미지수의 개념이 함수적 관계에서 변수의 이해에 미치는 영향에 관한 연구 : 고등학교 1학년을 대상으로 A Study on the Effects of a Concept of an Unknown on the Understanding of a Variable in Functional Relationships: Focusing on 10th Grade Students원문보기
본 논문은 변수 개념에 대한 고등학교 1학년 학생들의 이해도를 조사하고 문제 해결 과정에서 학생들이 사용하는 미지수로서의 변수 개념이 함수적 관계에서 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는지에 대해 알아보고자 한다.
이러한 연구 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 고등학교 1학년 학생들은 변수 개념을 어떻게 이해하고 있는가?
2. 미지수로서의 변수 개념이 함수 학습에서 (양 사이의) 관계로서의 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는가?
현행 교육과정에서는 변수에 대한 개념 정의가 중학교 1학년 시기에 도입되고, 중학교 2학년 시기에 미지수가 2개인 ...
본 논문은 변수 개념에 대한 고등학교 1학년 학생들의 이해도를 조사하고 문제 해결 과정에서 학생들이 사용하는 미지수로서의 변수 개념이 함수적 관계에서 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는지에 대해 알아보고자 한다.
이러한 연구 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 고등학교 1학년 학생들은 변수 개념을 어떻게 이해하고 있는가?
2. 미지수로서의 변수 개념이 함수 학습에서 (양 사이의) 관계로서의 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는가?
현행 교육과정에서는 변수에 대한 개념 정의가 중학교 1학년 시기에 도입되고, 중학교 2학년 시기에 미지수가 2개인 일차방정식과 일차함수에 대하여 학습한다. 본 연구는 변수에 대한 개념과 일차 함수 개념을 모두 학습한 후, 다양한 문제 상황에서 변수 개념을 사용하면서 변수 개념에 대한 학생들의 개념 정의와 개념 이미지가 형성된 고등학교 1학년 학생들을 연구대상으로 선정하였다.
연구 문제 1, 2를 해결하기 위해 경기도 소재의 고등학교 1학년 3개의 반을 선정하여 조사의 표본으로 하였다. 김남희(1992)와 Malisani(2008)의 연구를 분석하여 작성된 검사지를 바탕으로 학생들의 항목별 반응에 따른 빈도수와 백분율을 이용하여 검사 자료를 분석하였다. 검사를 통한 학생들의 응답을 각 문항별로 분석하고 그것을 기초로 하여 학생들의 변수 개념 이해 수준과 미지수의 개념이 함수 관계에서 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는지를 분석하였다.
고등학교 1학년 학생들의 변수 개념에 대한 이해에 관한 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 많은 학생들이 의 식에서 , 를 변수가 아닌 상수로 여기고 있었다. 주어진 식에서 를 변수로 보는 학생들이 , 를 변수로 보고 있는 학생들보다 많다는 것을 알 수 있었다. 문자 , 역시 여러 가지 값을 대신하는 변수라는 것을 학생들은 실제적인 상황에서 제대로 적용하지 못하였다.
둘째, 학생들은 변수는 수를 대신하는 것이며, 문자로 표현되어야 한다고 생각한다. 학생들은 에서 , , , , , 가 변수임을 알지 못하였다. 문자 , 등에 숫자를 대입할 수 없으므로 변수가 될 수 없다고 생각하는 경향이 있다.
셋째, 학생들은 문자 , 만이 변수가 될 수 있다고 생각하는 경향이 있었다. 이는 변수를 주로 방정식과 함수 단원에서 , 의 문자 위주로 다루어 다른 문자들을 많이 접하지 못했기 때문에 학생들이 무의식적으로 변수를 나타내는 문자는 , 라고 생각하는 것으로 보인다.
