[논문]동적 기하 환경을 활용한 문제 해결 과정에서 변수 이해 및 일반화 수준 향상에 관한 사례연구

반은섭; 류희찬

동적 기하 환경을 활용한 문제 해결 과정에서 변수 이해 및 일반화 수준 향상에 관한 사례연구
Understanding Variables and Enhancing the Level of Generalization in Problem Solving Utilized Dynamic Geometry Environment 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.27 no.1, 2017년, pp.89 - 112

초록
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본 연구에서는 삼차방정식 $x^3+4x=32$의 기하학적 해법을 사례로 하여 삼차방정식 $x^3+ax=b$를 기하학적으로 해결하는 일반화 과정을 분석했다. 연구 결과, 동적 기하 환경을 활용한 문제 해결 과정에서 변수를 동적으로 이해하면서 이미 제시한 일반해를 재해석하고, 더 나아가 또 다른 일반해를 제시할 수 있게 되어 일반화의 수준이 향상되었다. 결론적으로, 문제 해결 과정에서 동적 기하 환경이 변수 이해 및 일반화 수준 향상과 관련해 학생 중심 탐구 수단으로서 유의미한 역할을 할 수 있다는 교수학적 시사점을 도출할 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this study we have analyzed processes of generalization in which students have geometrically solved cubic equation $x^3+ax=b$, regarding geometrical solution of cubic equation $x^3+4x=32$ as examples. The result of this research indicate that students could especially re-interpret the geometric solution of the given cubic equation via dynamically understanding the variables in dynamic geometry environment. Furthermore, participants could simultaneously re-interpret the given geometric solution and then present a different geometric solutions of $x^3+ax=b$, so that the level of generalization could be improved. In conclusion, the study could provide useful pedagogical implications in school mathematics that the dynamic geometry environment performs significant function as a means of students-centered exploration when understanding variables and enhancing the level of generalization in problem solving.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 지필 환경 및 동적 기하 환경에서 학생 중심의 탐구의 과정을 분석하고자 했기 때문에 학생 스스로 문제를 해결하는 것을 원칙으로 하고 있으며, 문제의 해결 과정에서 학생과 교사, 그리고 학생 간의 의사소통을 최소화 하였다. 연구 대상자들이 사용한 책상이 충분히 분리되어 있었으며, 컴퓨터는 개인별로 사용하였다.
본 연구에서는 지필 환경 이후에 제공된 동적 기하 환경이 일반화의 과정에 유의미한 영향을 주었다는 연구 결과를 제시하였다.
이와 같은 결과는 변수가 포함되어 있는 일반화의 문제 해결 과정에서 동적 기하 환경이 학생 중심의 탐구 수단으로서 유의미하게 활용될수 있다는 시사점을 제공하는 것이다. 본 연구를 기초로 하여 학교 수학의 다양한 영역에서 동적 기하 환경을 활용하여 변수가 포함된 일반화의 상황을 다루고, 이를 교수 및 학습의 상황에 적용할 수 있는 방법을 제시해주는 많은 연구가 이루어지기를 기대한다.
이와 같은 연구 결과를 바탕으로 본 연구에서는 반은섭 외(2016)가 Omar Khayyam의 해법을 재해석하여 제시한 삼차방정식 x³+ax=b에 대한 교수학적 활용 방법의 내용을 학생들에게 적용하고 수학 교실에 필요한 교수학적 시사점을 찾고자 하였다. 특히, 변수 a, b가 포함된 삼차방정식 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하는 과정에서 지필 환경과 동적 기하 환경의 풍부한 탐구 학습 환경을 각각 제시하고, 동적 기하 환경이 일반화 수준의 향상을 어떤 방식으로 지원하게 되었는지 분석하여 적용 가능한 시사점을 제공하였다.

