초록 ▼

□ 연구개요
본 연구는 knot complement의 pseudo-hyperbolic structure에 관한 연구이며 이 연구는 소위 “volume conjecture”라는 3차원 다양체의 가설로부터 motivate되었다. 이 가설은 hyperbolic knot의 quantum invariant의 극한과 knot complement의 hyperbolic structure에서 오는 volume과 Chern-Simons invariant를 연결하는 중요한 가설이다. 우리의 목표는 이 가설을 보다 기하학적으로 보기위한 founda

□ 연구개요
본 연구는 knot complement의 pseudo-hyperbolic structure에 관한 연구이며 이 연구는 소위 “volume conjecture”라는 3차원 다양체의 가설로부터 motivate되었다. 이 가설은 hyperbolic knot의 quantum invariant의 극한과 knot complement의 hyperbolic structure에서 오는 volume과 Chern-Simons invariant를 연결하는 중요한 가설이다. 우리의 목표는 이 가설을 보다 기하학적으로 보기위한 foundational theory를 정리하는 것이라고 말할 수 있다. 이 quantum invariant들은 임의의 knot에 적용되기 때문에 기하구조도 임의의 knot에 적용할 수 있어야 하고 이를 위한 구조가 pseudo-hyperbolic structure이고 이구조의 이론 기반을 먼저 구축하고 그 적용과 응용을 연구하고자 한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
일반적인 knot에 대해 그 complement에 pseudo-hyperbolic structure를 주기 위하여는 우선 knot diagram에 octahedral decomposition을 대응시키고 이 octahedron을 4개 또는 5개의 ideal tetrahedron으로 쪼개어 Thurston hyperbolicity equation을 만족하는 solution을 구하고 developing and holonomy를 준다. 우선 이 작업이 pseudo인 경우에도 잘 성립한다는 것을 증명하고 구체적으로 knot 또는 link가 주어졌을 때 이것들을 어떻게 계산할 수 있을지 보여야 한다. 그러기 위하여 Thurston equation을 풀어야하는데 그 방법을 찾아야 한다. 다음에 이의 적용으로 knot complement의 complex volume과 cusp shape을 계산하고 일부 알려진 기존의 계산들과 비교해 보는 것이 첫 번째 목표인데 위의 모든 목표들을 성공적으로 수행하였다. 특히 solution을 구하는 문제는 infinite family에 대해서는 2-bridge knot의 경우까지 그 구조를 밝혔고 이를 이용하여 twist knot의 경우 기존의 기하적인 경우뿐만 아니라 모든 경우의 volume과 cusp shape등을 계산하였다.
사실 psedo-hyperbolic 구조는 일반적인 PSL(2,C) representation 의 기하구조라고 볼 수 있기 때문에 이에 대한 연구와 동일하다. 따라서 이 representation들 어떻게 계산할 수 있는지 알아야 하는데 이 문제는 character variety를 계산하는 것이 되고 boundary parabolic의 경우에는 Zickert의 Ptolemy variety를 계산하는 것이 된다. 이에 대한 연관도 같이 연구하였다.

□ 연구개발결과의 중요성
위 연구결과를 바탕으로 우선 Zickert의 long-edge parameter가 어떻게 우리의 psedo-hyperbolic 구조 연구에서 나오는 w-variable과 관계되어지는지 보이고 이를 이용하여 우리 팀의 대학원 학생이 deformed case(i.e., Dehn surgery case)에 Neumann-Zickert 이론을 사용하여 knot의 경우에 quantum invariant를 구하듯이 state sum type의 complex volume 공식을 얻어내었다. 이어서 Cho, Zickert와 함께 cluster algebra와의 관계를 설명하는 Hikami-Inoue conjecture를 증명하였다. 이런 결과들은 octahedron 방법이 knot diagram이 주는 일종의 canonical triangulation이기 때문에 직접적으로 quantum invariant 또는 combinatorial invariant와 기하적 invariant를 연결하는 다리가 되기 때문에 얻어낼 수 있고, 같은 이유에서 앞으로 더 많은 중요한 결과들이 얻어질 것이 기대된다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 6
• 4. 참고문헌 ... 7
• 5. 연구성과 ... 9
• 끝페이지 ... 9