[논문]혼합 체적-경계 적분방정식법을 이용한 응력확대계수 계산

이정기; 이형민

doi:10.3795/ksme-a.2003.27.7.1120

혼합 체적-경계 적분방정식법을 이용한 응력확대계수 계산
Calculation of Stress Intensity Factors Using the Mixed Volume and Boundary Integral Equation Method 원문보기

大韓機械學會論文集. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. A. A, v.27 no.7 = no.214, 2003년, pp.1120 - 1131

이정기 (홍익대학교 기계정보학과) , 이형민 (홍익대학교 대학원 기계정보학과)

Abstract ▼ AI-Helper

A recently developed numerical method based on a mixed volume and boundary integral equation method is applied to calculate the accurate stress intensity factors at the crack tips in unbounded isotropic solids in the presence of multiple anisotropic inclusions and cracks subject to external loads. Firstly, it should be noted that this newly developed numerical method does not require the Green's function for anisotropic inclusions to solve this class of problems since only Green's function for the unbounded isotropic matrix is involved in their formulation for the analysis. Secondly, this method takes full advantage of the capabilities developed in FEM and BIEM. In this paper, a detailed analysis of the stress intensity factors are carried out for an unbounded isotropic matrix containing an orthotropic cylindrical inclusion and a crack. The accuracy and effectiveness of the new method are examined through comparison with results obtained from analytical method and volume integral equation method. It is demonstrated that this new method is very accurate and effective for solving plane elastostatic problems in unbounded solids containing anisotropic inclusions and cracks.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 논문에서는 서로 상호작용을 하는 다수의 이방성 함유체 및 균열을 포함하는 등방성 무한고체가 정적 무한하중을 받을 때 균열 선단에서의 응력확대계수에 대한 계산을 효과적으로 수행할 수 있는 혼합 체적-경계 적분방정식법이라는 새로운 수치해석 방법을 소개한다. 아울러, 본 해석 방법의 정확성 및 효율성을 검증하기 위하여, 비교적 간단한 형태의 이방성을 나타내는 직교 이방성 함유체와 균열을 포함하는 무한고체에서 균열 선단에서의 응력확대계수에 대한 계산을 수행하고, 체적 적분방정식법 및 ANSYS를 이용한 유한요소법에 의한 결과와 비교 검토해 본다.

가설 설정

Table 1에 나타나 있다. 함유체와 기지에서의 X를 모두 2.0으로 가정하였으며, “J";? ( “1 : 함유체의 전단계수, “2 : 기지의 전단 계수)가 1/3(Iso #D과 3.0(Iso #2)인 두 가지 경우에대하여 수치해석을 수행하였다.
Figs. 2와 3에 있는, 서로 인접한 등방성 또는 직교 이방성 함유체와 균열을 포함하는 등방성 무한기지가 무한 분포하중을 받는 경우에, 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수를 결정하는 문제를, 평면 변형률(plane strain) 문제로 가정하여, 고찰해본다.
Fig. 2에 있는 서로 인접한 단일의 등방성 함유체와 단일의 균열을 포함하는 등방성 무한기지가 균일한 무한 분포하중을 받는 경우에, 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수에 대한 해석을 평면변형률(plane strain) 문제로 가정하여 수행하였다. Fig.
Fig. 3에 있는 서로 인접한 단일의 직교 이방 성함 유체와 단일의 균열을 포함하는 등방성 무한기지가 균일한 무한 분포하중을 받는 경우에, 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수에 대한 해석을 평면 변형률(plane strain) 문제로 가정하여 수행하였다. Fig.
기지는 무한공간을 차지하는 균일한 등방성 재료로 이루어지고, 함유체들은 기지와 다른 이방성 재료로 이루어진다고 가정한다. c昭은 함유체의 탄성상수를 나타내고, c協는 기지의 탄성상수를 나타낸다.
c昭은 함유체의 탄성상수를 나타내고, c協는 기지의 탄성상수를 나타낸다. 함유체들과 기지 사이의 경계면은 변위와 표면력 벡터의 연속성을 보장하는 완전 결합이라고 가정한다.

