초록 ▼

□ 연구 목표 및 내용
○ 최종 목표
본 연구개발과제는 대수기하, 복소기하, 미분기하, 사교기하, 리군의 표현론 등의 다양한 연구 성과들을 융합해 창의적으로 활용함으로써 파노 구형다양체(Fano spherical varieties)의 기하학적 성질을 파악하는 것을 목표로 한다.
복소 리군(complex Lie group)이 작용하는 복소다양체 중 복소 리군의 보렐 부분군(Borel subgroup)이 Zariski open orbit을 가지는 normal algebraic variety를 구형다양체(spherical

□ 연구 목표 및 내용
○ 최종 목표
본 연구개발과제는 대수기하, 복소기하, 미분기하, 사교기하, 리군의 표현론 등의 다양한 연구 성과들을 융합해 창의적으로 활용함으로써 파노 구형다양체(Fano spherical varieties)의 기하학적 성질을 파악하는 것을 목표로 한다.
복소 리군(complex Lie group)이 작용하는 복소다양체 중 복소 리군의 보렐 부분군(Borel subgroup)이 Zariski open orbit을 가지는 normal algebraic variety를 구형다양체(spherical variety)라 부른다. 이는 그동안 집중적인 연구가 이루어져 온 동질다양체(homogeneous manifold)와 토릭 다양체(toric variety)를 모두 포괄하는 기하학적 대상이며, Lie theory 및 대수기하의 개념과 fan, polytope 등 Convex Geometry의 방법을 활용해 연구할 수 있는 흥미로운 대상이다.
대수기하, 복소기하, 미분기하, 사교기하, 리군의 표현론 등의 다양한 연구성과들을 융합해 창의적으로 활용함으로써 파노 구형다양체(Fano spherical varieties)의 기하학적 성질을 파악하는 것을 목표로 한다. 구체적으로는 다음 주제에 대한 연구를 통해 Fano spherical varieties에 대한 이해의 지평을 넓히고 선도적인 연구 결과를 얻고자 한다.
① 파노 구형다양체(Fano spherical variety)의 켈러-아인슈타인 계량(Kaehler-Einstein metric), 마부치 계량(Mabuchi metric), 켈러-리치 솔리톤(Kaehler-Ricci soliton)의 존재성, 최대 리치 하계(greatest Ricci lower bounds) 등의 복소기하적인 성질 연구,
② 파노 구형다양체의 복소 구조 변형(deformation of complex structure)에 관해 연구할 수 있는 이론 개발,
③ 리 이론 및 표현론의 방법을 활용해 toric degenerations of spherical varieties, Freudenthal-Tits magic square, equivariant vector bundle 등 연구.

○ 전체 내용
① Fano spherical varieties의 복소기하적 성질 연구 : Kaehler Geometry에서 전통적으로 중요한 문제 중 하나인 Kaehler-Einstein metrics의 존재성에 관한 질문은 Fano manifolds의 경우 놀랍게도 그에 대응하는 대수기하학의 K-stability 문제와 동치임이 밝혀졌다. 하지만 주어진 Fano manifold가 K-stable인지를 판단하는 것은 모든 test configurations에 대한 Donaldson-Futaki invariant를 계산하거나 log canonical threshold, alpha-invariant, delta-invariant 등을 조사해야 하므로, 여전히 어려운 문제이며 활발히 연구되는 주제이다. Luna-Vust theory에 의해 spherical varieties는 combinatorial data에 의해 결정되는 기하학적 대상이므로, 최근 Delcroix를 비롯한 여러 학자에 의해 Fano spherical varieties의 K-stability에 관한 연구가 큰 진전을 이루었고 K-stability를 확인할 수 있는 구체적인 방법들이 개발되었다. 이러한 연구 흐름을 반영하여 다음 주제에 관한 연구를 진행한다.
- Kaehler-Einstein metrics on wonderful compactifications of symmetric spaces of type AIII,
- Greatest Ricci lower bounds of projective horospherical manifolds of Picard number one,
- Singular Kaehler-Einstein metrics on Gorenstein Fano group compactifications with rank two.
나아가 Fano horospherical varieties 및 Fano symmetric varieties에 대한 Mabuchi metrics, Kaehler-Ricci solitons의 존재성, greatest Bakry-Emery-Ricci lower bounds 등의 기하학적 성질을 규명하고, horospherical varieties와 symmetric varieties를 모두 포괄하는 더 일반적인 대상인 horosymmetric varieties로 연구 결과를 확장할 수 있는지 탐구하며 이를 위한 이론을 개발한다.
② Deformation of complex structures on smooth Fano symmetric varieties of Picard number one 연구 : 14차원 exceptional Lie group G_2의 smooth equivariant compactification of Picard number one으로 주어지는 double Cayley Grassmannian에 관한 deformation 문제에 대해 연구하고, 이를 바탕으로 일반적인 smooth Fano symmetric varieties of Picard number one의 복소 구조의 변형 가능성에 관한 연구를 진행한다. 이를 통해 deformation rigidity of smooth Fano spherical varieties의 체계적인 연구를 위한 이론을 개발한다.
③ Lie theory 및 Represenatation theory를 활용한 spherical varieties 연구 : Toric degenerations of spherical varieties via string polytopes, geometric Freudenthal-Tits magic square에 등장하는 rational homogeneous manifolds, complete intersection hyperkaehler fourfolds with respect to equivariant vector bundles on rational homogeneous varieties of Picard number one 등 연구.
④ 다른 분야로의 확장 및 응용 가능성 모색 : real structure of Fano spherical varieties, real orbits of real Lie groups on real loci of Fano spherical varieties, spherical tropical geometry 및 spherical Groebner theory 등 연관 주제 및 인접 분야로의 응용을 모색한다.

