함수의 그래프에 대한 이해와 오류 분석에 관한 연구 : 중학교 2학년을 대상으로 (A) Study on comprehension and analysis of errors on the graph of function : based on the second year students of middle school원문보기
본 연구의 목적은 학습수준에 따른 중학교 2학년 학생들의 함수의 그래프에 대한 이해 정도와 문제 풀이 과정에서 나타나는 오류 유형을 분석하고 그것에 대한 수준별 개선책을 조사하여 함수 학습 지도에 참고가 되고자 한다.
이를 위하여 다음과 같이 두 가지의 연구문제를 설정하였다.
1. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프를 어느 정도 이해하고 있으며 공통으로 나타나는 현상은 무엇인가?
2. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프에 대하여 어떤 유형의 오류를 가지고 있으며 그 개선책을 어떻게 제시할 수 있는가?
본 연구를 위하여 강원도 춘천시에 소재하고 있는 N중학교와 H중학교 2학년에서 각각 2개 학급씩 총 4개 학급 138명의 학생들을 대상으로 선정하였다. 검사지는 중학교 2학년 수학 교과서(검정 교과서)의 함수 단원을 중심으로 본 연구자가 연구 대상 수준에 맞추어서 직접 변형하고 보충하여 21문항으로 구성하였다.
함수의 그래프에 대한 이해와 ...
본 연구의 목적은 학습수준에 따른 중학교 2학년 학생들의 함수의 그래프에 대한 이해 정도와 문제 풀이 과정에서 나타나는 오류 유형을 분석하고 그것에 대한 수준별 개선책을 조사하여 함수 학습 지도에 참고가 되고자 한다.
이를 위하여 다음과 같이 두 가지의 연구문제를 설정하였다.
1. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프를 어느 정도 이해하고 있으며 공통으로 나타나는 현상은 무엇인가?
2. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프에 대하여 어떤 유형의 오류를 가지고 있으며 그 개선책을 어떻게 제시할 수 있는가?
본 연구를 위하여 강원도 춘천시에 소재하고 있는 N중학교와 H중학교 2학년에서 각각 2개 학급씩 총 4개 학급 138명의 학생들을 대상으로 선정하였다. 검사지는 중학교 2학년 수학 교과서(검정 교과서)의 함수 단원을 중심으로 본 연구자가 연구 대상 수준에 맞추어서 직접 변형하고 보충하여 21문항으로 구성하였다.
함수의 그래프에 대한 이해와 오류 분석은 학생들이 직접 검사지에 기록한 protocol을 보고 분석하였으며 오류의 모형은 다섯 가지(문제의 자료를 잘못 사용하는 오류, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류, 기술적인 오류, 요구되지 않은 해답의 오류)로 설정하였다.
그리고 각 문항에 대한 학생들의 반응을 정답과 오답, 무응답으로 분류하여 학습수준(상, 중, 하)에 따른 빈도와 백분율로 나타내었다.
본 연구의 결과로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 학습수준에 따른 중학교 2학년 학생들은 공통적으로 함수의 그래프를 이해하는 데에 어려움을 가지고 있었고 상 수준의 정답률은 69%, 중 수준의 정답률은 47.7%, 하 수준의 정답률은 38.3%인 것으로 나타났다.
둘째, 함수의 그래프에 관한 문제 풀이 과정에서 나타난 오류의 유형은 학습수준에 따라 공통적으로 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(52.3%)가 가장 많았고 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류(23.7%), 기술적인 오류(12.9%) 그리고 문제의 자료를 잘못 사용하는 오류(5.8%)와 요구되지 않은 해답의 오류(5.3%) 순으로 나타났다.
셋째, 상 수준의 학생들은 그래프를 구성할 때 정의역에 주의하지 않았고 정의역, 치역을 나타낼 때 집합 기호를 사용하지 않았으므로 정의역을 강조하여 그래프를 그리도록 지도하고 정의역, 치역의 집합 기호를 강조해야 하며 중수준의 학생들은 좌표 개념이 부족했고 점을 모두 선으로 연결하려고 했으며 변수에 수를 잘못 대입하였으므로 좌표 개념을 기본으로 그래프를 그리도록 지도하고 변수 개념을 강조하여 기울기와 절편 개념을 이해시켜야 하며 하 수준의 학생들은 좌표 개념 없이 점을 임의로 나타냈으며 문자의 이해도 부족했고 특히 기술적 오류가 많았으므로 좌표 개념과 문자의 이해를 강조하고 연산 기호 및 대수 법칙을 반복하여 지도해야 할 것이다.
※ 이 논문은 2004년 2월 한국교원대학교 대학원위원회에 제출된 교육학석사(수학교육)학위 논문임.