제안 방법

함유체와 기지에서의 X를 모두 2.0으로 가정하였으며, “J"? ( “1 : 함유체의 전단계수, “2 : 기지의 전단 계수)가 1/3(Iso #D과 3.0(Iso #2)인 두 가지 경우에대하여 수치해석을 수행하였다. 또한, 함유체와균열 사이의 거리(d)를 변화시켜 가면서, 응력확대계수에 미치는 영향을 조사하여 보았다.
3에 있는 서로 인접한 단일의 직교 이방 성함 유체와 단일의 균열을 포함하는 등방성 무한기지가 균일한 무한 분포하중을 받는 경우에, 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수에 대한 해석을 평면 변형률(plane strain) 문제로 가정하여 수행하였다. Fig. 5에 있는 체적 적분방정식법 모델과 Fig. 7에 있는 혼합 체적-경계 적분방정식법 모델을 사용하여, 체적 적분방정식법 및 혼합 처】적-경계 적분방정식법에 의한 수치해석 해를 구하였다.
2에 있는 서로 인접한 단일의 등방성 함유체와 단일의 균열을 포함하는 등방성 무한기지가 균일한 무한 분포하중을 받는 경우에, 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수에 대한 해석을 평면변형률(plane strain) 문제로 가정하여 수행하였다. Fig. 5에 있는 체적 적분방정식법 모델과 Fig. 7에 있는 혼합 체적-경계 적분방정식법 모델을 사용하여, 체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 수치해석 해를 구하였다.
함유체로써 모델링할 수 있다. 균열 모델에사용된 타원의 가로와 세로의 H](aspect ratio)를결정하기 위하여, 그 값을 여러 가지로 변화시켜가면서 균열선단에서 계산된 균열개구변위(crack opening displacement) 를 이용한 응력확대계수를구하여 해석적 해와 비교 검토해 보았다. 그 결과, 타원의 가로와 세로의 비를 40 이상으로 하면 아주 정확한 응력확대계수가 얻어짐을 알 수 있었다.
균열모델에 사용된 타원의 가로와 세로의 비는, 그 값을 여러 가지로 변화시켜 가면서 균열선단에서계산된 균열개구변위(crack opening displacement)를 이용한 응력확대계수를 구하여 해석적 해와 비교 검토한 결과를 바탕으로 하여, 40으로 정하였다. 岡
다음으로, 직 교 이 방성 함유체 의 C₂₂ 가 균열 선단에서의 mode I 응력확대계수에 미치는 영향을 조사하기 위하여, 직교 이방성 함유체들의 cn 을 고정하고 C₂₂ 가 등방성 기지의 C₂₂ 보다 큰 경우 (직교 이방성 함유체의 C” 이 등방성 함유체의 기보다 작으나, 직 교 이 방성 함유체의 C% 가등방성 기지의 C₂₂보다 큰 경우와 직교 이방 성함 유체 의 Cu 과 C₂₂ 가 등방성 함유체 의 C” 과 C22보다 큰 경우)를 고려해 보았다. 앞에서와 마찬가지로, 함유체와 균열 사이의 거리(d)를 변화 시켜 가면서, 응력확대계수를 구하여 보았다.
유한요소법 모델의 폭과 길이는 각각 함유체와 균열 사이의 가장 먼 거리 (2a+d+2R)의 7배와 5배로 정하였다. 또한, 정확한 응력확대계수를 구하기 위하여 균열선단 주위에는 균열선단요소(crack tip element)들을 이용하였으며, 균열선단요소에 속하는 절점들의 균열개구변위 값들을 사용하여 응력확대계수를 산정하였다。)
0(Iso #2)인 두 가지 경우에대하여 수치해석을 수행하였다. 또한, 함유체와균열 사이의 거리(d)를 변화시켜 가면서, 응력확대계수에 미치는 영향을 조사하여 보았다.
0(Iso #2)인 두 가지 경우에대하여 수치해석을 수행하였다. 또한, 함유체와균열 사이의 거리(d)를 변화시켜 가면서, 응력확대계수에 미치는 영향을 조사하여 보았다.
수치해석 방법을 소개한다. 아울러, 본 해석 방법의 정확성 및 효율성을 검증하기 위하여, 비교적 간단한 형태의 이방성을 나타내는 직교 이방성 함유체와 균열을 포함하는 무한고체에서 균열 선단에서의 응력확대계수에 대한 계산을 수행하고, 체적 적분방정식법 및 ANSYS를 이용한 유한요소법에 의한 결과와 비교 검토해 본다.
