초록 ▼

□ 연구개요
Stable 사상의 모듈라이 공간 (Moduli space of stable map)의 토톨로지컬 (Tautological) relation을 발견하고, 발견된 토톨로지컬 relation을 통하여, 그로모브-위튼 이론(Gromov-Witten theory)에서 아직 해결되지 않은 여러 가지 문제들을 새로운 방법으로 연구 할 수 있는 방법을 새롭게 제시하는 것을 연구 목표로 하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
Stable 사상의 모듈라이 공간의 토톨로지컬 링의 토톨로지컬 클래스들간의 릴레이션을 증명

□ 연구개요
Stable 사상의 모듈라이 공간 (Moduli space of stable map)의 토톨로지컬 (Tautological) relation을 발견하고, 발견된 토톨로지컬 relation을 통하여, 그로모브-위튼 이론(Gromov-Witten theory)에서 아직 해결되지 않은 여러 가지 문제들을 새로운 방법으로 연구 할 수 있는 방법을 새롭게 제시하는 것을 연구 목표로 하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
Stable 사상의 모듈라이 공간의 토톨로지컬 링의 토톨로지컬 클래스들간의 릴레이션을 증명하였다. 당초 계획 했던데로, 토러스 로컬라이제이션 이론을 projective line bundle을 타겟으로 갖는 stable 사상의 모듈라이 공간에 적용하여, 릴레이션을 얻어내었다. 예상대로 이 방법으로 기존에는 알려지지 않은 새로운 릴레이션을 찾아내었다.
새로운 릴레이션을 기존의 PIxton의 릴레이션을 기술할 때 사용하였던, Faber-Zagier 의 power series를 조금 변형시켜서 기술할 수 있었다. 특히 이 기술 방법은 타겟에 무관한 universal 한 형태를 띠고 있다는 것을 확인하였다.
Stable 사상의 모듈라이 공간의 토톨로지컬 릴레이션을 얻기 위해 사용한 토러스로컬라이제이션을 통하여, stable 사상의 Cohomological field 이론의 토대가 될 수 있는 기초 형태를 발견하였다. 기존에 곡선들의 모듈라이 공간상에서 정의된 Cohomological field 이론은 토러스 로컬라이제이션을 통하여, R-matrix action을 이용한 연구가 잘 알려져 있었는데, 본 연구 결과는 이 R-matrix action 이 stable 사상의 모듈라이 공간상에 정의될 수 있는 Cohomological field 이론에 자연스럽게 확장될 수 있는 가능성을 제시하였다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
본 연구를 통하여, stable 사상의 토톨로지컬 링에 관한 체계적인 이해가 가능해졌다. Faber-Zagier 의 power series를 이용한 토톨로지컬 릴레이션의 기술은 그 자체로 새로운 릴레이션을 얻을 수 있는 체계적이고, 효율적인 방법을 제시하였다. 뿐만 아니라, 릴에이션의 기술 형태가 타겟에 무관한 universal 한 것을 증명하여, 타켓과 무관한, 보다 근본적인 공간에 비슷한 구조가 있다는 추측을 가능케 하였다.
이는 최근 활발히 연구되고 있는 Picard stack 의 토톨로지컬 링에 관한 새로운 방향을 제시해 줄 것으로 기대된다. 본 연구에서 밝혀진, stable 사상 위의 R-marix action 이론은, 보다 일반적으로 Picard stack 위의 R-matrix action 으로 자연스러운 확장이 가능할 것으로 예상된다. 뿐만 아니라, 이제껏 알려지지 않은 새로운 형태의 효율적인 릴레이션을 제시하여, 앞으로의 그로모브-위튼 불변량에 관한 수많은 문제들의 새로운 해법을 제시할 것으로 기대된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 4
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 5
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 5
• 3) 목표 달성 수준 ... 6
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 6
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 7
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 7
• 6. 자체점검표 ... 8
• 끝페이지 ... 8