[논문]인지과학의 수학적 기틀

현우식

인지과학의 수학적 기틀
The Mathematical Foundations of Cognitive Science 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.22 no.3, 2009년, pp.31 - 44

현우식 (호서대학교 인문대학)

초록
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현재 융합과학의 모델로 주목받고 있는 인지과학을 이해하기 위해서는 세 가지의 중대한 수학적 업적을 살펴볼 필요가 있다. 본 논문에서는 이 세 가지의 역사적 업적에 해당하는 튜링기계, 신경망, 괴델의 불완전성 정리를 중심으로 인지과학의 수학적 기틀을 연구한다. 먼저, 메타수학으로서의 인지과학을 고찰한다. 다음으로 컴퓨터의 수학적 모델로서 튜링기계와 그 발전을 탐구하고, 뇌의 수학적 모델로서 신경망과 그 발전을 탐구하고자 한다. 마지막으로는 인지과학의 미래를 위한 괴델의 불완전성 정리의 함의를 논의하고 양자인지과학을 전망한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Anyone wishing to understand cognitive science, a converging science, need to become familiar with three major mathematical landmarks: Turing machines, Neural networks, and $G\ddot{o}del's$ incompleteness theorems. The present paper aims to explore the mathematical foundations of cognitive science, focusing especially on these historical landmarks. We begin by considering cognitive science as a metamathematics. The following parts addresses two mathematical models for cognitive systems; Turing machines as the computer system and Neural networks as the brain system. The last part investigates $G\ddot{o}del's$ achievements in cognitive science and its implications for the future of cognitive science.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

여기에서 수학적 모델은 현실세계(real world)가 아니라, 형식세계(formal world) 또는 추상적 세계(abstract world)에 속하는 대상이다. 그러므로 현실세계의 뇌를 형식세계의 수학적 모델과 대응시켜 다루는 것, 또는 현실세계의 컴퓨터를 형식세계의 계산 기계와 대응시켜 다루는 것이 인지과학에서의 수학적 해석(interpretation)이자 검증작업이다.
그런데 인지과학의 역사를 살펴보면, 어떤 인지과학자도 수학자와 수학의 공헌으로부터 자유로울 수 없다는 진실을 알 수 있게 된다([16][18][19][23][26][27][28][29]). 본 소고에서는 인지과학의 생성과 발전 과정을 분석하여 수학으로부터 유래된 기본적 틀을 밝히고, 수학에 의해서 남겨진 과제를 고찰하고 전망하고자 한다.
인지과학 내에서 연결주의 접근은 뇌를 통하여 마음을 이해하려는 과학적 연구들을 묶어서 표현한 것이다. 이 접근에서는 뇌의 구조와 계산방식에 의해 인지시스템을 규명하고자 한다. 연결주의에 의하면 인지시스템은 뉴론과 같은 단위들의 연결망과 병렬 분산적 동시처리 방식에 의해 설명될 수 있다([17]).
수학자들은 기호주의적 접근에서의 핵심적인 모델이 되었던 튜링기계의 수학적 모델을 제공하였고, 연결주의적 접근에서의 핵심적인 모델이 되었던 신경망의 수학적 모델을 제공하여, 인지과학의 이론적 축을 이루는 데 결정적인 공헌을 하였다. 지금까지 해결되지 못한 인지과학의 가장 근본적 과제와 관련하여, 괴델과 그의 공헌이 인지과학 내에서 갖는 의미를 집중적으로 조명해 보았다. 이 논문에서 언급한 수학자들 외에도 인지과학의 역사에서는 많은 수학자들이 등장하고 그들의 훌륭한 공헌들이 있었고 지금도 진행 중이라는 점도 역설하고 싶다.

가설 설정

이러한 기대는 ‘물리적 기호 시스템 가설(physical symbol system hypothesis)’에 잘 반영되어 있다. 이 가설은 기호주의적 접근의 기본적인 전제에 해당하며, 그 내용은 물리적 기호 시스템에는 일반적인 지능 행위를 위한 필요충분조건을 만족하는 수단이 있다는 것이다([18]). 즉 이 가설에 따르면 인간의 인지행위는 튜링기계의 처리과정을 물리적으로 구현한 것과 동등하다.