앞에서는, Fig. 2와 Fig. 3에 있는, 등방성 또는 이방성 함유체와 균열이 등방성 기지에 포함되어있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우에, 균열선단에서의 응력확대계수를 결정하는 평면변형률 문제를, 함유체 및 균열 모두에 체적 적분방정식법을 적용하여, 고찰해 보았다. 이번에는, 직교 이방성 함유체에 대하여는 체적 적분방정식법을 적용하고, 균열에 대하여는 경계 요소 법을 적용하는 혼합 체적-경계 적분방정식법에 대하여 고찰해본다.
큰 경우)를 고려해 보았다. 앞에서와 마찬가지로, 함유체와 균열 사이의 거리(d)를 변화 시켜 가면서, 응력확대계수를 구하여 보았다. 직교 이방성 함유체의 C₂₂ 가 등방성 기지의 C₂₂ 보다 커 져 도, 직 교 이 방성 함유체의 Cu 이 등방성 기지 의 Cu 보다 작은 경 우는, 함유체와 가까운 균열 선단에서의 응력확대계수가 균열만 존재할 때의 응력확대계수보다 증가하였으며, 직교 이방 성함 유체의 Cn이 등방성 기지의 C”보다 큰 경우는, 함유체와 가까운 균열 선단에서의 응력확대계수가 균열만 존재할 때의 응력확대계수보다 감소하였다.
우선, 체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 해석결과를 검증하기 위하여,d/很=0.1, (d+2a)/R=l.l 그리고 “, “2=1/3인 경우에 대하여 균열선단 A, B에서의 규준화된 mode I 응력확대계수를 구하여 Erdogan과 G叩ta‘勺의 해석해와 비교 검토해 보았다. 여기서, 규준화된 응력확대계수는 균열선단(A, B)에서 얻어진 K] 값을 ffx 'Tita 으로 나눈 값(correction factor)을 의미한다.
유한요소법 해석에는 2072개의 8-절점 사각형 및 6-절점 삼각형 요소가 사용되었으며, 대칭축을 중심으로 하여 한 쪽 부분만을 모델링 하였다. 유한요소법 모델의 폭과 길이는 각각 함유체와 균열 사이의 가장 먼 거리 (2a+d+2R)의 7배와 5배로 정하였다. 또한, 정확한 응력확대계수를 구하기 위하여 균열선단 주위에는 균열선단요소(crack tip element)들을 이용하였으며, 균열선단요소에 속하는 절점들의 균열개구변위 값들을 사용하여 응력확대계수를 산정하였다。)
3에 있는, 등방성 또는 이방성 함유체와 균열이 등방성 기지에 포함되어있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우에, 균열선단에서의 응력확대계수를 결정하는 평면변형률 문제를, 함유체 및 균열 모두에 체적 적분방정식법을 적용하여, 고찰해 보았다. 이번에는, 직교 이방성 함유체에 대하여는 체적 적분방정식법을 적용하고, 균열에 대하여는 경계 요소 법을 적용하는 혼합 체적-경계 적분방정식법에 대하여 고찰해본다. 체적 적분방정식법과 혼합 체적-경계 적분방정식법의 근본적인 차이는 균열 부분을 해석할 때, 체적 적분방정식을 적용하느냐 아니면 경계 적분방정식을 적용하느냐에 달려있다.
7은 혼합 체적-경계 적분방정식법에 사용되어진 대표적인 분할된 모델의 예이다. 직교 이방성 함유체는 256개의 표준의 8-절점 사각형 및 6-절점 삼각형 유한요소를 사용하여 분할하였고, 균열의 경계면은 184개의 2차 경계요소를 사용하여 분할하였다.
Table 4에 나타나 있다. 직교 이방성 함유체의 cu 이 등방성 기지의 Cm보다 작은 경우(Orth。 #1)와 큰 경우(Ortho #2)를 고려해 보았다. 또한, 함유체와 균열 사이의 거리(d)를 변화시켜 가면서, 응력확대계수에 미치는 영향을 조사하여 보았다.
체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 해석결과를 검증하기 위하여, 상업용 코드인 ANSYS<”)를 이용하여 유한요소법해석을 수행하였으며, d/R = 0.1, (d+2a)/R = 1.1 그리고 Ortho #1 함유체에 대하여 균열선단 A, B 에서의 규준화된 mode I 응력확대계수를 구하여보았다. 여기서, 규준화된 응력확대계수는 균열 선단(A, B)에서 얻어진 Ki값을 犬丁荣a으로 나눈 값을 의미한다.