가설 설정

특히 본 연구에서 의도하고 있는 일반화된 방정식을 해결하는 과정에서는 매개변수의 이해 수준에 따라서 일반화 결과의 위계성이 나타날 수 있다는 가정을 하고 있다. 즉, 계수 및 상수항이 구체적인 수로 제시된 방정식의 해법을 통하여 일반해를 구하는 과정에서 개별적인 방정식을 해결할 수 있었던 구조적 유사성을 인식하게 될 경우에 일반화의 수준이 더 높을 것이다.
이상의 연구 결과들은 구체적이고 특별한 예로부터 구조적 유사성을 찾아, 본질적인 속성이 무엇인지 찾아내고 추상화시키는 것을 일반화의 완성으로 보고 있다. 특히 본 연구에서 의도하고 있는 일반화된 방정식을 해결하는 과정에서는 매개변수의 이해 수준에 따라서 일반화 결과의 위계성이 나타날 수 있다는 가정을 하고 있다. 즉, 계수 및 상수항이 구체적인 수로 제시된 방정식의 해법을 통하여 일반해를 구하는 과정에서 개별적인 방정식을 해결할 수 있었던 구조적 유사성을 인식하게 될 경우에 일반화의 수준이 더 높을 것이다.

제안 방법

탐색 단계, 해결 단계, 반성 단계의 일련의 과정을 통하여 이루어질 수 있는 문제 해결의 단계 및 이에 대한 분석 관점을 <표 III-3>과 같이 종합하여 나타낼 수 있다. 귀납을 통하여 일반화된 삼차방정식을 기하학적으로 해결하는 과정을 분석하기 위하여 연구의 대상자들이 삼차방정식 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하는 귀납의 과정 및 기하학적 해의 제시, 제시한 기하학적 해에 대한 재해석과 확장의 과정을 분석하였다.
또한 동적 기하 환경에서 #latex 과 2x2-18x+y2=0의 교점을 직접 확인해보면서 삼차방정식 x3+8x=72의 기하학적 해를 표현할 수 있었으며([그림 IV-5(좌)]), 이를 검증하기 위하여 y=x3+8x와 y=72의 그래프를 그려본 후, x좌표를 비교하였다([그림 IV-5(우)]).
또한 선행 연구들의 결과를 종합하여 일반화의 수준을 제시한 의 내용을 일반화 수준에 대한 분석틀로 활용하였다.
면담 내용은 모두 녹음되었으며, 동적 기하 환경에서 활동한 동영상 파일을 재생시킨 화면을 다시 화면 캡처 프로그램으로 녹화하였다. 이를 토대로 모든 대화 내용이 전사되었으며, 이 자료를 다시 분석하였다.
지필 환경 및 동적 기하 환경에서 학생들이 삼차방정식을 해결하면서 작성한 활동지 및 화면 캡처 프로그램에 의하여 녹화된 동영상 파일이 실험이 종료된 이후 모두 수집되었으며, 이들 자료는 학생들의 문제 해결 과정에 대한 분석에 활용되었다. 본 실험이 종료된 이후 활동지에 대한 분석이 진행되었으며, 임상 면담은 학생들의 활동지 분석이 이루어진 이후에 실시되었다. 임상 면담은 개인별로 진행되었으며, 수집된 활동지 원본을 학생에게 제시하고, 연구자는 사본을 보면서 질문을 하는 방식으로 이루어졌다.
본 연구에서는 중세 시대의 아랍의 수학자 Omar Khayyam이 제시한 삼차방정식의 기하학적 해법을 현대적인 의미로 재해석하고 이들의 활용 방법을 제시한 반은섭 외(2016)의 연구 결과를 참고하여 학생들이 삼차방정식 x³+ax=b를 기하학적으로 해결한 과정을 분석하였다.
연구의 대상자들은 이미 a, b의 값이 구체적인 수로 주어진 형태의 삼차방정식 x3+4x=32에 대한 기하학적 해법을 알고 있었으며, a와 b가 양수라는 조건하에 x3+ax=b 형태의 삼차방정식을 지필 환경과 동적 기하 환경에서 각각 기하학적으로 접근하여 해결하였다.
이제 연구에 참여한 학생들이 동적 기하 환경을 활용하여 삼차방정식 x³+4x=32의 해법을 일반화한 과정을 학생 B, 학생 A, 학생 C의 순서대로 구체적으로 살펴보고, 문제 해결 과정에서 동적 기하 환경의 역할을 논하고자 한다.
+ax=b의 기하학적 해를 제시하였다([그림 IV-2]). 이후 동적 기하 환경에서 #Latex과 x²-2ax+y² = 0을 기하학적으로 표현하고 이 두 도형의 교점을 y=x³+ax와 y =b의 교점의 x좌표와 비교해보면서 지필 환경에서 제시한 기하학적 해가 틀렸다는 것을 대수식을 통하여 검증할 수 있었으며([그림 IV-3]), 지필 환경에서 제시한 해를 수정하였다.
