[논문]상태변수와 입력변수에 시간지연을 갖는 불확정 동적 시스템의 제어기 설계

조현주; 박주현

[국내논문] 상태변수와 입력변수에 시간지연을 갖는 불확정 동적 시스템의 제어기 설계
Delay-Dependent Stabilization for Uncertain Dynamic Systems with State and Input Delays 원문보기

전기학회논문지. The transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers. D / D, 시스템 및 제어부문, v.54 no.4, 2005년, pp.215 - 219

조현주 (영남대학교 전기공학과) , 박주현 (영남대학교 전기공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

This paper aims at asymptotic stabilization for uncertain dynamic systems with state and input delays. We propose a memoryless state feedback controller which maximizes the delay bound for guaranteeing stability of the system. Using Lyapunov method and linear matrix inequality (LMI) approach, a delay-dependent stabilization criterion is devised by taking the relationship between the terms in the Leibniz-Newton formula into account. The criterion is represented in terms of LMIs, which can be solved by various efficient convex optimization algorithms. Numerical examples are given to illustrate our main method.

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 Wu [4]가 제안한 보조 정리를 이용하여 시간지연과 불확정성을 가지면서 입력에 시간 지연이 추가된 시스템의 점근 안정화를 위한 제어기 설계 방법을 제시한다. [3] , [5], [7]-[9]와 마찬가지로 시스템의 안정성 확보의 관점에서 제어기를 설계한다.
본 논문에서는 [3], [5], [7]-[9]에서와 같이 시스템 안정성 확보를 위한 제어기 설계 방법을 제시하였다. 서론에서 언급되었듯이, 또 다른 제어 문제 중 하나는 제어기 설계시 적절한 성능을 보장하는 것이다.
본 논문에서는 상태 변수와 입력 변수에 시간 지연과 불확정성을 가지는 동적시스템에서 시간 지연의 최대허용 범위 내에서 점근 안정성을 보장하는 제어기를 설계하였다. 본 연구에서는 리아프노프 방정식을 이용하여 제어기 설계를 제안하였다.
여기서 KER 는 조절상 수행렬이고 시간 지연 d 와 h 의 최대 허용 범위와 그때의 K 구하는 것이 이 논문의 목적이다. 다음의 보조정리는 본 논문에서 제안하는 정리를 증명할 때 사용된다.
첫째로, 제어기를 가지지 않는 시간 지연 시스템의 안정성을 판별하는 것인데 이는 보통 시간 지연의 최대 허용 범위로 시스템의 강인 안정성 (robust stability)을 판별한다 [2], [4], [7], [8].이에 대한 확장으로 제어기를 가지는 시간 지연을 가지는 시스템의 안정화를 판별하는 것이다. 전자와 마찬가지로 시간 지연의 최대 허용 범위로 판별하는 것이 일반적이다 [3], [5], [7]니 91.

제안 방법

본 논문에서는 상태 변수와 입력 변수에 시간 지연과 불확정성을 가지는 동적시스템에서 시간 지연의 최대허용 범위 내에서 점근 안정성을 보장하는 제어기를 설계하였다. 본 연구에서는 리아프노프 방정식을 이용하여 제어기 설계를 제안하였다. 이때 시간 지연의 최대허용 범위는 블록 최적화가 가능한 선형 행렬 부둥식으로 표현되어 모든 해를 동시에 구할 수 있다.
시스템 A의 점근안정성을 보장할 수 있도록 다음의 비메모리 궤환제어기를 설계하고자 한다.
[3] , [5], [7]-[9]와 마찬가지로 시스템의 안정성 확보의 관점에서 제어기를 설계한다. 즉시스템의 안정도 확보를 위해, 시간지연의 허용 한계치를 최대화하는 비메모리 궤환제어기 (memoryless state feedback controller)를 제안한다. 시스템의 안정화 판별은 리아프노프 이론과 선형 행렬 부 등식 이론을 적용하여 시스템의 강인 안정성을 보장하는 충분조건을 선형 행렬 부 등식으로 표시한다.

