded.
2) We proved that any domain outside a convex domain in R n satisfies the relative isop

1) We proved that given a Jordan curve with its total curvature bounded above by a certain constant in a Riemannian manifold of nonpositive curvature, any minimal surface spanning the Jordan curve is embedded.
2) We proved that any domain outside a convex domain in R n satisfies the relative isoperimetric inequality, where equality holds if and only if the domain is a half ball.
3) We proved that any domain outside a convex domain in a Cartan-Hadamard manifold satisfies the sharp relative isoperimetric inequality.
4) We showed that the first eigenvalue of the Laplacian on a minimal surface in S $^n$ is bounded above by a constant depending on the energy of a harmonic map on a cone over the minimal surface.
5) We proved global existence of solution for the Einstein equations coupled with nonlinear Klein-Gordon equation and the Maxwell-Higgs system respectively for small initial data.
6) We proved existence of nontopological solutions and investigated the asymptotic behavious of the solutions near infinity for the various (2+1) dimensional self-dual equations with Chern-Simons term as the principal part.
7) We proved local in time existence of solutions of the 3D Euler equations in various scaled function spaces like the Besov and the Triebel-Lizorkin spaces, and obtained refined form of the finite blow-up criterion using the Besov space, improving the classical results by Kato, Kato-Ponce, and Beale-Kato-Majda.
8) For the one dimensional model equation of the 2D quasi-geostrophic equation we proved the finite time blow-up for generic initial data, and constructed explicitly the blowing-up solution.

목차 Contents

• I. 연구계획 요약문...3
• 1. 국문요약문...3
• II. 연구결과 요약문...4
• 1. 국문요약문...4
• 2. 영문요약문...5
• III. 연구내용...6
• 1. 서론...6
• 2. 연구방법 및 이론...9
• 3. 결과 및 고찰...11
• 4. 결론...12
• 5. 인용문헌...12