이후 지필 환경에서 해결한 x3+ax=b의 기하학적 해를 확인하기 위하여 포물선의 방정식인 #latex과 원의 방정식을 변형한 상반원의 방정식인 #latex을 슬라이드 기능을 활용하여 표현한 다음 변수 a, b의 값을 변화시키면서 a=4, b=32의 값이 될 경우에 고정시킨 도형의 조합과 맞는지 여부를 관찰하였다.
본 실험이 종료된 이후 활동지에 대한 분석이 진행되었으며, 임상 면담은 학생들의 활동지 분석이 이루어진 이후에 실시되었다. 임상 면담은 개인별로 진행되었으며, 수집된 활동지 원본을 학생에게 제시하고, 연구자는 사본을 보면서 질문을 하는 방식으로 이루어졌다. 동적 기하 환경에서 활동한 내용은 녹화된 동영상을 연구자와 함께 시청하면서 질문을 주고받았다.
지필 환경 및 동적 기하 환경에서 학생들이 삼차방정식을 해결하면서 작성한 활동지 및 화면 캡처 프로그램에 의하여 녹화된 동영상 파일이 실험이 종료된 이후 모두 수집되었으며, 이들 자료는 학생들의 문제 해결 과정에 대한 분석에 활용되었다. 본 실험이 종료된 이후 활동지에 대한 분석이 진행되었으며, 임상 면담은 학생들의 활동지 분석이 이루어진 이후에 실시되었다.
첫째, 연구에 참여한 모든 학생들은 x³+4x=32의 기하학적 해법을 하나의 예로 하는 귀납 활동을 통하여 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하였으며, 특히 이 과정에서 학생 B는 이미 주어진 삼차방정식 x³+4x=32를 참고하여 일차항의 계수와 상수항을 8의 배수로 적절하게 바꾸어 또 다른 예인 삼차방정식 x³+8x=72를 새롭게 구성한 후, 귀납 활동에 적용하는 방법을 선택하였다. 학생 B는 x³+4x=32의 기하학적 해와 x³+8x=72의 기하학적 해를 동시에 활용하여 x³+ax=b의 기하학적 해를 제시할 수 있었으며, 이러한 결과는 귀납의 과정에서 사례가 늘어날수록 일반화의 결과에 대한 신뢰성이 커진다는 Polya(2003)의 설명을 뒷받침하는 것이라고 할 수 있으며, 구체적인 사례들로부터 일반화를 하는 과정에서 학생들이 활용하게 되는 예의 역할이 매우 중요하기 때문에 좋은 예를 잘 선택하여 제시해 줄 필요가 있다는 Sriraman(2004) 과 Zazkis et al.
+ax=b에 대한 교수학적 활용 방법의 내용을 학생들에게 적용하고 수학 교실에 필요한 교수학적 시사점을 찾고자 하였다. 특히, 변수 a, b가 포함된 삼차방정식 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하는 과정에서 지필 환경과 동적 기하 환경의 풍부한 탐구 학습 환경을 각각 제시하고, 동적 기하 환경이 일반화 수준의 향상을 어떤 방식으로 지원하게 되었는지 분석하여 적용 가능한 시사점을 제공하였다.
한편, 변수 a, b가 포함된 식을 좌표평면에 표현하기 위해서 모든 학생들은 동적 기하 환경의 슬라이드 기능을 활용하였다. 학생 A, 학생 B, 학생 C가 동적 기하 환경의 슬라이드 기능을 활용하여 삼차방정식 x³+ax=b의 기하학적 해의 의미를 재해석한 내용을 분석하고자 한다.
학생 A와 학생 B는 동적 기하 환경에서 변수 a, b가 포함된 도형의 방정식을 표현할 수 있었으며, 슬라이드 기능을 활용하여 x3+4x=32의 기하학적 해 뿐만 아니라, 다양한 삼차방정식의 기하학적 해를 관찰하면서 지필 환경에서 제시한 x3+ax=b의 기하학적 해를 수정하였다.
한편, 주어진 삼차방정식으로부터 두 개의 원뿔곡선의 방정식을 찾아 좌표평면에 표현하고, 이들의 교점을 이용하여 삼차방정식의 해를 기하학적으로 제시하는 모든 과정을 Polya(2005)의 문제 해결의 네 단계인 , , , 의 단계를 기반으로 하여 및 단계를 탐색(inquiring) 단계로, 단계를 해결(solving) 단계로, 를 반성(reflecting)단계로 재해석하고 이와 같은 탐색, 해결, 반성의 단계를 바탕으로 방정식의 기하학적 해결 과정을 분석하였다().