미지수의 개념이 함수적 관계에서 변수 개념을 이해하는 데 어떠한 영향을 미치는가에 대한 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 미지수의 개념이 함수적 관계에서 변수 개념의 이해를 방해하는 것을 알 수 있다. 미지수의 개념을 사용하지 않았을 때, 학생들은 문제 상황에서 변수의 개념을 쉽게 이해할 수 있었다. 학생들이 사용하는 미지수의 개념이 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해의 수준에서 문자 이해 수준 4인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준으로의 이행을 방해하고 있다는 것을 확인할 수 있었다.
둘째, 학생들이 문제해결 과정에서 떠올리는 개념은 주어진 문제의 문맥에 의해 좌우되었다. 학생들은 문맥에 따라 다른 해석을 하였고 다른 접근을 하고 있었다. 이것은 학생들이 변수 개념을 제대로 이해하지 못하고 있다는 것과 변수 개념이 문맥의 영향을 많이 받는다는 것을 보여준다. 따라서 학생들의 문제 해결 과정 시 떠올리는 개념은 문맥에 의해 좌우된다는 것을 알 수 있다.
비슷한 유형의 <문제 3>과 <문제 4>에 대한 학생들의 답변을 통해, 학생들이 문맥에 따라 문자를 다르게 해석하고 있음을 알 수 있었다. 학생들은 <문제 3>의 경우에는 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해하여 문제를 해결하였고, <문제 4>의 경우에는 Küchemann의 문자 이해 수준 4인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준에서 문제를 해결하였다. 이것은 학생들이 변수 개념을 제대로 이해하지 못하고 있다는 것과 변수 개념이 문맥의 영향을 많이 받는다는 것을 보여준다. 따라서 학생들의 문제 해결 과정 시 떠올리는 개념은 문맥에 의해 좌우된다는 것을 알 수 있다. 뿐만 아니라 학생들이 사용하는 미지수의 개념이 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해의 수준에서 그 다음 수준인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준으로의 이행을 방해하고 있다는 것을 확인할 수 있다.
본 연구 과정에서 나타난 결과를 보완하여 보다 나은 후속 연구를 위해 다음과 같은 제언을 하고자 한다.
본 연구에서는 학생들이 함수적 관계에서 변수의 개념을 쉽게 떠올린다는 것을 알 수 있었다. 따라서 함수적 관계를 나타내는 문맥 뿐 아니라 학생들이 대수적 문맥에서 변수 개념을 쉽게 떠올릴 수 있는 다양한 문맥에 대한 연구가 필요하다.
본 논문은 변수 개념에 대한 고등학교 1학년 학생들의 이해도를 조사하고 문제 해결 과정에서 학생들이 사용하는 미지수로서의 변수 개념이 함수적 관계에서 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는지에 대해 알아보고자 한다.
이러한 연구 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 고등학교 1학년 학생들은 변수 개념을 어떻게 이해하고 있는가?
2. 미지수로서의 변수 개념이 함수 학습에서 (양 사이의) 관계로서의 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는가?
현행 교육과정에서는 변수에 대한 개념 정의가 중학교 1학년 시기에 도입되고, 중학교 2학년 시기에 미지수가 2개인 일차방정식과 일차함수에 대하여 학습한다. 본 연구는 변수에 대한 개념과 일차 함수 개념을 모두 학습한 후, 다양한 문제 상황에서 변수 개념을 사용하면서 변수 개념에 대한 학생들의 개념 정의와 개념 이미지가 형성된 고등학교 1학년 학생들을 연구대상으로 선정하였다.
연구 문제 1, 2를 해결하기 위해 경기도 소재의 고등학교 1학년 3개의 반을 선정하여 조사의 표본으로 하였다. 김남희(1992)와 Malisani(2008)의 연구를 분석하여 작성된 검사지를 바탕으로 학생들의 항목별 반응에 따른 빈도수와 백분율을 이용하여 검사 자료를 분석하였다. 검사를 통한 학생들의 응답을 각 문항별로 분석하고 그것을 기초로 하여 학생들의 변수 개념 이해 수준과 미지수의 개념이 함수 관계에서 변수 개념의 이해에 어떠한 영향을 미치는지를 분석하였다.
