초록 ▼

본 과제에서는 먼저 직교아틴군 사이의 포함관계를 연구하였다. 주어진 유한 그래프 Γ에 대하여 우리는 조합적 방법을 통해 확장그래프 Γ^e를 만드는 방법을 기술하였다. 이를 통해 우리는 Γ가 triangle-free일 때, 직교아틴군 A(Λ)가 A(Γ)의 부분군이 된다는 것은 Λ가 Γ^e의 유한 유도부분그래프(finite induced subgraph)이라는 것과 동치임을 증명하였다. 또한 Γ의 모양과 상관없이 보다 일반적으로, A(Λ)가 A(Γ)의 부분군이 되면 Λ는 Γ^k

본 과제에서는 먼저 직교아틴군 사이의 포함관계를 연구하였다. 주어진 유한 그래프 Γ에 대하여 우리는 조합적 방법을 통해 확장그래프 Γ^e를 만드는 방법을 기술하였다. 이를 통해 우리는 Γ가 triangle-free일 때, 직교아틴군 A(Λ)가 A(Γ)의 부분군이 된다는 것은 Λ가 Γ^e의 유한 유도부분그래프(finite induced subgraph)이라는 것과 동치임을 증명하였다. 또한 Γ의 모양과 상관없이 보다 일반적으로, A(Λ)가 A(Γ)의 부분군이 되면 Λ는 Γ^k_e의 유한 유도부분그래프임을 증명하였다. 이를 통해서 직교아틴군 사이의 포함관계에 대한 알려진 기존의 결과들을 설명하였으며, 또한 의미있는 새로운 사실들을 증명하였다.
증명의 핵심아이디어는 주어진 직교아틴군들을 사상류군으로 포함시킨 후 사상류군 안에서 Dehn twist들과 pseudo-Anosov 위상동형사상들이 생성하는 직교아틴군들을 기하학적으로 고려함으로 얻어진다. 이는 단사함수라는 까다로운 조건의 증명에 사상류군의 기하학적 성질을 이용한 것이다.
이러한 연구의 후속으로 우리는 Birman-Lubotzky-McCarthy의 결과를 확장하여, 사상류군의 부분군이되는 직교아틴군에 대한 필요조건을 제시할 수 있었다. 이를 통해 본연구자는 사상류군이 주어졌을 때, 거기에 포함되지 않으면서 cohomological dimension이 2인 직교아틴군이 있음을 보일 수 있었다.
CAT(0) 군의 쌍곡곡면부분군에 관하여서는 먼저 바움슬락 이중군 D(A)가 쌍곡곡면부분군을 가질 조건인 다각형성을 자유군의 부분집합인 A의 화이트헤드 그래프에 대한 조합적인 조건으로 완전하게 기술하였으며, 기존에 해결하지 못한 여러 경우의 바움슬락 이중군에서 쌍곡곡면부분군을 찾았다.
이에 대한 후속연구로서 본연구자는 다각형성이 다항적 시간 안에 계산 가능한 성질임을 증명하였다. 또한 다각형성을 이용하여 A가 기하학적인 경우와, 또한 Manning이 제시한 non-virtually geometric한 경우를 해결하였다.
본연구자는 그래프곱의 CAT(0) 큐브 구조를 규명하였다. 구체적으로 본연구자는, 주어진 그래프의 각 꼭지점에 유한군과 순환군들이 놓여있으면 해당하는 그래프곱은 실질적으로 CAT(0) 구조를 가질 뿐 아니라, Wise가 정의한 대로의 virtually compact special한 군이 됨을 증명하였다. 이러한 CAT(0) 구조를 이용하여 본연구자는 주어진 직교콕시터군 C(Γ)가 쌍곡곡면부분군을 가질 필요충분조건은, Γ에 의해 정의된 임의의 non-trivial한 군들의 그래프곱 역시 쌍곡곡면부분군을 가지는 것임을 증명하였다.
특히 이는 길이 5이상의 cycle 혹은 anti-cycle (cycle의 여그래프)로 정의된 임의의 non-trivial한 군들의 그래프곱이 쌍곡곡면부분군을 가지는 것을 함의한다. 특히 이를 통해 본연구자는 생성원이 7이하인 경우 C(Γ)가 쌍곡곡면부분군을 가질 필요충분 조건은 Γ가 길이 5이상의 cycle 혹은 anti-cycle을 포함하는 것임을 보였다.

목차 Contents

• 일반연구자지원사업 최종(결과)보고서 ... 1
• 목차 ... 3
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 4
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 5
• 1. 연구과제의 개요 ... 5
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 5
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 5
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 7
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 7
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 7
• Ⅲ. 연구성과 ... 8
• 끝페이지 ... 9