대상 데이터

본 연구를 위하여 지방의 중소도시에 위치하고 있는 A고등학교 2학년에 재학 중인 자연계열의 남학생 3명을 연구 대상으로 선정하였다. A 고등학교는 중산층이 많이 분포하고 있는 도심에 위치하고 있는 일반계 고등학교로 중위권 정도의 학업성취도를 보이는 학교라고 할 수 있다.
사전에 연구 대상자들을 포함하여 전국 단위 시험의 수학 성적이 상위 5%～10%인 상위권의 학생 10명을 대상으로 연구 참여에 대한 동의를 받고 사전 면담을 실시하여, 본 연구의 취지에 맞는 학생 3명을 연구의 대상으로 선정하였다.이들을 대상으로 진행된 사전 면담에서 모든 대상자들이 삼차방정식 및 원뿔곡선에 대한 개념을 이해하고 있는 것을 확인하였으며, 본 연구의 취지에 적합할 것이라고 예상했다.

이론/모형

본 연구에서 활용한 동적 기하 환경은 Hohenwarter(2002)에 의하여 개발된 GeoGebra 프로그램이며, 다양한 동적 기하 환경에서 공통적으로 활용할 수 있는 기능인 대수식을 좌표평면의 도형으로 전환하는 기능, 좌표평면에 구현된 도형에 대한 대수식을 확인할 수 있는 기능, 슬라이드를 통하여 변수가 포함된 도형을 표현할 수 있는 기능을 활용하였다.
본 연구에서는 중세 시대의 아랍의 수학자인 Omar Khayyam이 제시한 삼차방정식의 기하학적 해법(Khayyam, 2008; Mardia, 1999)을 현대적으로 재해석하여 다룬 반은섭 외(2016)의 연구 결과를 활용하였다. 반은섭 외(2016)는 삼차방정식 x³+ax=b의 기하학적 해결 과정에서 귀납 및 일반화의 전략을 활용할 수 있다고 제시하였다.
삼차방정식을 기하학적으로 해결하기 위한 수학적 사고의 과정을 심도 있게 분석하기 위해서 질적 사례 연구(qualitative case study) 방법을 적용하였다. 질적 사례 연구 방법은 목적이 있는 표집에 의한 사례를 통하여, 양적으로 나타나기 어려운 개인의 행동과 사고에 대한 심층적이고 체계적인 정보를 얻을 수 있고, 그 의미를 분석할 수 있는 연구 방법이다(Merriam, 1998).

