초록 ▼

□ 연구의 목적 및 내용
본 연구는 기하군론 및 조합론에서 다루는 다양한 군들 사이의 매장(embedding) 관계를 다루고, 그 대상이 되는 군들의 기하학적 성질을 연구하는 것을 목적으로 한다. 구체적으로, 직교아틴군(right-angled Artin group), 직교콕시터군(right-angled Coxeter group) 및 사상류군(mapping class group) 등이 위상공간에 작용하는 경우 나타나는 대수적, 기하적 성질들을 다룬다.
본 연구에서는 이에 따라 직교아틴군이 여러 기하학적 대상에 작용할 때,

□ 연구의 목적 및 내용
본 연구는 기하군론 및 조합론에서 다루는 다양한 군들 사이의 매장(embedding) 관계를 다루고, 그 대상이 되는 군들의 기하학적 성질을 연구하는 것을 목적으로 한다. 구체적으로, 직교아틴군(right-angled Artin group), 직교콕시터군(right-angled Coxeter group) 및 사상류군(mapping class group) 등이 위상공간에 작용하는 경우 나타나는 대수적, 기하적 성질들을 다룬다.
본 연구에서는 이에 따라 직교아틴군이 여러 기하학적 대상에 작용할 때, 그 미분동형사상군 혹은 사교동형사상군에 매장되는지를 조사하였으며, 또 직교아틴군이 해당하는 확장 그래프에 작용할 때 그 작용이 어떤 성질을 갖는지를 조사하였다. 또한 본 연구자가 목표로 제시하였던 타일 추측을 rank 2에 대해 해결하였으며, 구면의 예각삼각화 조건을 조합적으로 분류함에 있어 직교콕시터군의 기하학을 이용하여 완전한 분류에 성공하였다.

□ 연구결과
(1) 구면의 삼각화가 예각삼각화일 조건을 그 삼각화에 대응하는 직교콕시터군의 성질을 이용하여 분류하였으며, 이를 다시 활용하여 해당 삼각화에 대한 조합적 성질로만 재기술해내어, 구면의 예각 삼각화 조건의 분류에 성공하였다.
(2) 임의의 직교아틴군이 적당한 트리의 직교아틴군에 준등거리적으로 매장됨을 증명하였다. 이로부터 직교아틴군의 다양한 군들로의 준등거리적 매장을 증명할 수 있었는데, 그 중 특히 Symp(S²)로의 L^p거리에 대한 준등거리적 매장을 증명한 것은 Kapovich와 Crisp-Wiest의 오래된 문제를 부분적으로 해결한 것이다.
(3) rank 2 자유군의 경우에 대한 타일 추측을 해결하고, 이 타일 추측의 부분적 해결을 이용하여 타일 추측이 함의하는 곡면 부분군 추측 역시 free group의 double에 대하여 부분적으로 풀어내었다.
(4) 어떤 사상류군 Mod(S)에 대해서도, 채색수와 girth가 임의로 큰 그래프의 직교아틴군 A(T)이 존재하여서 A(T)에서 Mod(S)으로 가는 매장(embedding)은 존재하지 않는다는 사실을 채색수에 대한 부등식을 통해 정확하게 양적으로 증명하였다.
(5) 종수가 2 이상인 곡면의 사상류 군의 어떠한 유한 인덱스 부분군을 잡더라도 원의 C² 미분 동형사상으로 faithful하게 작용할 수 없음을 증명하였다. 이는 Farb의 질문을 해결한 것이며 Burger-Monod와 Ghys의 격자에 대한 결과를 사상류 군에 대해 증명한 것이다.
(6) 세 오비폴드 점을 가진 구면에 대하여, 열린 그로모프-위튼 포텐셜을 계산하는 알고리즘을 구성하였다.

