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문제 정의
- Viete가 정의한 직각삼각형의 연산이 복소수의 기하학적 해석에 주는 교육적 시사점을 논의하겠다. 역사적으로 복소수는 3차방정식 근의 공식에서 즉, 대수적 풀이법에 대한 일반적인 타당성을 확립하려는 필요로부터 그 존재가 드러났다.
- 강현영, 이동환(2007)은 Viete의 직각삼각형에 대한 연산이 복소수의 곱셈 및 나눗셈 연산과 일치한다는 사실을 밝혔고 본 절에서는 이에 착안하여 기하학적 측면에서 복소수의 지도 가능성을 논의하겠다. 우선 기존의 복소수 지도가 간과한 측면과 그에 따른 지도의 어려움을 논의하고, 본 논문의 제안이 그 어려움을 극복할 수 있음을 보이고자 한다.
- 따라서 복소수의 기하학적 해석은, 점의 표현이라는 정적인 측면 보다는 닮음변환인 평행이동과 확대회전의 역동적인 측면을 드러내는데 초점을 맞춰야 한다. 따라서 본 논문에서는 Diophantus의 항등식에서 시작하여 직각삼각형의 밑각과 빗변을 고려했을 때, 이러한 복소수의 연산이 지니는 역동적인 기하학적 의미가 분명하게 드러남을 밝혔다. 또한 Viete의 연산은 음수의 제곱근이라는 상상하기 어려운 수를 가정하지 않은 채, 새로운 연산규칙의 의미를 기하학적 맥락에서 생각해 볼 수 있는 기회가 되었다.
- 따라서 유클리드 기하학은 닮음(거리의 비를 보존) 군 아래에서 불변인 도형의 성질을 연구하는 것이다. 그런데 각의 방향도 보존하는 닮음은 확대회전이거나 평행이동이다.
- 그러나 약간의 수정만 가하면 동일한 증명을 할 수 있다. 밑변의 길이가 1이 아닌 두 직각삼각형의 경우를 살펴보자.
- 분석한다. 복소수 대수와 기하학의 표면적인 대응을 넘어서는 이러한 본질적인 관계를 학교 수학에 접목하기 위한 방법을 찾고자 역사적 분석을 하였다. 그 결과 복소수가 등장하기 전인, 17세기의 수학자 Viete의 직각삼각형에 대한 대수적 연산에서 복소수 대수와 관련된 측면을 발견하였다.
- 본 논문은 복소수가 평면 위의 점과의 일대일 대응한다는 표면적인 사실에 만족하지 않고, 복소수의 연산이 평면 기하학의 닮음변환과 맺고 있는 본질적인 관계를 살펴보고, 복소수가 보여주는 대수와 기하학의 관계를 수학적으로 분석한다. 복소수 대수와 기하학의 표면적인 대응을 넘어서는 이러한 본질적인 관계를 학교 수학에 접목하기 위한 방법을 찾고자 역사적 분석을 하였다.
- 필수적이다. 본 논문은 수학적 분석을 통해 대수와 기하의 본질적인 관계를 밝혀주는 복소수의 특성을 살펴보고, 그 결과 복소수의기하학적 해석의 필연성을 찾을 수 있었다. 그리고 역사적 분석의 결과 Viete의 직각삼각형에 대한 연산이 학교수학 수준에서 충분히 도입할 수 있는 소재라고 판단하였다.
- 강현영, 이동환(2007)은 Viete의 직각삼각형에 대한 연산이 복소수의 곱셈 및 나눗셈 연산과 일치한다는 사실을 밝혔고 본 절에서는 이에 착안하여 기하학적 측면에서 복소수의 지도 가능성을 논의하겠다. 우선 기존의 복소수 지도가 간과한 측면과 그에 따른 지도의 어려움을 논의하고, 본 논문의 제안이 그 어려움을 극복할 수 있음을 보이고자 한다.
- 맞닿아 있기 때문이다. 유클리드 평면기하를 신중하게 재검토하면서, 복소수가 매우 자연스럽게 그리고 불가피하게 기하학과 관련되는 이유를 밝혀보겠다.
- 그 결과 복소수가 등장하기 전인, 17세기의 수학자 Viete의 직각삼각형에 대한 대수적 연산에서 복소수 대수와 관련된 측면을 발견하였다. 이러한 분석을 바탕으로, 학교수학에서 복소수의 기하학적 해석의 지도 가능성과 그 의미를 논의하고자 한다.
가설 설정
- 그러면, 어떻게 두 도형이 합동인지를 말할 수 있는가? 공간에서 도형를 움직여서 F, 에 일치시킬 수 있는 이동(motion)이 존재하면, F는 F, 와 합동이다. 이동할 때, 도형이 단단하게 유지되어야 한다는 (암묵적인)아이디어를 가정하고 있다. 점 사이의 거리가 이동 중에도 변하지 않아야 한다.
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