성능/효과

동적 기하 환경의 슬라이드 기능을 통하여 삼차방정식 x3+ax=b의 기하학적 해를 제시하는 과정에서 학생들은 변수 a, b의 값을 다양한 값으로 변화시킬 수 있었으며, 이는 동적 기하 환경이 기존에 해결한 삼차방정식 x3+4x=32의 기하학적 해를 포함한 다양한 삼차방정식의 기하학적 해를 표현하고 비교할 수 있게 하여, 변수에 대한 의미를 동적으로 이해하고, x3+4x=32의 기하학적 해를 일반화하여 해석할 수 있도록 지원하였다고 볼 수 있다.
둘째, 귀납의 과정에서 하나의 사례가 되었던 ‘ x3+4x=32의 기하학적 해법’에 포함되어 있는 대수적 절차를 구조적으로 이해하고 이를 변수가 포함되어 있는 일반화된 식에 적용한 학생C만이 지필 환경에서 일반화에 성공을 할 수 있었으며, 이는 귀납을 통한 일반화 과정에서 변수의 의미를 구조적으로 파악할 수 있어야 한다는 Drijvers(2001)의 주장을 지지하는 결과이다.
Becker & Rivera(2005)는 변수에 대한 이해와 표상의 유창성에 근거하여 수치적 전략, 시각적 전략, 실용적 전략(수치적 전략과 시각적 전략을 복합적으로 사용하는 전략)으로 분류하여 학생들이 주어진 패턴을 일반화한 전략을 분석한 결과, 대부분 학생들은 변수의 개념을 활용하지 못하였으며, 변수가 다양한 수를 나타낸다는 것을 인식하지 못한 채 단지 자리지기로만 생각했다. 또한 실용적 전략을 사용한 경우에 수치적 전략과 시각적 전략을 연결하여 문제 해결에 성공할 수 있었으며, 시각적 전략만을 사용하여 문제 해결을 시도한 경우에도 결국에는 두 가지 전략을 연결하여 문제 해결에 성공할 수 있었던 결과를 토대로 시각적인 표상이 일반화의 과정에서 중요한 역할을 한다는 주장을 할 수 있었다.
삼차방정식을 기하학적으로 해결하면서 두 개의 원뿔곡선의 교점을 찾는 탐색의 과정에서 원뿔곡선의 성질 및 삼차방정식의 차수 등을 고려한 수학적 추론이 가능하다. 또한 이를 통하여 방정식을 조직하고 주어진 삼차방정식과의 대수 식을 비교하여 최종적으로 기하학적 해를 제시하게 되며, 제시한 기하학적 해의 반성 단계에서는 해의 의미를 보다 풍부하게 이해할 수 있다. 또한 선행 연구들의 결과를 종합하여 일반화의 수준을 제시한 <표 II-2>의 내용을 일반화 수준에 대한 분석틀로 활용하였다.
특히 변수에 따른 도형의 변화 양상을 관찰하면서 삼차방정식의 기하학적 해를 구성하는 도형들의 불변적 관계를 인식할 수 있는 경우에는 2 수준의 일반화보다는 차원이 더 높은 3 수준의 일반화에 도달할 수 있었다는 판단을 할 수 있다. 또한 학생 A의 경우에 동적 기하 환경을 통하여 삼차방정식의 일반해를 제시한 이후, 이를 확장하여 또 다른 일반해를 제시할 수 있었으며, 삼차방정식의 기하학적 해에 대한 새로운 심상을 형성할 수 있게 되어 일반화의 수준을 향상시킬 수 있었다. 귀납의 과정에서 일반화 수준의 향상에 대한 내용을 [그림 V-2]와 같은 도식으로 표현할 수 있다.
모든 연구 대상자들에게 연구의 성격과 의미를 충분히 설명했고, 이들은 본 연구에 참여하고 싶다는 의사를 분명하게 밝혔으며, 실험이 실시되기 이전에 GeoGebra의 활용법을 숙지할 수 있었다.
셋째, 학생들이 변수에 대한 의미를 동적으로 해석한 결과, 일반화의 수준이 향상되었다. 모든 학생들은 x³+4x=32의 기하학적 해법을 바탕으로 대수적으로 접근하여 x³+ax=b에서 유도할 수 있는 두 개의 원뿔곡선의 방정식을 변수 a, b로 나타내었으며, 좌표평면에 원뿔곡선을 표현하여 일반해를 제시할 수 있었다. 이후 동적 기하 환경의 슬라이드 기능을 활용하여 변수 a, b를 다양하게 변화시키면서 변수에 따른 도형의 변화 양상을 확인하고 이미 제시한 x³+ax=b의 기하학적 해를 재해석하여 매개변수의 족을 다룬다는 인식을 할 수 있었으며, 매개변수의 변화에 따른 변수들의 의미와 관계를 이해할 수 있었다.