고등학교 1학년 학생들의 변수 개념에 대한 이해에 관한 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 많은 학생들이 의 식에서 , 를 변수가 아닌 상수로 여기고 있었다. 주어진 식에서 를 변수로 보는 학생들이 , 를 변수로 보고 있는 학생들보다 많다는 것을 알 수 있었다. 문자 , 역시 여러 가지 값을 대신하는 변수라는 것을 학생들은 실제적인 상황에서 제대로 적용하지 못하였다.
둘째, 학생들은 변수는 수를 대신하는 것이며, 문자로 표현되어야 한다고 생각한다. 학생들은 에서 , , , , , 가 변수임을 알지 못하였다. 문자 , 등에 숫자를 대입할 수 없으므로 변수가 될 수 없다고 생각하는 경향이 있다.
셋째, 학생들은 문자 , 만이 변수가 될 수 있다고 생각하는 경향이 있었다. 이는 변수를 주로 방정식과 함수 단원에서 , 의 문자 위주로 다루어 다른 문자들을 많이 접하지 못했기 때문에 학생들이 무의식적으로 변수를 나타내는 문자는 , 라고 생각하는 것으로 보인다.
미지수의 개념이 함수적 관계에서 변수 개념을 이해하는 데 어떠한 영향을 미치는가에 대한 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 미지수의 개념이 함수적 관계에서 변수 개념의 이해를 방해하는 것을 알 수 있다. 미지수의 개념을 사용하지 않았을 때, 학생들은 문제 상황에서 변수의 개념을 쉽게 이해할 수 있었다. 학생들이 사용하는 미지수의 개념이 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해의 수준에서 문자 이해 수준 4인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준으로의 이행을 방해하고 있다는 것을 확인할 수 있었다.
둘째, 학생들이 문제해결 과정에서 떠올리는 개념은 주어진 문제의 문맥에 의해 좌우되었다. 학생들은 문맥에 따라 다른 해석을 하였고 다른 접근을 하고 있었다. 이것은 학생들이 변수 개념을 제대로 이해하지 못하고 있다는 것과 변수 개념이 문맥의 영향을 많이 받는다는 것을 보여준다. 따라서 학생들의 문제 해결 과정 시 떠올리는 개념은 문맥에 의해 좌우된다는 것을 알 수 있다.
비슷한 유형의 <문제 3>과 <문제 4>에 대한 학생들의 답변을 통해, 학생들이 문맥에 따라 문자를 다르게 해석하고 있음을 알 수 있었다. 학생들은 <문제 3>의 경우에는 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해하여 문제를 해결하였고, <문제 4>의 경우에는 Küchemann의 문자 이해 수준 4인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준에서 문제를 해결하였다. 이것은 학생들이 변수 개념을 제대로 이해하지 못하고 있다는 것과 변수 개념이 문맥의 영향을 많이 받는다는 것을 보여준다. 따라서 학생들의 문제 해결 과정 시 떠올리는 개념은 문맥에 의해 좌우된다는 것을 알 수 있다. 뿐만 아니라 학생들이 사용하는 미지수의 개념이 Küchemann의 문자 이해 수준 3인 문자를 미지수로 이해의 수준에서 그 다음 수준인 문자를 일반화된 수나 변수로 해석할 수 있는 수준으로의 이행을 방해하고 있다는 것을 확인할 수 있다.
본 연구 과정에서 나타난 결과를 보완하여 보다 나은 후속 연구를 위해 다음과 같은 제언을 하고자 한다.
본 연구에서는 학생들이 함수적 관계에서 변수의 개념을 쉽게 떠올린다는 것을 알 수 있었다. 따라서 함수적 관계를 나타내는 문맥 뿐 아니라 학생들이 대수적 문맥에서 변수 개념을 쉽게 떠올릴 수 있는 다양한 문맥에 대한 연구가 필요하다.
This thesis studies 10th grade students' understanding of a concept of a variable and how a concept of an unknown that students use in the process of problem solving, obscures the understanding of the variable regarding functional relations.
In order to attain its goal, the following research quest...