□ 연구결과의 활용계획
이제까지 증명한 직교아틴군의 여러 군으로의 매장 관계는 앞으로 연구함에 있어 기초적 참조점이 될 수 있다. 앞으로의 연구는 이미 확립된 매장 관계를 조금 더 좁은 군의 클래스로 좁히거나, 이를 이용하여 다른 군 클래스로의 매장을 연구하는 등에 사용할 수 있다. 나아가 이미 확립된 확장그래프와 같은 개념을 더 일반화하는 데에도 기존 연구에서 확립된 정리들을 참고해볼 수 있을 것이다.
응용면에서는 비가환 암호학(non-commutative cryptography)에의 활용이 기대된다. 이는 비가환 대수구조에 기반한 암호 알고리즘을 사용하는 암호학 분야로서, 땋임군, 아틴군 및 콕시터군이 널리 응용되는 분야이다. 해당 분야의 알고리즘을 개선하는 문제에 있어 본 연구의 결과들은 중요한 계산가능한 지표들을 제공하고 있다.
(출처:요약문 5p)

Abstract ▼

□ Purpose& contents
In this project, several embedding relations among famous groups in Geometric Group Theory and Combinatorics were investigated. Especially, we take notice of algebraic and geometric properties resulting from group actions of right-angled Artin groups, right-angled Coxeter grou

□ Purpose& contents
In this project, several embedding relations among famous groups in Geometric Group Theory and Combinatorics were investigated. Especially, we take notice of algebraic and geometric properties resulting from group actions of right-angled Artin groups, right-angled Coxeter groups and mapping class groups on some topological spaces.
According to these purposes, it was studied whether there are emdeddings from a right-angled Artin group(RAAG) to the diffeomorphism group or the symplectomorphism group whose base space has an action by the RAAG. Moreover, we also conducted a research on what features the action has when an RAAG acts on the corresponding extension graph. Finally, we solved the rank 2 tiling conjecture proposed by the main researcher and succeeded in combinatorially classifying acute triangulation conditions of the sphere by using the geometry of right-angled Coxeter groups.

□ Result
(1) The conditions that a trangulation of the sphere is an acute triangulation were classified by using properties of the right-angled Coxeter group corresponding to the triangulation. Furthermore, applying the results, we redescribed the conditions in terms of combinatorics, which concluded the original project of classification.
(2) It was proved that every right-angled Artin group is quasi-isometrically embedded in the right-angled Artin group of some tree. From this fact, we could deduce several embedding results from RAAGs to some well-known groups, among which there was an embedding theorem into Symp(S²) concerning L^p-metric, which partially settled an old problem of Kapovich and Crisp-Wiest.
(3) We solved the tiling conjecture in case of the rank 2 free group. Taking advantage of it, we could also make progress in the surface subgroup conjecture when it came to the double of free groups.
(4) It was shown that for any mapping class group Mod(S), there is a right-angled Artin group A(T) with arbitrarily large chromatic number and girth, where there is no embedding from A(T) to Mod(S). It was noticeable that the proof could be given quantitatively, by using an inequality on the chromatic number.
(5) We proved that for any finite index subgroup of the mapping class group of a surface with the genus more than 1, there is no faithful action of the group on the circle as C² -diffeomorphisms. It is the positive answer to a question of Farb and similar to a result of Burger-Monod and Ghys on lattices.
(6) For each sphere with three orbifold points, we constructed an algorithm to compute the open Gromov–Witten potential.

□ Expected Contribution
The embedding relations, we proved, from RAAGs to several groups can be a starting point of many follow-up studies. Further research may narrow the class of groups embedded or apply results to establishing another embedding relation. The theorems we showed may be useful to generalize definitions such as the extension graph.
As to application, it is expected to utilize the results for the non-commutative cryptography(NCC) research. The NCC is a branch of cryptography using algorithms based on non-commutative algebraic structures, where the braid group, the Artin group and the Coxeter group are widely applied. For problems improving the algorithms for the NCC, the results of ours can provide some important computable references.
(출처:SUMMARY 6p)

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 3연구계획 요약문 ... 4연구결과 요약문 ... 5 한글요약문 ... 5 SUMMARY ... 6연구내용 및 결과 ... 7 1. 연구개발과제의 개요 ... 7 2. 국내외 기술개발 현황 ... 11 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 13 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 16 5. 연구결과의 활용계획 ... 17 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술정보 ... 18 7. 참고문헌 ... 18 8. 연구성과 ... 22 9. 국가과학기술지식정보서비스에 등록한 연구시설‧장비 현황 ... 26 10. 연구개발과제 수행에 따른 연구실 등의 안전조치 이행실적 ... 26 11. 기타사항 ... 26끝페이지 ... 26