모든 학생들이 이미 삼차방정식 x3+4x=32를 기하학적으로 해결한 경험이 있지만, 이 중 학생 C는 대수식의 조작 과정에서 사차방정식이 나오게 된 의미를 보다 심도 있게 탐구하면서 이미 제시한 기하학적 해를 재해석하였으며, 사전 지식을 활용하여 삼차방정식 x3+ax=b의 기하학적 해를 구하는 과정에서 해법을 일반화하면서 양변에 x를 곱하여 대수적 조작을 할 수 있는 계기를 마련할 수 있었다([그림 IV-1], <발췌문 1>의 4학생C).
본 연구에서 제공한 동적 기하 환경이라는 풍부한 탐구 학습의 환경을 통하여 학생들은 이미 해결한 x³+4x=32 이외의 사례에 대한 기하학적 해법을 적용하여x³+ax=b의 기하학적 해를 귀납적으로 탐색하고 식을 비교할 수 있었다. 또한 동적 기하 환경은 학생들이 일반해를 제시한 이후에 슬라이드 기능을 통하여 변수 a, b의 값에 따른 도형의 변화 양상 및 교점의 변화를 관찰할 수 있게 하여 삼차방정식x³+ax=b의 기하학적 해에 대한 보다 심도 있는 해석을 할 수 있도록 하였으며, 이미 제시한 x³+ax=b의 기하학적 해를 보다 확장하여 또 다른 일반해를 제시할 수 있도록 지원하였다.
셋째, 학생들이 변수에 대한 의미를 동적으로 해석한 결과, 일반화의 수준이 향상되었다. 모든 학생들은 x³+4x=32의 기하학적 해법을 바탕으로 대수적으로 접근하여 x³+ax=b에서 유도할 수 있는 두 개의 원뿔곡선의 방정식을 변수 a, b로 나타내었으며, 좌표평면에 원뿔곡선을 표현하여 일반해를 제시할 수 있었다.
연구에 참여한 모든 학생들은 이미 삼차방정식 x³+4x=32의 기하학적 해법을 알고 있었으며, 이를 일반화하면서 지필 환경에서는 삼차방정식 x³+4x=32의 기하학적 해법의 대수적 절차를 구조적으로 이해하고 이를 적용했던 학생 C만이 문제 해결에 성공할 수 있었다. 일반화된 삼차방정식 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하는 과정에서 대수식에 대한 일반화와 함께 변수가 포함되어 있는 추상적인 도형을 좌표평면에 표현하는 활동이 수반되기 때문에 삼차방정식 x³+4x=32의 기하학적 해법을 사례로 한 귀납의 활동이 인지적으로 부담이 되었을 가능성이 있다.
실험은 2학기 기말고사가 마무리 된 이후, 수학 교실에서 진행되었다. 연구의 참여자들은 지필 환경(25분)과 동적 기하 환경(25분)에서 차례로 x³+4x=32를 기하학적으로 해결하였으며, 이 과정에서 x³+4x=32의 기하학적 해법을 익힐 수 있었다. 이후 연속된 실험을 통하여 지필 환경(25분)과 동적 기하 환경(25분)에서 x³+ax=b를 기하학적으로 해결하였다.
사전에 연구 대상자들을 포함하여 전국 단위 시험의 수학 성적이 상위 5%～10%인 상위권의 학생 10명을 대상으로 연구 참여에 대한 동의를 받고 사전 면담을 실시하여, 본 연구의 취지에 맞는 학생 3명을 연구의 대상으로 선정하였다.이들을 대상으로 진행된 사전 면담에서 모든 대상자들이 삼차방정식 및 원뿔곡선에 대한 개념을 이해하고 있는 것을 확인하였으며, 본 연구의 취지에 적합할 것이라고 예상했다. 모든 연구 대상자들에게 연구의 성격과 의미를 충분히 설명했고, 이들은 본 연구에 참여하고 싶다는 의사를 분명하게 밝혔으며, 실험이 실시되기 이전에 GeoGebra의 활용법을 숙지할 수 있었다.
이상의 연구 결과들은 매개변수가 포함된 일반화된 방정식을 해결하기 위하여 문제를 이해하거나, 해를 표현하고 그 결과를 반성하는 과정에서 매개변수가 포함된 일반적인 식을 단지 하나의 개별적인 방정식으로 해석할 가능성이 있으며, 매개변수를 인식하고 활용하는 수준에 따라 문제 해결의 수준이 달라질 수 있다는 것을 시사한다.
