초록 ▼

연구결과
본 연구에서는 유한한 수의 사중할선을 가지는 임의의 매듭의 사중할선 근사는 원래의 매듭과 같은 종류의 매듭이라는 것에 대한 예측에 대해 연구하고 칠각 8자형 매듭의 사중할선근사가 8자형 매듭임을 보였다. 또한 꼭짓점이 6개인 완전그래프의 선형공간그래프가 가질 수 있는 사중할선의 개수를 계산하였으며 램지 수가 8인 매듭이나 고리가 존재하지 않음을 보였다. 양매듭의 바실리에프 불변량 값을 계산하고 3땋임 고리, 2교각고리, 몬테시노스 고리에 대해 호스테 예측을 증명하였다. 또한 낮은 종수의 매듭그림, 2성분 고리그림, 3

연구결과
본 연구에서는 유한한 수의 사중할선을 가지는 임의의 매듭의 사중할선 근사는 원래의 매듭과 같은 종류의 매듭이라는 것에 대한 예측에 대해 연구하고 칠각 8자형 매듭의 사중할선근사가 8자형 매듭임을 보였다. 또한 꼭짓점이 6개인 완전그래프의 선형공간그래프가 가질 수 있는 사중할선의 개수를 계산하였으며 램지 수가 8인 매듭이나 고리가 존재하지 않음을 보였다. 양매듭의 바실리에프 불변량 값을 계산하고 3땋임 고리, 2교각고리, 몬테시노스 고리에 대해 호스테 예측을 증명하였다. 또한 낮은 종수의 매듭그림, 2성분 고리그림, 3땋임 고리그림에 대해 EE-diagram을 분류하였으며 거의 모든 매듭과 고리에 대해 같은 닫힘을 갖는 n땋임의 무한히 많은 공액류를 찾았다. 3가 공간 그래프에 관하여, 평면 순환 4-연결그래프가 닫힌 유향 곡면의 1-꼭짓점 삼각분할의 쌍대임을 증명하였다. 또한 기존의 불변량으로는 구별되지 않는 무한히 많은 3가 공간 그래프들을 분류하였고, 3-토러스의 최소 종수히가드 곡면이 임계 곡면임을 보였다. 또한 그래프의 선형 매장의 여공간의 기본군이 자유군이 되는 것에 관한 조건을 찾아내었다. 호지수에 관하여는 호지수 12를 가지는 기약매듭을 모두 생성하여, 그 중 엇갈림수 16 이하의 알려진 매듭들을 전부 분류하였다. 이를 통해 그에 해당하는 19,513개의 기약매듭의 호지수를 확정하고, 각각의 대표 호표현을 제시하였다.
엇갈림수, 엇갈림수보다 하나 적은, 엇갈림수보다 둘 적은 수를 호지수로 가지는 무한히 많은 비교대 프레첼 매듭을 찾았다. 마지막으로 매듭의 모자익 수의 상한을 엇갈림 수의 식으로 표현하였으며 작은 크기의 모자익 보드에 표현되는 모든 매듭의 수를 세고 일반적인 경우에 대해서는 정확한 값을 주는 알고리즘을 개발하였다.

Abstract ▼

Result
In this research, we investigate on the expectation that quadrisecant approximation would be of the same type as the given knot, and showed that it is true for heptagonal figure-eight knots. We also counted the number and types of quadrisecants in linear complete graphs of six vertices and

Result
In this research, we investigate on the expectation that quadrisecant approximation would be of the same type as the given knot, and showed that it is true for heptagonal figure-eight knots. We also counted the number and types of quadrisecants in linear complete graphs of six vertices and showed that there are no knots or links with Ramsey number equal to 8. We computed Vassiliev invariants for positive knots and obtained some partial results on Hoste’s conjecture for 3-braid links, 2-bridge links, Monetsinos links. We proved there is an infinite sequence of conjugacy classes of n-braids with the same closure for all knots and most links. Also everywhere equivalent diagrams were classified for knot diagrams of low genus, 2-component link diagrams, and 3-braid link diagrams. For 3-valent spatial graphs, we proved that a planar cyclic 4-connected graph is the dual of a 1-vertex triangulation of a closed orientable surface, and this was used to show that the maximal volume of an alternating link with negative Euler characteristic is independent of the number of components. We classified infinitely many 3-valent spatial graphs and showed that minimal genus Heegaard surface of 3-torus is critical. Also we gave some condition for linearly embedded graphs to be free. For arc index of knots, we have generated all prime knots with arc index 12, and identified those with no greater than 16 crossings, based on the previous classification results. From this, we have determined the arc index of 19,315 prime knots, and found their representative arc presentations. We also found infinite families of pretzel knots whose arc index is the crossing number, the crossing number minus one and the crossing number minus two, respectively. Finally we found the precise values of total number of mosaic knots for small mosaic boards, and constructed an algorithm producing the precise values of total number of mosaic knots for any mosaic board.