대상 데이터

6은 PATRAN則을 사용해서 만든 대표적인 분할된 균열 모델의 1/4을 보여준다. 46개의 표준의2차 경계요소가 사용되었다. Fig.
4는 PATRAN。')을 사용해서 만든 대표적인 분할된 균열 모델의 1/4을 보여준다. 48개의 표준의 8-절점 사각형 및 6-절점 삼각형 유한요소가 사용되었다. Fig.
여기서, 규준화된 응력확대계수는 균열 선단(A, B)에서 얻어진 Ki값을 犬丁荣a으로 나눈 값을 의미한다. 유한요소법 해석에는 2072개의 8-절점 사각형 및 6-절점 삼각형 요소가 사용되었으며, 대칭축을 중심으로 하여 한 쪽 부분만을 모델링 하였다. 유한요소법 모델의 폭과 길이는 각각 함유체와 균열 사이의 가장 먼 거리 (2a+d+2R)의 7배와 5배로 정하였다.
5는 체적 적분방정식법에 사용된 대표적인 분할된 모델의 예이다. 표준의 8-절점 사각형 및 6■■절점 삼각형 유한요소가 사용되었으며, 함유 체에 사용된 요소의 수는 144개이며, 균열에 사용된 요소의 수는 192개이다.

데이터처리

체적 적분방정식법에서는 균열선단에서 매우 가까운 요소 [A](Fig. 4(a))의 세 절점에서의 변위에 대한 수치해석 결과를 이용하여 응력확대계수를 구하고, 그 값들을 평균함으로써 응력확대계수를 결정하였다.(2,

성능/효과

체적.경계 적분방정식법이 다수의 이방 성함 유체 및 다수의 균열을 포함하는 등방성 무한고체가 무한하중을 받을 때 균열선단에서의 응력확대계수의 계산을 효과적으로 수행할 수 있는 수치해석 방법임을 알 수 있었다.
균열 모델에사용된 타원의 가로와 세로의 H](aspect ratio)를결정하기 위하여, 그 값을 여러 가지로 변화시켜가면서 균열선단에서 계산된 균열개구변위(crack opening displacement) 를 이용한 응력확대계수를구하여 해석적 해와 비교 검토해 보았다. 그 결과, 타원의 가로와 세로의 비를 40 이상으로 하면 아주 정확한 응력확대계수가 얻어짐을 알 수 있었다.岡
45%로 나타났다. 그러 므로, 체 적 적 분방정 식법및 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 해석 결과가 정확함을 알 수 있었다.
따라서, 혼합 체적-경계 적분방정식법이 체적 적분방정식법보다 더 효율적인 수치해석 방법이라고 사료된다.
서로 인접한 단일의 등방성 함유체 또는 단일의 직교 이방성 함유체와 단일의 균열이 포함된 등방성 무한기지가 균일한 무한하중을 받을 때, 균열선단에서의 mode I 응력확대계수에 대한 해석을 체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법 이라는 새로운 수치해석 방법으로 수행하였으며, 얻어진 결과가 Erdogan과 Gupta의 해석해 또는 유한요소법에 의한 해와 비교해 보았을 때 정확함을 알 수 있었다.
이방성 함유체와 균열을 포함하는 등방성 무한기지에서 균열에 대한 응력확대계수를 결정할 때 체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법과 경계요소법을 적용한 해석을 비교해 보면, 경계요소법에서는 반드시 이방성 함유 체에 대한 Green 함수가 정의되어야 하는 반면에, 체적 적분방정식법 및 혼합 체적-경계 적분방정식법에서는 이방성 함유체에 대한 Green 함수는 필요하지 않고 등방성 기지에 대한 Green 함수만이 해석에 필요하다는 장점이 있다.
앞에서와 마찬가지로, 함유체와 균열 사이의 거리(d)를 변화 시켜 가면서, 응력확대계수를 구하여 보았다. 직교 이방성 함유체의 C₂₂ 가 등방성 기지의 C₂₂ 보다 커 져 도, 직 교 이 방성 함유체의 Cu 이 등방성 기지 의 Cu 보다 작은 경 우는, 함유체와 가까운 균열 선단에서의 응력확대계수가 균열만 존재할 때의 응력확대계수보다 증가하였으며, 직교 이방 성함 유체의 Cn이 등방성 기지의 C”보다 큰 경우는, 함유체와 가까운 균열 선단에서의 응력확대계수가 균열만 존재할 때의 응력확대계수보다 감소하였다. 지면 부족으로 인하여, 이와 관련된 자세한 내용은 생략하였으나, 직교 이방성 함유 체를 포함한 무한고체에서의 응력해석 결과에서도 동일한 현상을 확인할 수 있었다.
체적 적분방정식법과 혼합 체 적-경 계 적분방정식법을 이용한 해석을 비교해 보면, 체적 적분방정식법에서는 균열 내부 전부를 표준의 유한요소를 사용하여 요소분할해야 하지만, 혼합 체적-경계 적분방정식법에서는 균열 면만을 표준의 경계요소를 사용하여 요소분할하므로, 분할요소의 수를 줄일 수 있다는 장점이 있다.
체적 적분방정식법과 혼합 체적■경계 적분방정식법을 이용한 해석을 비교해 보면, 체적 적분방정식법에서는 균열 내부 전부를 표준의 유한요소를 사용하여 요소분할해야 하지만, 혼합 체적-경계 적분방정식법에서는 균열 면만을 표준의 경계요소를 사용하여 요소분할하므로, 분할요소의 수를 줄일 수 있다는 장점이 있었다.
160이었다. 체적 적분방정식법에 의한 A 선단에서의 오차(절대값)는 0.34%이고, B선단에서의 오차(절대값)는 0.86%로 나타났으며, 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 A선단에서의 오차(절대값)는 1.41%이고, B 선단에서의 오차(절대값)는 1.45%로 나타났다. 그러 므로, 체 적 적 분방정 식법및 혼합 체적-경계 적분방정식법에 의한 해석 결과가 정확함을 알 수 있었다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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