초록 ▼

지난 12개월 동안 연구프로젝트를 진행하면서 다음과 같은 연구성과를 얻었다.
첫째, 힐베르트 주사위 위에 정의된 등거리변환은 내적을 보존함을 증명하였다. 좀 더 자세히 설명하면, 힐베르트 주사위를 I^w라 할 때, 노름공간과 힐베르트공간의 특수한 성질을 이용하여 전사함수 f:I^w → I^w가 등거리변환이면, 함수 f는 내적을 보존함을 증명하였다.
둘째, 힐베르트 주사위 위에 정의된 등거리변환은 (확장된) 선형성을 가짐을 증명하였다. 이 주제를 국내전문가와 공동으로 연

지난 12개월 동안 연구프로젝트를 진행하면서 다음과 같은 연구성과를 얻었다.
첫째, 힐베르트 주사위 위에 정의된 등거리변환은 내적을 보존함을 증명하였다. 좀 더 자세히 설명하면, 힐베르트 주사위를 I^w라 할 때, 노름공간과 힐베르트공간의 특수한 성질을 이용하여 전사함수 f:I^w → I^w가 등거리변환이면, 함수 f는 내적을 보존함을 증명하였다.
둘째, 힐베르트 주사위 위에 정의된 등거리변환은 (확장된) 선형성을 가짐을 증명하였다. 이 주제를 국내전문가와 공동으로 연구하면서 달성할 수 있었다. 간단히 말하면, 노름공간과 힐베르트공간의 특수한 성질, 그리고 선형함수의 일반적인 성질을 이용하여 전사함수 f:I^w → I^w가 등거리변환이면, 함수 f는 (확장된) 선형성을 가짐을 증명하였다.
셋째, 힐베르트 주사위 위에 정의된 등거리변환은 정규 직교기저를 다른 정규 직교기저로 변환시키며 성분을 보존함을 국내전문가와 공동연구를 하면서 증명할 수 있었다. 다시 설명하면, 힐베르트공간의 직교기저의 성질을 이용하여 전사함수 f:I^w → I^w가 등거리변환이면, 함수 f는 정규 직교기저를 다른 정규직교기저로 변환시키며 그 성분을 보존함을 증명하였다.
넷째, 지난 12개월 동안 다음과 같은 중요한 정리를 증명하였다: 􍾫힐베르트 주사위를 I^w라 하고, 힐베르트 주사위에 정의된 표준 확률측도를 π라 하며, 힐베르트 주사위의 임의의 보렐집합을 J와 K라 하자.만일 전사함수이자 등거리변환인 f:I^w → I^w 가 존재하여 K=f(J)를 만족한다면, π(J)=π(K)이다." 만일 이 정리에서 "f:I^w → I^w"를 "f:J → K"로 바꾼 채 이 정리를 증명할 수만 있다면, 이번 연구프로젝트의 최종목표를 달성하는 동시에 80여년 만에 "힐베르트 주사위 위의 측도 불변성에 관한 울람의 추론"을 증명하게 될 터인데, 제2,3차 년도의 연구비 지원을 받지 못하게 되어 매우 안타깝다.
다섯째, 연구프로젝트와 관련된 여러 가지 주제를 연구하였다. 국외수학자 1명, 국내수학자 5명과 공동으로 연구프로젝트와 관련된 주제를 연구하여 3편의 논문을 SCIE급 학술지에 게재하였고 SCIE급 학술지로부터 2편의 게재승낙을 받았으며 2편의 논문을 SCIE급 학술지에 투고하여 심사결과를 기다리고 있다. 더욱이 3편의 연구논문을 SCOPUS 등재 학술지에 게재하였다.
[1] S.-M. Jung and Y. W. Nam, On the Hyers-Ulam stability of the first-order difference equation, Journal of Function Spaces 2016 (2016), Article ID 6078298, 6 pages. (doi: 10.1155/2016/6078298)
[2] J. Roh and S.-M. Jung, Approximation by first-order linear differential equations with an initial condition, Journal of Function Spaces 2016 (2016), Article ID 2406158, 7 pages. (doi: 10.1155/2016/2406158)
[3] S.-M. Jung, J. Roh and J. Lee, Optimal Hyers-Ulam's constant for the linear differential equations, Journal of Inequalities and Applications 2016 (2016), no. 201, 1-7. (doi: 10.1186/s13660-016-1145-6)
[4] Y.-H. Lee and S.-M. Jung, General quadratic-additive type functional equation and its stability, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2016 (2016), Article ID 1793065, 10 pages. (doi: 10.1155/2016/1793065)
[5] S.-M. Jung, Solutions of difference inequalities and their application in numerical analysis, International Journal of Mathematical Analysis 10 (2016), no. 18, 883-890. (doi: 10.12988/ijma.2016.6470)
[6] Y.-H. Lee and S.-M. Jung, Fuzzy stability of the cubic and quadratic functional equation, Applied Mathematical Sciences 10 (2016), no. 54, 2671-2686. (doi: 10.12988/ams.2016.67210)
[7] S.-M. Jung and Y. W. Nam, Hyers-Ulam stability of the delayed homogeneous matrix difference equation with constructive method, Journal of Computational Analysis and Applications, accepted.
[8] S.-M. Jung and Y. W. Nam, Hyers-Ulam stability of the first order inhomogeneous matrix difference equation, Journal of Computational Analysis and Applications, accepted.
[9] S.-M. Jung, Interiors and closures of sets and applications, Mathematica Slovaca, submitted.
[10] Y.-H. Lee, S.-M. Jung and M. Th. Rassias, Uniqueness theorems on functional inequalities concerning cubicquadratic-additive equation, Journal of Mathematical Inequalities, submitted.
(출처:요약문 4p)

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 3Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 4Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 5 1. 연구과제의 개요 ... 5 2. 국내외 기술개발 현황 ... 5 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 5 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 7 5. 연구결과의 활용계획 ... 7 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 7Ⅲ. 연구성과 ... 8끝페이지 ... 9