This thesis studies 10th grade students' understanding of a concept of a variable and how a concept of an unknown that students use in the process of problem solving, obscures the understanding of the variable regarding functional relations.
In order to attain its goal, the following research questions have been established.
1. how do 10th grade students understand the concept of a variable?
2. as an unknown, how does the concept of a variable affects the understanding of a variable concept as a relationship (between the quantities) in studying functions?
The current curriculum introduces the definition of a variable concept at 7th grade period. In 8th grade period, first-order equations and first-order functions that have two unknowns are introduced. For the subject of the study, this study selected 10th grades students all of who have studied the concept of a variable and a first-orde function and have their own definition and image of it as they used its concept is solving various problems.
To answer above research questions, three classes of a high school located at the Gyeonggi Province has been selected as survey samples. Based on the test that has been made by analyzing Kim (1992) and Malisani (2006)’s studies, this study analyzed the test results by using frequencies and percentages of students’ responsiveness on questions. Students’ responses on each question has been analyzed. Based on the result, the level of students’ understanding of a variable concept and how the concept of an unknown obstructs the understanding of a concept of a variable in relation to functions has been analyzed.
The result of the analysis on 10thgradestudents’ understanding of a concept of a variable is as follows.
First, many students were considering as constants, not as variables. It implies that in a given equation, while many students observe as a variable, they fail to consider as variables. To put it differently, in real situations, students were not applying the fact that the character are variables that can be replaced by many values.
Second, students think that the variable substitutes the values and should be expressed in letters. For example, in , students didn't recognize the fact that are variables. Since numbers cannot be substituted into , they tend to think that cannot be variables.
Third, students tend to think that only the letter, can be variables. This is because the letter are mostly used in the section on equations and functions. Since they do not usually see other letters in the textbook, they unconsciously think that the variables that represent the letter are .
The result of the analysis on how the concept of an unknown obstructs the understanding of a variable in relation to functions are as follows.
Following is the summary of the result of an analysis on a variable concept understanding regarding the use of a concept of an unknown.
First, it was observable that as to studying functions, the concept of a variable as an unknown obstructs the understanding of a variable concept in terms of relationship between quantities. When the concept of a variable as an unknown has been applied, students failed to regard the concept of a variable as a functional relationship and committed a mistake of obtaining only one solution. From this result, we can confirm that the concept of an unknown that students use makes it difficult to switch over from Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an unknown) to the level of letter understanding 4 (interpreting the letter as a generalized number or variables).
Second, the concept that students hark back to in the process of problem solving depends on the context of the given problem. Students interpreted differently with respect to the context and approached differently. This shows that students failed to apply the concept of a variable properly in a first-order equation with two variables. Moreover, it implies that when applying the concept of a variable in solving problems, they are susceptible to the context. Thus, we can conclude that the concept of a variable that students hark back to in the process of problem solving depends on the context.
From answers on and that are similar to previous problems, it was observable that students are interpreting the letter differently according to the context. In , students solved the problem with the Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an known). On the other hand, in , they solved the problem with the level of letter understanding 4 (interpreting the letter as a generalized number or variables). This shows that students fail to properly understand the concept of a variable and that the concept of a variable is affected heavily on the context of the problem. Therefore, we can conclude that the concept that students use in solving the problems depends on the context. Furthermore, we can verify the fact that the concept of an unknown that students use obstructs the transferring from Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an known) to the next level (interpreting the letter as a generalized number or variables).
Following suggestions are made to complement this study's limitations and restrictions and for the sake of future research.
First, using the 117 10th grade students as a subject of the study, this thesis studied how the understanding of the concept of a variable and an unknown obstructs the understanding of a variable in functional relationship. Accordingly, this study should be complemented with much more wider scope of study for it has restrictions in regards to the subject of study and the area of research.
Second, it was observable from this study that students easily hark back to the concept of a variable in functional relationship. Research on not only the context that represents the functional relationship but also the algebraic context, where students can easily raise the concept of a variable, should be conducted.