이와 같은 결과는 제시된 일반해를 재해석하는 활동을 통하여 일반화의 수준이 2 수준보다 더 높은 수준인 3 수준으로 향상될 수 있다는 것을 보여주고 있다. 특히 변수에 따른 도형의 변화 양상을 관찰하면서 삼차방정식의 기하학적 해를 구성하는 도형들의 불변적 관계를 인식할 수 있는 경우에는 2 수준의 일반화보다는 차원이 더 높은 3 수준의 일반화에 도달할 수 있었다는 판단을 할 수 있다.
학생 A는 지필 환경에서 변수 a와 b를 모두 활용하여 기하학적 해를 제시하지 못하고 변수 b만이 포함된 해를 제시하였다([그림 IV-7], 2학생A). 이후 동적 기하 환경에서 슬라이드 기능을 활용하여 대수식을 기하학적으로 다양하게 표현할 수 있게 되면서, 지필 환경에서 제시한 기하학적 해를 검증할 수 있었다. 학생 A는 동적 기하 환경에서 #latex 과 #latex를 표현한 후, 이 두 도형의 교점을 y=x³+ax-b의 그래프의 x절편과 비교해 보면서 지필 환경에서 도출한 기하학적 해가 잘못되었다는 것을 확인할 수 있었으며(8학생A), 대수식을 통하여 #latex 과 #latex를 연립하여 삼차방정식 x³+ax=b가 나오는지 여부를 확인할 수 있었다([그림 IV-8], 8학생A).
모든 학생들은 x³+4x=32의 기하학적 해법을 바탕으로 대수적으로 접근하여 x³+ax=b에서 유도할 수 있는 두 개의 원뿔곡선의 방정식을 변수 a, b로 나타내었으며, 좌표평면에 원뿔곡선을 표현하여 일반해를 제시할 수 있었다. 이후 동적 기하 환경의 슬라이드 기능을 활용하여 변수 a, b를 다양하게 변화시키면서 변수에 따른 도형의 변화 양상을 확인하고 이미 제시한 x³+ax=b의 기하학적 해를 재해석하여 매개변수의 족을 다룬다는 인식을 할 수 있었으며, 매개변수의 변화에 따른 변수들의 의미와 관계를 이해할 수 있었다.
이후 학생들은 변수를 다양하게 조작해보면서 변수가 포물선과 원을 결정하게 된다는 것을 확인하게 되어 이미 제시한 해를 재해석할 수 있었으며, 또 다른 일반해를 찾는 활동을 통하여 보다 높은 3 수준의 일반화에 이르게 되었다. 동적 기하 환경을 활용하여 일반화된 삼차방정식에 기하학적으로 접근하는 문제 해결 과정에서 일반화의 수준이 향상될 수 있다는 본 연구의 결과는 대수식에서 변수의 이해를 바탕으로 일반화 수준을 다룬 Becker & Rivera(2005), De Giessen(2002), Drijvers(2001) 등의 연구 결과를 대수와 기하의 수학적 연결성을 근간으로 하고 있는 해석기하의 영역으로 확장하여 해석할 수 있는 근거로 활용될 수 있을 것이다.
일반화 과정에서 동적 기하 환경을 통하여 변수가 포함된 도형을 기하학적으로 표현할 수 있었으며, 이미 제시한 삼차방정식 x³+4x=32의 기하학적 해 및 삼차함수 y=x³+ax-b의 x절편 등과 비교해보면서 일반해가 옳은지 여부를 확인하고, 재탐색의 과정을 거쳐 수정된 기하학적 해를 제시한 결과, 2 수준의 일반화를 할 수 있었다.
[그림 V-1] 은 슬라이드 기능을 활용한 변수 개념의 이해 과정에 대한 도식이다. 정적인 개념과 동적인 개념의 변수의 의미를 올바로 이해할 수 있을 때, 다양한 사례의 삼차방정식의 기하학적 해법을 개별적인 상태로만 보지 않고, 그것을 하나의 범주로 묶어서 보편적으로 파악할 수 있었다.
이들은 경험적 일반화와 이론적 일반화, 그리고 추상-일반 개념을 통하여 수학적 개념을 형성하는 절차를 설명하고 있다. 특히, 일반화를 통하여 유사성에 따라 분류한 개념들을 각각 하나의 대상으로 파악하여 새로운 수학적 개념을 형성할 수 있다는 점에서 추상화가 두 종류의 일반화보다 높은 수준의 역할을 한다고 보았다.