이론/모형

그래서 시간 지연이나 불확정성을 가진 시스템의 점근 안정도와 안정화(asymptotic stability and stabilization)에 대한 연구는 지난 수십 년 동안 계속 되어 왔다[2]-[13]. 문헌에 따르면 시스템의 안정도 문제를 해결하기 위해 리아프노프 이론(Lyapunov methocD이나 특정 방정식 방법 (characteristic equation method), 상태 방정식의 해 (state solution approach)를 이용하였다. 특히 최근에는 블록 최적화 알고리즘(convex optimization algorithm)을 가지는 선형 행렬 부둥식(Linear Matrix Inequality, LMI)를 이용하는 방식이 널리 이용되고 있다 [2]-[12].
정리1에서의 선형 행렬 부등식은 최근에 개발된 여러 최적화 알고리즘으로 쉽게 구할 수 있다. 본 논문에서는 Matlab의 LMI Control Toolbox를 이용한다.
시스템 A 에 대한 점근 안정성을 위한 조건을 리아프노프 방정식과 선형 행렬 부등식을 이용하여 다음의 정리와 같이 제시한다.
즉시스템의 안정도 확보를 위해, 시간지연의 허용 한계치를 최대화하는 비메모리 궤환제어기 (memoryless state feedback controller)를 제안한다. 시스템의 안정화 판별은 리아프노프 이론과 선형 행렬 부 등식 이론을 적용하여 시스템의 강인 안정성을 보장하는 충분조건을 선형 행렬 부 등식으로 표시한다. 이부등식을 만족하는 해가 제어기 변수가 되며 이해는 최근에 개발된 우수한 성능의 여러 최적화 알고리즘을 이용하여 쉽게 찾을 수 있다 [10].

성능/효과

이때 시간 지연의 최대허용 범위는 블록 최적화가 가능한 선형 행렬 부둥식으로 표현되어 모든 해를 동시에 구할 수 있다. 또한 제시된 결과는 수치 예제를 통해 기존의 결과보다 향상되었음을 보여준다.

후속연구

시간 지 연 혹은 불확정 동적 시스템에 대하여 폐루프 시스템이 정규적이고 임펄스프리이면서 점 근적 안정성을 만족하는 u=(t) 폐루프 시스템의 보장비 용 상한치인 J* MJ 가 존재하 면, J 를 가리켜 보장비용이라 하고 u*(t) 를 보장비용 제어기라 한다 [15]-[17]. 추후에 본 논문의 연구 결과를 바탕으로 시스템의 성능 보장을 고려한 보장비용 제어로 확장하려 한다.
향후 본 논문의 연구결과를 바탕으로 참고 2에서 언급한 보장 비용 제어 문제, 포화 구동기(saturating actuator)를 가지는 시스템의 안정화 문제 등으로 확장하고자 한다.

참고문헌 (17)

J. Hale and S.M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1993
P. Park, 'A delay-dependent stability criterion for systems with uncertain time-invariant delays,' IEEE Translations on Automatic Control, Vol. 44. pp. 876-877, April 1999

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Y. S. Moon, P. Park, W. H. Kwon, and Y. S. Lee, 'Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems', International Journal of Control, Vol. 74, pp. 1447-1455, 2001

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M. Wu, Y. He, J. -H She, and G. -P Liu, 'Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems', Automatica, Vol. 40, pp. 1435-1439, 2004

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D. Yue, 'Robust stabilization of uncertain systems with unknown input delay', Automatica, Vol. 40. pp. 331-336, 2004

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L. Xie, 'Output feedback $H_{\infty}$ control of systems with parameter uncertainty', International Journal of Control, Vol. 63, pp.1656-1659, 1996
X. Li and C. de Souza, 'Criteria for robust stability and stabilization of uncertain linear systems with state delay,' Automatica, Vol. 22, pp. 1657-1662, 1997

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X. Li and C. de Souza, 'Delay-dependent robust stability and stabilization of uncertain linear delay systems: A linear matrix inequality approach', IEEE Translations on Automatic control. Vol. 42, pp. 1144-1148, 1997

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E. Fridman and U. Shaked, 'An improved stabilization method for linear time-delay systems', IEEE Translations on Automatic Control, Vol. 47, pp. 1931-1937, 2002

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S. Boyd, L. E. Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Philadelphia, PA:SIAM, 1994
V. Kapila and W. M. Haddad, 'Memoryless $H_{\infty}$ controllers for discrete time systems with time delay', Automatica, Vol. 35, pp.1443-1451, 1998

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M. Zribi and M. S. Mahmoud, ' $H_{\infty}$ -control design for systems with multiple delay', Computers and Electrical Engineering, Vol. 25, pp. 451-475, 1999

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P. -L. Liu and I.-J. Su, 'Stability for single and large-scale uncertain systems with time-varying delays', IEE Proceeding Control Theory Application, Vol. 146, pp. 591-597, 1999

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S. S. L. Chang, T. K. C. Peng, Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters, IEEE translation on Automatic Control, AC-17 pp. 474-483, 1972

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I. R. Petersen, Optimal guaranteed cost control and filtering for uncertain linear systems, IEEE translation on Automatic Control, AC-37 pp. 1971-1977, 1994

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L. Yu, J. Chu, An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems, Automatica, vol. 35, pp. 1155-1159, 1999

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Esfahani S. H. Petersen I. R. An LMI approach to output-feedback-guaranteed cost control for uncertain time-delay systems, International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 10, pp. 157-174, 2000

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