초록 ▼

□ 연구개요
Seiberg-Witten 불변량을 공유하는 4차원 다양체의 미분동형 여부를 판단하는 것은 매우 중요하고 어려운 문제이고 이의 해결을 위해서는 새로운 아이디어와 불변량이 요구된다. 본 연구과제에서는 1) 새로운 4차원 다양체의 건설 2) 4차원 다양체의 불변량 등 2가지 큰 연구주제를 설정하였고, 그 중 (1) 주어진 사교다양체에 고정된 generic fiber를 갖는 서로 다른 Lefschetz fibration 건설 (2) Seiberg-Witten 불변량을 공유하는 4차원 다양체의 미분동형에 의한 분류 (3)

□ 연구개요
Seiberg-Witten 불변량을 공유하는 4차원 다양체의 미분동형 여부를 판단하는 것은 매우 중요하고 어려운 문제이고 이의 해결을 위해서는 새로운 아이디어와 불변량이 요구된다. 본 연구과제에서는 1) 새로운 4차원 다양체의 건설 2) 4차원 다양체의 불변량 등 2가지 큰 연구주제를 설정하였고, 그 중 (1) 주어진 사교다양체에 고정된 generic fiber를 갖는 서로 다른 Lefschetz fibration 건설 (2) Seiberg-Witten 불변량을 공유하는 4차원 다양체의 미분동형에 의한 분류 (3) 매듭 불변량으로부터 4차원 다양체의 새로운 미분동형 불변량 정의 등 3가지 주제에 대한 연구를 진행하였고 그 결과 Lefschetz fibration의 최소 특이파이버 개수, 매듭수술 4차원 다양체의 dissolving proterty에 대한 결과를 얻었다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구과제 수행을 통해 3~4편의 SCI급 논문 작성을 목표로 하였고, 그 중 다음 2편의 논문은 완성되어 게재되었거나 게재 승인되었다.
1. 기저다양체가 토러스인 Lefschetz fibration의 특이파이버의 개수에 대한 연구에서 새로운 결과를 얻었다. N(g,h)를 파이버다양체의 종수가 g이고 기저 다양체의 종수가 h인 Lefschetz fibration이 가질 수 있는 특이파이버 개수의 최솟값이라 할 때, N(g, h)의 값은 h=0, 1, 2인 경우를 제외하고는 완전히 알려져 있다. 본 과제에서는 A. Stipsicz와의 공동연구를 통해 N(2,1) = 7, g=3 또는 4인 경우 N(g,1) = 3 또는 4 또는 5, g가 5이상인 경우 N(g,1)= 3 또는 4가 성립해야 함을 보였다. (Proceedings of the AMS, 2017 게재 완료)
2. 주어진 4차원 다양체에 매립된 자기교차수가 0인 토러스가 존재하는 경우, 매듭수술을 통해 많은 특이미분구조가 건설되었고, 이와같은 다양체는 많은 경우 두 개의 2차원 구면의 곱 혹은 비틀린 곱을 연결합하면 서로 미분동형이 됨이 Akbulut와 Auckly의 연구로 알려져 있었다. 본 과제에서는 매듭수술을 fishtail 근방에서 실행한 경우 2차원 복소사영공간을 연결합하면 서로 미분동형이 됨을 보였다. 그리고 elliptic surface의 토러스 파이버 주변에서 매듭수술을 통해 얻어진 모든 4차원 다양체는 ACD(almost completely decomposable)임을 보였다. (Asian Journal of Mathematics, 게재 승인)
3. 그 외 매듭 불변량으로부터 4차원 다양체의 새로운 미분동형 불변량을 정의하는 작업은 현재 진행중이다.

□ 연구개발결과의 중요성
수학에서의 연구는 때때로 예측하지 못한 새로운 분야와의 연관성을 발견하게 하고 다른 중요한 문제에 접근하는 실마리를 제공한다. 이번 연구를 통해 얻은 Lefschetz fibration의 특이파이버 개수에 대한 연구 결과는 BMY라인 위에 존재하는 작은 오일러수를 갖는 4차원 다양체에 대한 연구와 밀접한 관계가 있고 (1) ruled surface의 blow-up이 아닌 사교 4차원 다양체  의 오일러수는 항상 음이 아닌가? (2) 기저다양체의 종수가 0 또는 1인 Lefschetz fibration의 부호수(signature)는 항상 양이 아닌가? 등의 중요한 문제와 연관되어 있다. 그리고 대수기하학 분야의 주요 연구과제인 작은 오일러수를 갖는 다양체에 대한 연구와 밀접한 연관이 있고, 특히 3개의 특이파이버를 갖는 Lefschetz fibration의 존재 여부는 위에 제시한 문제들에 대한 답을 줄 것이다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 8
• 4. 참고문헌 ... 8
• 5. 연구성과 ... 9
• 끝페이지 ... 12