후속연구

동적 기하 환경을 활용하여 일반화된 삼차방정식에 기하학적으로 접근하는 문제 해결 과정에서 일반화의 수준이 향상될 수 있다는 본 연구의 결과는 대수식에서 변수의 이해를 바탕으로 일반화 수준을 다룬 Becker & Rivera(2005), De Giessen(2002), Drijvers(2001) 등의 연구 결과를 대수와 기하의 수학적 연결성을 근간으로 하고 있는 해석기하의 영역으로 확장하여 해석할 수 있는 근거로 활용될 수 있을 것이다.
이와 같은 결과는 변수가 포함되어 있는 일반화의 문제 해결 과정에서 동적 기하 환경이 학생 중심의 탐구 수단으로서 유의미하게 활용될수 있다는 시사점을 제공하는 것이다. 본 연구를 기초로 하여 학교 수학의 다양한 영역에서 동적 기하 환경을 활용하여 변수가 포함된 일반화의 상황을 다루고, 이를 교수 및 학습의 상황에 적용할 수 있는 방법을 제시해주는 많은 연구가 이루어지기를 기대한다.
이상의 연구 결과들은 변수가 포함된 방정식을 풀기 위하여 문제를 이해하거나, 해결하는 과정에서, 그리고 해결한 결과를 표현하고 반성하는 과정에서 변수가 포함된 일반적인 방정식을 단지 하나의 개별적인 방정식으로 해석할 가능성이 있기 때문에 교수 및 학습의 과정에서 변수에 대한 동적인 개념과 정적인 개념을 모두 올바로 인식하고 활용할 수 있는 기회를 제공해야 한다는 것을 시사하고 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	대수는 무엇인가요?	대수는 일반화의 언어이며, 일반화를 위한 표현과 조작, 그리고 일반화 과정에서 추론의 방식을 제공한다(Mason, 2002). 또한 기하의 교수-학습에서 대수적 표현, 방정식을 풀기 위한 대수적인 조작, 변수와 미지수의 개념에 대한 이해가 요구되기 때문에(Dindyal, 2004, 2007), 학교 수학의 대수와 기하의 모든 분야에서 일반화와 관련된 내용이 스며있다고 할 수 있다.
	일반화가 무엇인가요?	일반화는 몇 가지 예에서 확인할 수 있는 공통된 패턴 및 성질을 그 예가 포함된 보다 큰 범위로 확장시키는 것으로(Mitchelmore, 2002;Tall, 2011; Zazkis, Liljedahl & Chernoff, 2007), 형식 불역의 원리나 대입과 같은 대수적 사고 요소와 밀접하게 관련되어 있기 때문에 대수적 사고 발달의 초석이 된다고 할 수 있다(김성준, 2004; 장혜원, 2007).
	학습 상황에서 세 가지 개념의 통합은 어떤 과정을 걸쳐서 이루어지나요?	White & Mitchelmore(1999)는 [그림 II-1]을 통하여 학습 상황에서 세 가지 개념의 통합의 과정을 설명하였다. 일반화 및 추상화 학습은 예들을 관찰하는 활동으로부터 시작되며, 경험적 일반화와 이론적 일반화의 과정이 교대가 되면서 유사성을 찾아 공통 요소들을 분류하여 수학적 개념에 대한 비형식적인 모델을 구성하게 된다.그리고 형식적인 수학적 개념을 통하여 해석할 수 있는 관점에서의 맥락을 조사하면서 추상-일반 개념을 형성하게 된다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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