초록 ▼

Ⅰ. 연구결과 요약문

1. A change of scale formula for a function space integral on C_{a,b}[0,T]
Cameron과 Storvick은 위너공간에서의 바나하 대수 S에 속하는 함수들에 대하여 척도변환공식을 개발하였다. 즉, 임의의 양수 ρ에 대하여 위너적분 ∫_c0[0,T]F(ρx)dm(x)과 ∫_c0[0,T]F(x)dm(x)의 관계에 대하여 연구하였다. 그 후 본 연구자를 포함한 여러 사람들은 다양한 형태의 함수들에 대하여

Ⅰ. 연구결과 요약문

1. A change of scale formula for a function space integral on C_{a,b}[0,T]
Cameron과 Storvick은 위너공간에서의 바나하 대수 S에 속하는 함수들에 대하여 척도변환공식을 개발하였다. 즉, 임의의 양수 ρ에 대하여 위너적분 ∫_c0[0,T]F(ρx)dm(x)과 ∫_c0[0,T]F(x)dm(x)의 관계에 대하여 연구하였다. 그 후 본 연구자를 포함한 여러 사람들은 다양한 형태의 함수들에 대하여 척도변환 공식이 어떻게 성립하는지에 관하여 연구하였다. 본 연구에서는 일반화된 위너공간인 C_a,b[0,T]에서의 척도변환공식을 개발하였다. 여기서 a(t)는 [0,T]에서 절대연속인 함수이고 b(t)는 단조증가하는 미분 가능한 함수이다.

2. Generalized measure permutation formulas in Feynman's operational calculi
연산자(operator)들에 대한 함수를 정의하는 것은 순수 수학에서 뿐만 아니라 응용 면에서도 많이 이용되고 있다. 예를 들면, 연산자에 대한 지수함수는 여러 응용 면에서 초기치 문제의 해를 구하는데 이용되고 있다. 비가환 연산자들에 대한 함수를 정의하는 방법 중의 한 가지인 파인만 연산자 함수론은 1951년 파인만의 논문으로부터 시작되었다. 본 연구에서는 Jefferies와 Johnshon의 정의한 파인만 연산자 함수론에 대한 연구이다. 이 이론에 따르면 임의의 해석함수 f(x,y)와 비가환 연산자 A,B에 대하여 T_μ1,μ2f(A,B)와 T_μ2,μ1f(A,B)는 같지 않다. 본 연구에서는 이 두 연산자의 관계를 밝히고 그 결과를 Pauli 행렬을 포함하는 행렬함수에 적용하였다.

3. Shifting and variational properties for Fourier-Feynman transform and convolution
그동안 위너공간에서의 푸리에-파인만 변환과 합성곱에 관한 연구는 주로 합성곱의 푸리에-파인만 변환이 각 함수의 푸리에-파인만 변환의 곱과 같다는 성질과 관련된 것이었다. 그러나 유클리드 공간에서의 푸리에 변환은 그 이외에도 좋은 성질을 많이 가지고 있다. 예를 들면, 시간이동 한 함수의 푸리에 변환, 변환된 함수의 주파수이동, modulation 성질 등 여러 가지가 있다. 본 연구에서는 푸리에 변환의 이러한 성질들이 푸리에-파인만 변환에서는 어떤 형태로 성립하는지에 관하여 연구하였다. 바나하 대수 S에 속하는 함수들에 대해서는 좋은 성질들이 많이 성립함을 보였으므로 추후 연구에서는 실린더 함수나 지수형 함수 등에 대한 것으로 연구범위를 확장할 수 있으리라 생각한다.

4. Change of scale formulas for Wiener integrals related to Fourier-Feynman transform and convolution
척도변환 정리와 푸리에-파인만 변환을 결합한 연구이다. 위너공간에서의 바나하 대수 S에 속하는 함수들에 대하여 푸리에-파인만 변환 및 합성곱과 관련된 위너적분의 척도변환정리에 대하여 연구하였다.

5. Generalized convolution product for integral transform on Wiener space
푸리에-파인만 변환과 적분변환의 합성곱을 확장한 (F^*G)α,β을 정의하고 그 성질을 연구하고 있다. 여기에서 α와 β가 특별한 값을 가지면 기존의 푸리에-파인만 변환과 적분변환의 합성곱을 얻을 수 있다.