○ 1단계
● 연구 목표
spherical varieties 가운데 널리 연구되고 있는 horospherical varieties, symmetric varieties를 중심으로 복소기하학적 성질을 연구하고, 표현론의 결과를 활용해 연관된 다양체의 기하학적 성질을 규명한다.

● 연구 내용
① Fano horospherical varieties 및 Fano symmetric varieties에 대한 Kaehler-Einstein metrics, Mabuchi metrics, Kaehler-Ricci solitons의 존재성, greatest Ricci lower bounds, greatest Bakry-Emery-Ricci lower bounds 등의 기하학적 성질 규명
② deformation of complex structures on smooth Fano symmetric varieties of Picard number one 연구
③ Toric degenerations of spherical varieties via string polytopes, geometric Freudenthal-Tits magic square에 등장하는 rational homogeneous manifolds, zero loci of global sections of equivariant vector bundles 연구

○ 2단계
● 연구 목표
1단계 연구 경험을 바탕으로 일반적인 Fano horosymmetric varieties의 K-stability와 deformation of complex structures 등의 기하학적 성질을 규명하고, 다른 분야로의 응용 가능성을 모색한다.

● 연구 내용
① K-stability and coupled Kaehler-Einstein metrics of Fano horosymmetric varieties 연구
② deformation of complex structures on smooth Fano spherical varieties의 체계적인 연구를 위한 이론 개발
③ real structure of Fano spherical varieties, real orbits of real semisimple Lie groups on real loci of Fano spherical varieties, spherical tropical geometry 및 spherical Groebner theory 연구

□ 연구성과
① 2편의 연구논문을 SCIE급 국제학술지에 출판
- K-stability of Gorenstein Fano group compactifications with rank two, International Journal of Mathematics 33 (2022), no. 13, Article number 2250083
- Greatest Ricci lower bounds of projective horospherical manifolds of Picard number one, Annals of Global Analysis and Geometry 64(2023), no. 2, Article number 13
② 연구 결과를 정리한 3편의 논문을 저널에 투고해 심사 중이다.
- Complete intersection hyperkahler fourfolds with respect to equivariant vector bundles over rational homogeneous varieties of Picard number one
- Kahler-Einstein metrics on smooth Fano toroidal symmetric varieties of type AIII,
- Deformation rigidity of the double Cayley Grassmannian
③ 2023년 중국 베이징에서 개최된 Chinese Academy of Sciences 주관 국제학술회의 Young Perspectives on Algebraic Geometry 조직위원으로부터 초청을 받아서 강연자로서 최근 연구 결과 발표
④ 국제학술회의 A Journey through Algebraic and Complex Geometry를 비롯한 다수의 학술행사를 주최하고, 2021년부터 온라인 세미나 Ensemble of Algebra and Geometry 운영

□ 연구성과의 활용 계획 및 기대효과
본 연구개발과제는 toric varieties, rational homogeneous varieties를 대상으로 진행되었던 다방면의 연구를 spherical varieties로 확장하는 연구의 방법 틀을 제공한다. 그리고 Fano spherical varieties의 기하학적 성질에 관한 연구를 통해 고차원 파노다양체에 대한 이해의 지평을 넓힐 수 있다. 특히 Fano spherical varieties에 대한 연구 결과는 복소기하학, 대수기하학, 미분기하학의 여러 질문에 대한 풍부한 예를 제공하고, colored fan과 polytope과 같은 조합적 대상을 이용해 다른 분야의 수학자들이 비교적 쉽게 접근할 수 있다.
또한 연구 결과는 representation theory, tropical geometry, mirror symmetry, combinatorics, computational algebraic geometry, statistical learning theory, harmonic analysis 등 다른 분야에 활용이 가능하다.
한편 이 연구 주제는 대수기하학, 복소해석학, 미분기하학, 사교기하학, 리군의 표현론 등 다양한 분야에서 얻어진 연구 성과들을 이해하고 융합적인 접근을 통해 창의적으로 활용하는 것을 목표로 한다. 그에 따라 이들 분야의 연구자들과의 협업을 적극적으로 추진함으로써, 국내 spherical varieties 연구의 저변이 넓어지며 선도적인 연구를 위한 토대가 구축될 것이 기대된다.

(출처 : 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 요약문 ... 2
• 목차 ... 5
• 1. 연구과제의 개요 ... 6
• 2. 연구과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 6
• 1) 연구과제의 수행 내용 ... 6
• 2) 연구과제의 수행 과정 ... 9
• 3) 주요 연구계획 변경사항 ... 11
• 3. 연구과제의 수행 결과 및 목표 달성 정도 ... 11
• 1) 연구수행 결과 ... 11
• 2) 목표 달성 수준 ... 12
• 3) 목표 미달 시 원인 분석 ... 12
• 4) 중요 연구변경 사항 ... 13
• 4. 연구성과의 관련 분야에 대한 기여 정도 ... 13
• (1) Fano spherical variety의 K-stability 연구 ... 13
• (2) Deformation rigidity of double Cayley Grassmannian 연구 ... 13
• (3) Complete intersection hyperkaehler fourfolds 연구 ... 13
• 5. 연구성과의 관리 및 활용 계획 ... 14
• 6. 다음 단계 연구계획 ... 14
• 1) 연구 목표 및 내용 ... 14
• 2) 연구 추진전략 ... 15
• 3) 연구 추진일정 및 기대성과 ... 15
• 4) 다음 단계 연구비 사용계획 ... 16
• 5) 연구 성과의 활용방안 및 기대효과 ... 16
• 끝페이지 ... 26