본 연구의 목적은 학습수준에 따른 중학교 2학년 학생들의 함수의 그래프에 대한 이해 정도와 문제 풀이 과정에서 나타나는 오류 유형을 분석하고 그것에 대한 수준별 개선책을 조사하여 함수 학습 지도에 참고가 되고자 한다.
이를 위하여 다음과 같이 두 가지의 연구문제를 설정하였다.
1. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프를 어느 정도 이해하고 있으며 공통으로 나타나는 현상은 무엇인가?
2. 중학교 2학년 학생들은 학습수준(상, 중, 하)에 따라 함수의 그래프에 대하여 어떤 유형의 오류를 가지고 있으며 그 개선책을 어떻게 제시할 수 있는가?
본 연구를 위하여 강원도 춘천시에 소재하고 있는 N중학교와 H중학교 2학년에서 각각 2개 학급씩 총 4개 학급 138명의 학생들을 대상으로 선정하였다. 검사지는 중학교 2학년 수학 교과서(검정 교과서)의 함수 단원을 중심으로 본 연구자가 연구 대상 수준에 맞추어서 직접 변형하고 보충하여 21문항으로 구성하였다.
함수의 그래프에 대한 이해와 오류 분석은 학생들이 직접 검사지에 기록한 protocol을 보고 분석하였으며 오류의 모형은 다섯 가지(문제의 자료를 잘못 사용하는 오류, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류, 기술적인 오류, 요구되지 않은 해답의 오류)로 설정하였다.
그리고 각 문항에 대한 학생들의 반응을 정답과 오답, 무응답으로 분류하여 학습수준(상, 중, 하)에 따른 빈도와 백분율로 나타내었다.
본 연구의 결과로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 학습수준에 따른 중학교 2학년 학생들은 공통적으로 함수의 그래프를 이해하는 데에 어려움을 가지고 있었고 상 수준의 정답률은 69%, 중 수준의 정답률은 47.7%, 하 수준의 정답률은 38.3%인 것으로 나타났다.
둘째, 함수의 그래프에 관한 문제 풀이 과정에서 나타난 오류의 유형은 학습수준에 따라 공통적으로 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(52.3%)가 가장 많았고 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류(23.7%), 기술적인 오류(12.9%) 그리고 문제의 자료를 잘못 사용하는 오류(5.8%)와 요구되지 않은 해답의 오류(5.3%) 순으로 나타났다.
셋째, 상 수준의 학생들은 그래프를 구성할 때 정의역에 주의하지 않았고 정의역, 치역을 나타낼 때 집합 기호를 사용하지 않았으므로 정의역을 강조하여 그래프를 그리도록 지도하고 정의역, 치역의 집합 기호를 강조해야 하며 중수준의 학생들은 좌표 개념이 부족했고 점을 모두 선으로 연결하려고 했으며 변수에 수를 잘못 대입하였으므로 좌표 개념을 기본으로 그래프를 그리도록 지도하고 변수 개념을 강조하여 기울기와 절편 개념을 이해시켜야 하며 하 수준의 학생들은 좌표 개념 없이 점을 임의로 나타냈으며 문자의 이해도 부족했고 특히 기술적 오류가 많았으므로 좌표 개념과 문자의 이해를 강조하고 연산 기호 및 대수 법칙을 반복하여 지도해야 할 것이다.
※ 이 논문은 2004년 2월 한국교원대학교 대학원위원회에 제출된 교육학석사(수학교육)학위 논문임.
The purpose of this research is to be served as reference for teaching the function unit to the second year students of middle school by analyzing the degree of their comprehension on the graph of function and the types of their errors happened in the process of solving the problems and by investiga...
The purpose of this research is to be served as reference for teaching the function unit to the second year students of middle school by analyzing the degree of their comprehension on the graph of function and the types of their errors happened in the process of solving the problems and by investigating the reform measures of each level(high-level, middle-level, low-level).
Two subjects of study set up for this purpose were as follows.
1. To what extent can the second year students of middle school understand the graph of function and what is something in common among them?
2. What types of errors does the second year students of middle school have about the graph of function according to the level and what is the reform measures of them?
138 students of four classes in all, who were chosen in 2 classes of second year each in N middle school and H middle school in Chuncheon, were applied to this research.
The investigator directly composed 21 questions for an examination by transforming and supplementing questions centered on the function unit of the second year students' mathematics textbook(an authorized textbook) according to the level.
Comprehension and the analysis of errors on the graph of function is analyzed according to the protocol on their answer sheets that students answered directly and the model of errors is set up by five items (the fallacy of wrong use of the data of problems, the fallacy of the wrong interpretation of contents of problems, the fallacy of the wrong use of theorems and definitions, technical errors and the fallacy of the answers not required).
