초록 ▼

□ 연구개요
본 연구는 작용소들의 방정식과 스펙트럴 성질에 대한 연구로 행렬이론, 작용소이론, 복소 함수론을 연결해주는 다양하고 중요한 문제들을 제공해 준다. 이 연구는 양의 부분과 실수 부분이 유사한 관계를 갖는 작용소들, 작용소 방정식의 해들과 스펙트럴 이론, 자기수반 (가중)합성작용소의 방정식, 작용소 방정식과 국소스펙트럴 이론, 함수공간상에서 토에플리츠 방정식 성질 연구 등을 연구 목표로 하고 있다.

□ 연구 목표대비 연구결과
1차년도의 연구 목표는 양의 부분과 실수 부분이 유사한 관계를 갖는 작용소들

□ 연구개요
본 연구는 작용소들의 방정식과 스펙트럴 성질에 대한 연구로 행렬이론, 작용소이론, 복소 함수론을 연결해주는 다양하고 중요한 문제들을 제공해 준다. 이 연구는 양의 부분과 실수 부분이 유사한 관계를 갖는 작용소들, 작용소 방정식의 해들과 스펙트럴 이론, 자기수반 (가중)합성작용소의 방정식, 작용소 방정식과 국소스펙트럴 이론, 함수공간상에서 토에플리츠 방정식 성질 연구 등을 연구 목표로 하고 있다.

□ 연구 목표대비 연구결과
1차년도의 연구 목표는 양의 부분과 실수 부분이 유사한 관계를 갖는 작용소들의 연구이다. 연구 결과로서 유사한 양의 부분과 실수 부분을 만족하는 작용소들의 방정식 해를 구하였고, 이 경우에 이 해들이 가지는 여러 가지 성질들을 조사하였다. 또한 복소대칭작용소의 조건을 만족하는 작용소 방정식 해의 일반화된 평균 작용소 변환이 복소대칭작용소의 조건을 만족한다는 것을 보였다.
2차년도의 연구 목표는 작용소 방정식의 해들과 스펙트럴 이론 연구와 함수공간상에서 작용소의 방정식에 대한 연구이다. 연구 결과로서 일반화된 Sylvester 작용소 방정식이 해를 가질 필요충분조건들을 공부하였고, 이 작용소 방정식의 해와 일반화된 Fuglede-Putnam 성질과의 관계를 파악하였다. 또한 작용소 행렬의 (2,1)-성분 작용소의 치역이 닫힌집합이 되는 조건을 만족하는 작용소들의 집합에 있는 멤버들이 로컬 스펙트럴 성질들을 만족하는 조건들과 그러한 작용소들이 일반화된 a-바일과 a-브라우더 정리의 방정식을 만족하는 조건들을 연구하였다. 더 나아가, 복소대칭작용소의 제곱근인 작용소와 그 작용소의 수반작용소 사이의 국소스펙트럴 성질과 초불변, 불변부분공간들에 대해서 연구하였다.
버그만 공간에서 토에플리츠 작용소가 초정규작용소가 되는 경우 심볼 함수의 조건들과 복소대칭 토에플리츠 작용소의 특성을 연구하였고, 토에플리츠 작용소가 유한 부호 함수를 갖는 복소대칭 작용소일 때, 이 토에플리츠 작용소가 버그만 공간에서 초정규 작용소일 필요 충분조건은 이 작용소가 하디 공간에서 초정규작용소이라는 것을 증명하였다. 더 나아가, 하디 공간에서 정의된 유니타리 가중합성작용소의 제곱근인 가중합성작용소에 대해서 연구하였고, 벡터 값을 갖는 하디 공간상에서 정의된 블록 토에플리츠 작용소가 복소 대칭 작용소가 될 동치조건을 구하였다. 그리고 뉴턴 공간에서 정의 된 합성 작용소의 성질들과 뉴턴 공간에서 선형분수변환 또는 해석 함수를 부호 함수로 가지는 합성 작용소가 뉴턴 공간에 속하는 조건들과 뉴턴 공간상에서의 복소대칭작용소에 대해서 연구하였다. 마지막으로, 하디 공간위에서 정의된 두 합성 작용소의 합의 성질들에 대해 공부하였고, 특히, 두 합성 작용소의 합의 초정규성에 대해서 조사하였다.
3차년도의 연구 목표는 작용소 방정식과 국소스펙트럴 이론 연구와 함수공간상에서 토에플리츠 방정식 성질 연구이다. 연구 결과로서 두 작용소들이 확장된 준 아핀 변환 관계에 있을 때 국소 스펙트랄 성질, 불변부분공간, 스펙트럼들 사이의 관계와 확장된 가환인 작용소들 사이의 스펙트랄, 국소스펙트랄 관계들을 연구하였다. 특별한 조건을 만족하는 2×2 작용소 행렬의 성분 작용소들의 국소스펙트럴 이론과 초불변부분공간 문제에 대해 연구하였다. C-정규작용소의 성질들을 공부하였고, 복소대칭 작용소의 후진 반복 알루스게 변환의 여러 가지 성질들에 대해 연구하였고, n-거듭제곱 아정규작용소의 구조와 국소스펙트럴 성질들을 연구하였다.
힐버트 르벡그 공간상에서 코시 커널을 갖는 특이 적분 작용소들의 준정규성에 대하여 연구하였고, 새로운 켤레 작용소에 관한 복소대칭토에플리츠 작용소와 가중하디공간상에서의 블록토에플리츠 작용소의 복소대칭성을 조사하였다. 또한, 심벌함수가 유리 부호을 갖는 (m, C) - 등거리 토에플리츠 작용소와 (m, C)-등거리 블록 토에플리츠 작용소에 대해 연구하였다. 일반화된 도함수 하디공간에서 비 조화함수를 부호 함수로 가지는 토에플리츠 작용소가 초정규 작용소가 되기 위한 필요충분조건을 연구하였고, 토에플리츠 작용소가 일반화된 도함수 하디공간에서 특별한 켤레 함수하에서 복소대칭 작용소가 되기 위한 특성과 특별한 형태의 부호함수를 가지는 토에플리츠 작용소가 복소대칭 작용소가 되기 위한 필요 충분 조건을 연구하였다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
학문적인 면에서 작용소 방정식과 스펙트럴 성질에 대한 연구는 행렬이론, 작용소이론, 복소함수론을 연결해주는 다양하고 중요한 문제들을 제공해 준다. 작용소 방정식은 많은 수학자들에 의해 연구되어 졌고, 제어 이론, 신호처리, 편미분방정식 등 응용 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하고 있다. 그럼에도 불구하고, 본 연구는 순수수학 분야에 속하므로 연구 결과에 대한 학문적 효과는 그 자체로 매우 의미가 크다고 할 수 있다.
교육적인 면에서 본 과제의 연구결과를 함수해석학/작용소분야의 저널, 학회에 발표함으로서 대학원생 및 포스닥들로 하여금 연구의 동기를 유도한다. 이는 학문후속세대 양성에 크게 이바지하리라 생각된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 1.1. 연구개발의 목적 ... 4
• 1.2. 연구의 필요성 및 범위 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 4
• 1.1. 1차년도(2019.6.1-2020.2.29.)의 목표 ... 4
• 2.1. 2차년도(2020.3.1.-2021.2.28.)의 연구 목표 ... 5
• 3.1. 3차년도(2021.3.1-2023.2.28)의 연구 목표 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 6
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 11
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 11
• 3) 목표 달성 수준 ... 11
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 12
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 12
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 12
• 6. 자체점검표 ... 13
• 7. 참고문헌 ... 13
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 14
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 20
• 끝페이지 ... 30