초록 ▼

연구의 목적 및 내용
이 연구에서는 차원이 3인 양 이차형식의 다양한 성질에 대하여 연구한다. 특별히 차원이 3인 이차형식의 류수를 구하는 일반적인 알고리듬을 제시하고 이차형식이 정수를 표현하는 개수에 관한 여러 가지 관계식들을 구한다. 또한 등차수열의 집합을 표현하는 양 이차형식, 0이 아닌 제곱의 합으로 표현되는 이차형식 등 이차형식의 표현에 관한 다양한 성질들을 연구한다.
연구결과
이번 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 도출하였다.
(1) 차원이 3인 양 이차형식의 류수를 구하는 일반적인 방법을 제시

연구의 목적 및 내용
이 연구에서는 차원이 3인 양 이차형식의 다양한 성질에 대하여 연구한다. 특별히 차원이 3인 이차형식의 류수를 구하는 일반적인 알고리듬을 제시하고 이차형식이 정수를 표현하는 개수에 관한 여러 가지 관계식들을 구한다. 또한 등차수열의 집합을 표현하는 양 이차형식, 0이 아닌 제곱의 합으로 표현되는 이차형식 등 이차형식의 표현에 관한 다양한 성질들을 연구한다.
연구결과
이번 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 도출하였다.
(1) 차원이 3인 양 이차형식의 류수를 구하는 일반적인 방법을 제시하였다.
(2) 공차가 소수인 등차수열 집합의 정수 가운데 표현하는 정수들이 같은 양의 정부호 이변수 이차형식의 쌍을 모두 구하였다.
(3) 이변수 이차형식이 다섯 개의 제곱의 합으로 표현될 때, 0이 아닌 다섯 개의 제곱의 합으로 표현되는 이변수 이차형식을 모두 구하였다.
(4) 차원이 3인 이차형식에 의한 정수 표현의 개수에 관한 Eichler의 Anzahlmatrix를 일반화 하는 등 다양한 성질을 증명하고, 같은 지너스에 있는 이차형식으로부터 얻어지는 그래프의 성질에 대하여 연구하였다.
연구결과의 활용계획
위 연구 결과를 이용하면 다음과 같은 문제를 해결할 수 있을 것으로 기대하고 있다.
(1) 차원이 3인 이차형식으로부터 얻어지는 다중 그래프가 단순 그래프가 되는 경우, 라마누잔 그래프가 되는 경우를 모두 구하고 무수히 많은 k-정규 라마누잔 그래프를 얻을 수 있을 것으로 생각된다.
(2) 같은 정수를 표현하는 차원이 3인 이차형식의 쌍에 관한 Kaplansky 가설에 대한 해답을 얻을 수 있을 것으로 생각된다.
(2) 이차체 상에서 다섯 개의 0이 아닌 제곱의 합으로 쓸 수 있는 대수적 수를 모두 구할 수 있을 것으로 생각된다.

Abstract ▼

Purpose&contents
In this research, we study various properties of positive definite ternary quadratic forms. In particular, we give some method how to compute the class numbers of positive definite quadratic forms and various relations between representation numbers of integers by some ternary qu

Purpose&contents
In this research, we study various properties of positive definite ternary quadratic forms. In particular, we give some method how to compute the class numbers of positive definite quadratic forms and various relations between representation numbers of integers by some ternary quadratic forms. Furthermore we study various properties of the representations of quadratic forms, such as representations of an arithmetic progression, representations by the sum of non zero squares.
Result
In this research we proved the following results:
(1) we provide the general method on computing the class numbers of arbitrary ternary quadratic forms;
(2) we found all pairs of binary forms representing same integers in the arithmetic progression with prime difference;
(3) we found all binary forms that are represented by the sum of non zero five squares;
(4) we provide various relations on the number of representations of integers by ternary forms, especially we generalize Eichler’s anzahlmatrix. Furthermore we proved various relations of multi-graph given by the genus of a ternary quadratic form.
Expected Contribution
We may apply our results to prove the followings:
(1) we may find infinite family of k-regular Ramanujan graph;
(2) we may solve the Kaplansky’s conjecture on the pair of ternary forms representing same integers;
(3) we may find all algebraic integers over quadratic fields that are represented by the sum of five non zero squares.

목차 Contents

• 핵심연구사업 최종보고서(평가용) ... 1
• 목 차 ... 3
• 연구계획 요약문 ... 4
• 연구결과 요약문 ... 5
• 한글요약문 ... 5
• SUMMARY ... 6
• 연구내용 및 결과 ... 7
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 7
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 10
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 11
• 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 20
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 22
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 24
• 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 24
• 8. 참고문헌 ... 25
• 9. 연구성과 ... 27
• 10. 기타사항 ... 31
• 끝페이지 ... 33