초록 ▼

□ 연구개요
본 연구의 목적은 고립된 특이점을 가지는 복소 아핀 공간에서 플로어 이론, 사교장 이론, 사교 정칙 곡선론 등 사교 및 접촉 위상의 최신 연구 방법론을 적용하여 특이점의 사교 및 접촉 위상수학적 성질을 규명하는 것입니다. 나아가 특이점으로부터 유래한 다양한 예제들을 통해 유연성과 경직성 측면에서 흥미로운 사교 위상의 원리를 파악하는 것이 목적입니다.

□ 연구 목표대비 연구결과
고립된 복소 초곡면 특이점의 고리는 표준 접촉 구조를 탑재하고 있고, 밀너 다발은 특이점 고리의 자연스러운 사교 채움을 이

□ 연구개요
본 연구의 목적은 고립된 특이점을 가지는 복소 아핀 공간에서 플로어 이론, 사교장 이론, 사교 정칙 곡선론 등 사교 및 접촉 위상의 최신 연구 방법론을 적용하여 특이점의 사교 및 접촉 위상수학적 성질을 규명하는 것입니다. 나아가 특이점으로부터 유래한 다양한 예제들을 통해 유연성과 경직성 측면에서 흥미로운 사교 위상의 원리를 파악하는 것이 목적입니다.

□ 연구 목표대비 연구결과
고립된 복소 초곡면 특이점의 고리는 표준 접촉 구조를 탑재하고 있고, 밀너 다발은 특이점 고리의 자연스러운 사교 채움을 이룹니다. 플로어 이론 불변량이 특이점의 성질과 어떤 관련성이 있는지 구조적으로 이해하는 것, 고차원 특이점 접촉 구조의 사교 채움을 분류하는 문제, 그리고 밀너 다발에서의 사교 정칙 곡선론으로 얻을 수 있는 흥미로운 사교 위상 정보에는 어떤 것이 있는지 탐구하는 것을 목표로 연구를 진행했습니다.
3차원 구의 단위 여접다발의 완전 사교 채움은 언제나 표준 사교 채움인 원판 여접다발과 미분 동형임을 증명하였습니다. 구의 단위 여접다발은 2차 복소 다항식으로 주어지는 특이점 고리와 접촉 동형이고 그 밀너 다발은 원판 여접다발과 사교 동형이기 때문에, 이 결과는 해당 특이점 고리의 사교 채움 분류 문제를 해결 한 결과입니다.
또한 브리스콘 다항식으로 주어지는 밀너 다발의 경우 다항식이 가지고 있는 대칭성을 활용하여 라그랑주 부분다양체들의 모임을 정의할 수 있었고, 이 라그랑주 부분 다양체의 호모토피 유형을 완전히 이해하는 데 성공했습니다. 이 라그랑주 부분다양체들은 라그랑주 플로어 이론에 적용하기에 좋은 성질을 가지고 있음을 확인했고, 라그랑주 플로어 호몰로지의 증가율을 스미스 부등식을 통해 귀납적으로 이해하는 방법론을 발견했습니다. 그 응용으로 브리스콘 밀너 다발 상의 다발화된 꼬임의 사교 동형 사상류의 부피 증가율의 하한을 얻는 데 성공했습니다.
특이점의 밀너 다발이 가지는 사교 및 접촉 위상적 성질인 양의 인덱스 성질에 착안하여, 동역학적으로 볼록한 접촉 다양체가 자명한 사교 호몰로지를 가지는 경우 표준 접촉 구와 접촉 다양체로서, 그리고 그 위의 레브 동역학계 측면에서 얼마나 닮았는지를 탐구했습니다. 그 결과 플렉서블 사교 채움을 가지는 경우 이러한 접촉 당양체는 표준 접촉 구와 접촉 동형이 된다는 사실을 증명했으며, 보다 일반적으로 다양한 가정하에 레브 동역학적인 유사성을 띈다는 사실을 확인했습니다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
3차원 구의 단위 여접다발의 사교 채움 분류 결과는 사교 초평면 단면 개념을 사용해 독창적인 방식으로 정칙 곡선론을 적용한 결과입니다. 이 방법으로 현재 기본 군은 완전히 결정하는 데 성공하였고, 호몰로지 군의 경우 방법론을 보다 발전시켜 일반적인 차원에까지 확장 적용할 수 있을 것으로 기대합니다. 단위 여접다발의 사교채움의 분류 문제는 사교 및 접촉 위상수학 분야의 핵심 질문 중에 하나이고 기저 다양체가 구인 경우는 아직 미해결로 남아 있는데 본 연구 성과를 통해 일반 차원까지 이 문제에 접근 가능해졌습니다.
본 연구를 통해 정의한 브리스콘 밀너 다발의 라그랑주 부분 다양체들은 라그랑주플로어 이론을 적용하기에 적합한 좋은 성질을 가지고 있습니다. 나아가 브리스콘밀너 다발의 감긴 푸카야 범주의 라그랑주 생성원 역할을 할 것으로 기대합니다. 이 연구 성과를 바탕으로 고차원 밀너 다발의 감긴 푸카야 범주를 구체적으로 이해할 수 있는 예제를 찾을 수 있게 될 것으로 예상합니다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 4
• 1) 연구 과제의 이론적 접근 방법 및 내용 ... 4
• 2) 연구 과제의 수행 과정 ... 6
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 8
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 8
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 10
• 3) 목표 달성 수준 ... 10
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 11
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 12
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 13
• 6. 자체점검표 ... 13
• 7. 참고문헌 ... 14
• 끝페이지 ... 30