This thesis studies 10th grade students' understanding of a concept of a variable and how a concept of an unknown that students use in the process of problem solving, obscures the understanding of the variable regarding functional relations.
In order to attain its goal, the following research questions have been established.
1. how do 10th grade students understand the concept of a variable?
2. as an unknown, how does the concept of a variable affects the understanding of a variable concept as a relationship (between the quantities) in studying functions?
The current curriculum introduces the definition of a variable concept at 7th grade period. In 8th grade period, first-order equations and first-order functions that have two unknowns are introduced. For the subject of the study, this study selected 10th grades students all of who have studied the concept of a variable and a first-orde function and have their own definition and image of it as they used its concept is solving various problems.
To answer above research questions, three classes of a high school located at the Gyeonggi Province has been selected as survey samples. Based on the test that has been made by analyzing Kim (1992) and Malisani (2006)’s studies, this study analyzed the test results by using frequencies and percentages of students’ responsiveness on questions. Students’ responses on each question has been analyzed. Based on the result, the level of students’ understanding of a variable concept and how the concept of an unknown obstructs the understanding of a concept of a variable in relation to functions has been analyzed.
The result of the analysis on 10thgradestudents’ understanding of a concept of a variable is as follows.
First, many students were considering as constants, not as variables. It implies that in a given equation, while many students observe as a variable, they fail to consider as variables. To put it differently, in real situations, students were not applying the fact that the character are variables that can be replaced by many values.
Second, students think that the variable substitutes the values and should be expressed in letters. For example, in , students didn't recognize the fact that are variables. Since numbers cannot be substituted into , they tend to think that cannot be variables.
Third, students tend to think that only the letter, can be variables. This is because the letter are mostly used in the section on equations and functions. Since they do not usually see other letters in the textbook, they unconsciously think that the variables that represent the letter are .
The result of the analysis on how the concept of an unknown obstructs the understanding of a variable in relation to functions are as follows.
Following is the summary of the result of an analysis on a variable concept understanding regarding the use of a concept of an unknown.
First, it was observable that as to studying functions, the concept of a variable as an unknown obstructs the understanding of a variable concept in terms of relationship between quantities. When the concept of a variable as an unknown has been applied, students failed to regard the concept of a variable as a functional relationship and committed a mistake of obtaining only one solution. From this result, we can confirm that the concept of an unknown that students use makes it difficult to switch over from Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an unknown) to the level of letter understanding 4 (interpreting the letter as a generalized number or variables).
Second, the concept that students hark back to in the process of problem solving depends on the context of the given problem. Students interpreted differently with respect to the context and approached differently. This shows that students failed to apply the concept of a variable properly in a first-order equation with two variables. Moreover, it implies that when applying the concept of a variable in solving problems, they are susceptible to the context. Thus, we can conclude that the concept of a variable that students hark back to in the process of problem solving depends on the context.
From answers on and that are similar to previous problems, it was observable that students are interpreting the letter differently according to the context. In , students solved the problem with the Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an known). On the other hand, in , they solved the problem with the level of letter understanding 4 (interpreting the letter as a generalized number or variables). This shows that students fail to properly understand the concept of a variable and that the concept of a variable is affected heavily on the context of the problem. Therefore, we can conclude that the concept that students use in solving the problems depends on the context. Furthermore, we can verify the fact that the concept of an unknown that students use obstructs the transferring from Küchemann's level of letter understanding 3 (understanding the letter as an known) to the next level (interpreting the letter as a generalized number or variables).
Following suggestions are made to complement this study's limitations and restrictions and for the sake of future research.
First, using the 117 10th grade students as a subject of the study, this thesis studied how the understanding of the concept of a variable and an unknown obstructs the understanding of a variable in functional relationship. Accordingly, this study should be complemented with much more wider scope of study for it has restrictions in regards to the subject of study and the area of research.
Second, it was observable from this study that students easily hark back to the concept of a variable in functional relationship. Research on not only the context that represents the functional relationship but also the algebraic context, where students can easily raise the concept of a variable, should be conducted.
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