제안 방법

Frege, Begriffsshrift, a formal language, modeled upon that of arithemtic, for pure thought, 1879)는 논리의 수학화 보다는 수학의 논리화를 지향했다. 개념을 명료하게 표기하고자 기호를 사용하여 새로운 논리시스템을 제안했다. 그의 공헌으로 논리학은 (1)명제함수(propositional function)와 (2)양화(quantification)를 갖춘 술어논리학(predicate logic)으로 발돋움하여 명제논리 시대를 마감하고 술어논리 시대를 열게 되었다.
역사적으로 수학은 인간의 인지적 활동이 개념화되고 형식화되는 과정이었다면, 새로운 학문으로 등장한 인지과학은 개념화되고 형식화되었던 인지적 과정들이 다른 차원에서 개념화되고 형식화되는 메타과정이다. 지금까지 인지과학의 수학적 성격을 조명하고, 인지과학의 형성과 발전과정에 있었던 수학의 공헌을 살펴보았다. 수학은 형식시스템을 통하여 인지과학의 이론적 기반을 제공했고, 다양한 학문의 소통을 가능하게 해주는 언어의 기능을 수행함으로써 융합적인 인지과학의 형성과 발전을 가능하게 하였다.
튜링은 계산하는 인간에 대한 수학적 모델링을 시도하였고 그때 ‘계산하는 인간’을 ‘컴퓨터(computer)’라고 명명했다.

이론/모형

이것은 뇌에 대한 연구의 역사에서도 획기적인 사건이었다. 이 논문에서 뉴론(neurons)의 수학적 모델로 임계논리단위(threshold logic unit)가 제공되었다. 그들의 연구는 튜링의 연구결과에 자극을 받아 이루어진 것이었으며, 화이트헤드(A.
프레게는 명제함수 즉 술어와 칸토르의 집합 개념을 통하여 모든 수학적 내용을 논리학으로 환원할 수 있다고 생각하였다. 이러한 구상은 러셀과 화이트헤드(Principia Mathematica, 1910-1913)에 의해 계승되었다.

성능/효과

” 명제(A)와 명제(B)는 서로 배타적이지 않으며, 논리합(C)에서 양립가능하다. 논리합(C)의 양립가능성은 괴델의 불완전성 정리 이후 수학자와 튜링기계의 동등성에 관한 괴델 자신의 결론이었다. 그러므로 괴델은 어느 편의 손도 들어주지 않은 셈이다([31]).
정보이론에서의 괴델 정리는 정지확률 Ω가 정수에 대하여 계속 복잡성의 새로운 성질, 즉 무작위성(randomness)을 보여준다는 것을 보여 준다.

후속연구

가령, 뇌와 같은 인지시스템을 양자논리시스템으로 본다면, 인지(cognition)는 수학적으로 유한 차원의 힐베르트 공간을 가진 양자시스템의 양자계산의 방식으로 새로이 해석될 수 있다. 인지시스템을 양자적 관점에서 이해하는 접근, 즉 양자인지과학(quantum cognitive science)이 성립된다면([12][22]), 기존의 기호주의적 접근과 연결주의적 접근이 보였던 계산이론의 한계를 넘어서 새로운 수준의 창의적 융합을 보여주는 인지이론을 제공할 수 있을 것으로 전망된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	인지과학이란?	인지과학(cognitive science)은 20세기 중반에서 후반 사이에 성립된 신생학문으로, 과학적 지식의 창의적 융합을 추구하며 인지시스템을 연구하는 학문이다([25]). 그런데 인지과학의 역사를 살펴보면, 어떤 인지과학자도 수학자와 수학의 공헌으로부터 자유로울 수 없다는 진실을 알 수 있게 된다([16][18][19][23][26][27][28][29]).
	인지과학의 핵심 개념에 가장 영향력이 있고 표준적인 정의인 표상과 처리를 소개하라.	표상(representation). 표상은 어떤 정보의 타입과 실체를 명시화해주는 형식체계(a formal system)로 정의된다. 처리(process). 처리는 한 형식체계로부터 다른 형식체계로의 함수(a mapping)로 정의된다.
	현재의 과학이 현실세계(real world)에서 다룰 수 있는 인지시스템은 무엇인가?	현재의 과학이 현실세계(real world)에서 다룰 수 있는 인지시스템은 (1)계산하는 기계(Computers), (2)뇌(Brain), 그리고 (3)인간의 마음(Mind) 세 가지이다. 인지과학은 컴퓨터와 뇌와 마음을 융합적으로 다루는 학문이며, 그 연구의 결과는 전체 과학에서 수렴가능하다는 비전을 전제하고 있다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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