초록 ▼

□연구개요
본 연구에서는 편미분 방정식들에 대한 수치해석 기법 개발과 공학자와 협업, 그리고 응용수학에서 중요한 계산 문제들로 연구를 확장하는 것을 큰 목표로 삼고 진행하였다. 수치해석에 관련되어 비선형 문제에 대한 유한요소법의 엄밀한 이론적 배경을 제시하였고, 시뮬레이션을 진행하여 이론적 결과를 뒷받침 하였다. 그리고 디락델타 함수와 같이 국소적인 영역에서 적용되는 힘이 있는 경우에, 타원형 방정식에 대한 불연속적 갤러킨 방법을 연구 진행하였다. 이러한 연구들은 비선형 문제와 특이해를 갖는 문제들에 대한 수치분석에 이론적 배

□연구개요
본 연구에서는 편미분 방정식들에 대한 수치해석 기법 개발과 공학자와 협업, 그리고 응용수학에서 중요한 계산 문제들로 연구를 확장하는 것을 큰 목표로 삼고 진행하였다. 수치해석에 관련되어 비선형 문제에 대한 유한요소법의 엄밀한 이론적 배경을 제시하였고, 시뮬레이션을 진행하여 이론적 결과를 뒷받침 하였다. 그리고 디락델타 함수와 같이 국소적인 영역에서 적용되는 힘이 있는 경우에, 타원형 방정식에 대한 불연속적 갤러킨 방법을 연구 진행하였다. 이러한 연구들은 비선형 문제와 특이해를 갖는 문제들에 대한 수치분석에 이론적 배경을 제시하였고, 이어 알고리즘 개발에 대한 토대를 마련하였다.

□연구 목표대비 연구결과
본 연구에서는 편미분 방정식의 이론 및 수치해석에 대한 심도 있는 연구를 진행하였고, 이어 공학자들과 교류를 통해 연구 방향을 조정해 나갔다. 또한 최적제어와 최적화 알고리즘 개발 등으로 연구 분야를 확장하였으며, 공학과 교수와 공동 연구를 진행하기 시작하였다. 전반적으로 활발하게 연구를 진행하였는데, 연구 주제의 확장과 시간적 부족 및 공학적 교류 부족으로 인해 편미분 방정식 수치해석 자체에서는 계획한 만큼의 성과까지 가지는 못하였다고 판단된다. 그러나 이러한 수치분석과 관련하여, 최근에는 공학자들과의 교류를 본격적으로 시작하였으며 대표적으로 성균관대 기계공학과의 이은호 교수님과 같이 공동 연구를 진행하고 있다. 최근에 얻은 연구 결과에 이어 후속 연구를 진행하고 있으며, 이어 연구들을 확장하여 공학적으로 매우 복잡한 상황에서 편미분 방정식과 최적화 문제가 결합된 문제들에 대한 알고리즘 연구들을 진행하고자 한다.
한편으로 미분방정식의 최적제어 문제에 대해서도 연구를 확장하였으며, 실시간 최적제어를 하는 모델예측제어 알고리즘 연구를 본격적으로 진행 중에 있다. 이 분야는 편미분 방정식의 수치해석과 최적제어와 연결성이 있으며, 실시간 최적화가 필요하여 새로운 아이디어들을 많이 요구한다. 본 연구기간 동안의 연구는 이러한 연구로 확장하는데 큰 발판이 되었다. 또한 이와 연결되서 다양한 최적화 기법들에 대해 연구를 진행하고 있는데, 이는 앞서 언급한 최적제어 문제에 도움을 주는 것과 동시에 머신러닝과 딥러닝에서 나타는 규모가 큰 최적화 문제를 주요 응용으로 한다. 이를 바탕으로 향후 연구에서는 편미분방정식 연구에 머신러닝, 딥러닝 등의 기법과 다양한 최적화 알고리즘 개발 등이 복합되어 공학에서의 난제들을 해결하는 것으로 확장하고자 한다.

□연구개발결과의 중요성
비선형 방정식과 특이해를 갖는 경우에 수치해석에 대한 이론적 배경을 제공하고 수치분석을 하였는데, 이러한 타입의 문제는 다양한 공학에서 등장한다. 따라서 그러한 부분을 포함한 공학적 난제에 수치해석학적 솔루션을 제공하는 연구에 도움이 될 것으로 기대된다. 또한 최적제어와 최적화 연구를 진행하고 있는데, 현재 개발하고 있는 결과들은 실시간 최적화 알고리즘 개발을 통해 다양한 공학 응용이 가능할 것으로 판단된다.

(출처 : 요 약 문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 1. Choi, Woocheol; Hong, Younghun; Seok, Jinmyoung Convergence rate of the finite element approximation for extremizers of Sobolev inequalities on 2D convex domains. Calcolo 56 (2019), no. 3 ... 5
• 2. Choi, Woocheol; Kim, Seunghyeok Asymptotic behavior of least energy solutions to the Lane-Emden system near the critical hyperbola. J. Math. Pures Appl. (9) 132 (2019), 398…456. ... 6
• 3. Lee, Sanghyun; Choi, Woocheol Optimal error estimate of elliptic problems with Dirac sources for discontinuous and enriched Galerkin methods. Appl. Numer. Math. (2020), 76…104. ... 6
• 4. Choi, Woocheol; Choi, Young-Pil, A sharp error analysis for the discontinuous Galerkin method of optimal control problems, arXiv:1905.12816 ... 6
• 5. Lee, Eun-ho; Choi, Woocheol, Asymptotic profile of solutions to the heat equation on thin plate with boundary heating, arXiv:2009.08890 ... 7
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 7
• 4. 연구성과 ... 8
• 대표적 연구실적 ... 10
• 끝페이지 ... 16