초록
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□ 연구개요
본 연구의 목적은 임의의 field상에 정의된 linear algebraic groups과 이의 작용을 가진 대상인 homogeneous varieties, torsors, algebras의 대수적 구조와 분류를 중...

□ 연구개요
본 연구의 목적은 임의의 field상에 정의된 linear algebraic groups과 이의 작용을 가진 대상인 homogeneous varieties, torsors, algebras의 대수적 구조와 분류를 중요한 의미를 가지는 다양한 cohomology 이론들과 조합적인 방법을 통해 밝혀내는 것에 있다. 특히 본 연구에서는 homogeneous varieties의 대표적인 부류인 toric varieties와 generalized flag varieties와 대수구조의 기반인 semisimple algebraic groups of type A, simple algebras와 finite group of Lie type을 주요 연구 대상으로 정한다. 이들의 구조와 분류를 탐구하기 위해 이 대상들의 (twisted) forms을 이해하기 위한 중요한 방법인 Galois cohomology, characteristic classes를 정의하는cohomological invariants, 기하학적 측면을 연구하는 Chow theory, symmetric bilinear form을 가지는 vector bundle을 분류하는 Witt theory, 그리고 derived category를 탐구하기 위한 핵심적인 방법인 exceptional collection, 이상 5가지 cohomology이론과 조합적인 방법인 commuting graph를 이용해 연구한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
모든 semisimple groups of type B, C, D에 대한 3차 cohomological invariants를 결정하였고 해당 cohomological invariants의 정확한 형태를 밝혀냈다. 이를 이용해 대응되는 분류공간(classifying space) BG의 비분기 코호몰로지가 자명함을 증명하였다. 또한 Severi-Brauer 다양체의 Chow groups과 semisimple groups의 semi-decomposable invariants의 연관 관계를 밝혀내었고 이를 통해 특별히 (SL2)^n의 quotient groups에 대한 3차 코호몰로지 불변량을 완전히 결정하였다. Hibert basis techniques을 정수상의 Laurent polynomials로 확장하여 semisimple algebraic group의 twisted flag variety대한 Grothendieck ring을 generators와 relations로 표현하였고 또한 기존의 degree 3인 cohomological invariants의 결과를 포함하는 계산을 수행하였다. Structures of algebraic groups에 관한 연구로 quadratic forms의 Witt chain equivalence 개념에 대응되는 n-tuples의 quaternion algebras의 isomorphism classes에 대한 새로운 operation을 도입하였다. 특별히 n이 6이하인 경우 Brauer group상에서 trivial sum을 가지는 모든 두 n-tuples classes가 논문에서 도입한 operations만을 이용해 연결됨을 밝혀내었다. 마지막으로 Kato’s cohomology를 이용해 positive characteristic를 가지는 field위에서의 essentialdimension의 lower bound를 제시하였다. 특별히 PGL_4인 경우 degree가 4인central simple algebras의 second trace form에 대한 Tignol의 결과를 이용해characteristic 2인 field위에서 essential dimension의 nontrivial lower bound를 대한 결과를 도출 하였다.

□ 연구개발결과의 중요성
다양한 대수구조를 이해하는데 있어 군(group)의 작용을 가지는 주동차 공간(torsors)에 대한 연구는 필수적이다. 하지만 일반적으로 군 구조를 가지지 않는 주동차 공간은 해석이 쉽지 않다. 본 연구에서 수행한 주동차 공간에 대한 Galois cohomology, cohomological invariants와 generalized flag varieties의 Chow ring에 대한 연구는 군의 분류 공간(classifying space)이 매개변수화(parametrization)가 가능한지 여부에 관한 일반화된 네더의 질문과 주동차 공간의 복잡성을 측정하는 essential dimension을 통해 주동차 공간의 분류 및 구조 이해에 적용 가능하며 방법론의 발전을 통해 표현론, 대수기하, 정수론, K 이론, convex 기하학, 대수구조론 등의 후속 연구 및 관련 분야에 공헌할 수 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 3
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 5
• 4. 참고문헌 ... 5
• 5. 연구성과 ... 5
• 대표적 연구실적 ... 8
• 끝페이지 ... 23

참고문헌

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