And After being classified into right or wrong answer and no response, students' responses to the questions is represented by means of frequency and percentage according to each level.
The conclusion that gets from the results of this research is as follows.
First, students of each level have difficulties in comprehension on the graphs of function in common and 69% of the high-level, 47.7% of the middle-level and 38.3% of the low-level worked out the correct answer.
Second, the rates of fallacies that happened in the process of solving the problems about the graph of function are as follows. The fallacy of the wrong use of theorems and definitions are the highest 52.3%, the fallacy of the wrong interpretation of contents of problems are 23.7%, technical errors are 12.9% and the fallacy of the wrong use of the data of problems are 5.8% and the fallacy of the answers not required are 5.3%.
According to this investigation, many errors are made in common when students of each level interpretate the graph and graph the expressions and the symbol because of the students' lack of comprehension of essential facts or general ideas and practices.
Third, high-level students, who didn't pay attention to the domain when they construct the graphs and didn't use the set symbol when they represent the range, have to be taught to graph with special emphasis on the domain and to use the set symbol of domain and range. Middle-level students, who didn't understand the general ideas of the coordinates and tried to connect dots only with lines and wrongly substituted numbers for variables, have to be taught to graph on the basis of the general ideas of coordinates and to understand the slope and intercept with special emphasis on the general ideas of variables. Low-level students, who represented the dots arbitrarily without the general ideas of the coordinates, moreover they didn't understand the letters and especially they had many technical errors, have to be taught the general ideas of coordinates and the understanding of letters with emphasis, and have to be taught the arithmetic symbol and algebra law repeatedly.
＊A thesis submitted to the Committee of the Graduate School of Korea National University of Education in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Education(Mathematics Education) in February, 2004.
The purpose of this research is to be served as reference for teaching the function unit to the second year students of middle school by analyzing the degree of their comprehension on the graph of function and the types of their errors happened in the process of solving the problems and by investigating the reform measures of each level(high-level, middle-level, low-level).
Two subjects of study set up for this purpose were as follows.
1. To what extent can the second year students of middle school understand the graph of function and what is something in common among them?
2. What types of errors does the second year students of middle school have about the graph of function according to the level and what is the reform measures of them?
138 students of four classes in all, who were chosen in 2 classes of second year each in N middle school and H middle school in Chuncheon, were applied to this research.
The investigator directly composed 21 questions for an examination by transforming and supplementing questions centered on the function unit of the second year students' mathematics textbook(an authorized textbook) according to the level.
Comprehension and the analysis of errors on the graph of function is analyzed according to the protocol on their answer sheets that students answered directly and the model of errors is set up by five items (the fallacy of wrong use of the data of problems, the fallacy of the wrong interpretation of contents of problems, the fallacy of the wrong use of theorems and definitions, technical errors and the fallacy of the answers not required).
And After being classified into right or wrong answer and no response, students' responses to the questions is represented by means of frequency and percentage according to each level.
The conclusion that gets from the results of this research is as follows.
First, students of each level have difficulties in comprehension on the graphs of function in common and 69% of the high-level, 47.7% of the middle-level and 38.3% of the low-level worked out the correct answer.
Second, the rates of fallacies that happened in the process of solving the problems about the graph of function are as follows. The fallacy of the wrong use of theorems and definitions are the highest 52.3%, the fallacy of the wrong interpretation of contents of problems are 23.7%, technical errors are 12.9% and the fallacy of the wrong use of the data of problems are 5.8% and the fallacy of the answers not required are 5.3%.
According to this investigation, many errors are made in common when students of each level interpretate the graph and graph the expressions and the symbol because of the students' lack of comprehension of essential facts or general ideas and practices.
Third, high-level students, who didn't pay attention to the domain when they construct the graphs and didn't use the set symbol when they represent the range, have to be taught to graph with special emphasis on the domain and to use the set symbol of domain and range. Middle-level students, who didn't understand the general ideas of the coordinates and tried to connect dots only with lines and wrongly substituted numbers for variables, have to be taught to graph on the basis of the general ideas of coordinates and to understand the slope and intercept with special emphasis on the general ideas of variables. Low-level students, who represented the dots arbitrarily without the general ideas of the coordinates, moreover they didn't understand the letters and especially they had many technical errors, have to be taught the general ideas of coordinates and the understanding of letters with emphasis, and have to be taught the arithmetic symbol and algebra law repeatedly.
＊A thesis submitted to the Committee of the Graduate School of Korea National University of Education in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Education(Mathematics Education) in February, 2004.
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