초록 ▼

본 연구의 동기가 된 리오단 군과 리오단 배열(행렬)의 개념은 formal power series 환에서 정의된 것으로 1991년에 L. Shapiro 교수에 의하여 처음 소개되었다. 이 개념은 대수학 및 행렬이론을 조합론과 연계시키는 이론으로 주로 random walks 과 트리를 포함하는 카운팅 문제를 생성함수를 이용해 풀거나 역으로 카운팅 문제를 생성함수로 변환하여 얻은 리오단 배열로부터 원래 문제의 조합적 해석 또는 새로운 항등식을 얻는 조합적 도구로서 이용되고 있는 것으로서, 최근 많은 수학자들에 의해서 연구되고 있다.

본 연구의 동기가 된 리오단 군과 리오단 배열(행렬)의 개념은 formal power series 환에서 정의된 것으로 1991년에 L. Shapiro 교수에 의하여 처음 소개되었다. 이 개념은 대수학 및 행렬이론을 조합론과 연계시키는 이론으로 주로 random walks 과 트리를 포함하는 카운팅 문제를 생성함수를 이용해 풀거나 역으로 카운팅 문제를 생성함수로 변환하여 얻은 리오단 배열로부터 원래 문제의 조합적 해석 또는 새로운 항등식을 얻는 조합적 도구로서 이용되고 있는 것으로서, 최근 많은 수학자들에 의해서 연구되고 있다.
본 연구과제에서 1차년도는 리오단 군을 Laurent series 환상의 군의 개념으로 확장하여 단순히 formal power series 환상에서 정의된 리오단 이론을 한층 발전시켰고 더욱이 로렌츠급수로 정의되는 다항식의 행렬표현 즉 확장된 리오단 배열 표현을 가능하게 함으로써 다항식 환의 연구에 기여하였다. 특히 이 연구에서 “리만 가설”을 풀기위한 충분조건을 제시하였다. 2차년도는 로렌츠 환상의 리오단 군과 ray-열에 의한 리오단 배열의 연구로서 지금까지 알려진 A-열, Z-열, ${\Delta}$-열 이외에 무한히 많은 수의 열이 존재해서 이 열들은 리오단군의 부분군을 생성함을 보여 리오단 군의 새로운 대수적 구조를 밝혔다. 행렬대수에서 리 군의 예로 주로 GL(n, ℂ), SL(n, ℂ) 을 사용하는데 본 연구에서 리오단군의 개념으로 부터 얻은 가환인 리군의 예를 제공했다. 특히 이 연구는 제어이론에서 중요하게 다루어지는 Krylov 행렬의 대수적 구조를 밝히는데 이용되었다. 3차년도는 1, 2차년도에서 수행한 연구결과의 응용 연구로서 주로 random walks, 순서트리, 그리고 lattice와 관련된 결과이다.
도출한 연구성과는 6편의 SCI연구논문 이외에 아래 2편의 논문이 투고되어 현재 논문 심사가 진행 중이고, 15편의 국내학회 발표와 10편의 국제학회 발표가 있었다. 본 연구기간 동안 이 분야를 연구하여 연구조원 3명(정지환, 진성태, 송민호)이 석사학위를 받고 모두 본교 박사과정에 진학하였다. 또한 연구조원 1명(김하나)은 2012년 2월에 박사학위를 받고 현재 성균관대 수학과 BK 박사후 연구원으로 이 분야의 연구를 계속하고 있다.
[1] G.-S. Cheon and H. Kim, The Riemann Zeta function and polynomials with only zeros on the line Re(s)=m/2, submitted to Mathematics Anallen.
[2] G.-S. Cheon and H. Kim, A new aspect of Hankel matrices via Krylov matrix, submitted to Linear Algebra and Its Applications.