[논문]로지스틱모형에서 그래픽을 이용한 회귀와 모형평가

강명욱; 김부용; 홍주희

로지스틱모형에서 그래픽을 이용한 회귀와 모형평가
Graphical regression and model assessment in logistic model 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.21 no.1, 2010년, pp.21 - 32

강명욱 (숙명여자대학교 통계학과) , 김부용 (숙명여자대학교 통계학과) , 홍주희 (숙명여자대학교 통계학과)

초록
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그래픽적 회귀는 모형에 대한 가정을 하지 않고 회귀정보를 모두 포함하는 충분요약그림을 찾아내는 분석 방법으로 모든 회귀정보를 저차원의 그림으로 표현할 수 있게 하는 데에 그 목적이 있다. 잔차산점도를 이용한 모형의 평가는 적용 범위가 선형회귀모형에 국한되는 문제점이 있기 때문에 일반화선형모형에서는 그 대안으로 주변모형 산점도를 이용하여 모형의 적절성을 평가한다. 본 논문에서는 일반화선형모형 중에서 이진반응변수를 갖는 로지스틱모형에서의 그래픽적 회귀 방법과 주변모형 산점도를 이용한 모형평가 방법을 알아본다.

Abstract ▼ AI-Helper

Graphical regression is a paradigm for obtaining regression information using plots without model assumptions. The general goal of this approach is to find lowdimensional sufficient summary plots without loss of important information. Model assessments using residual plots are less likely to be successful in models that are not linear. As an alternative approach, marginal model plots provide a general graphical method for assessing the model. We apply the methods of graphical regression and model assessment using marginal model plots to the logistic regression model.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

반응변수가 이진변수인 경우에도 선형회귀모형에서와 같이 그래픽적인 회귀가 가능하지만 반응변수의 특성상 선형회귀모형에 적용했던 방법과는 다른 방법으로 접근하여야 한다. Weisberg (2005)에 소개된 사과나무 자료를 로지스틱모형인 경우의 그래픽적 회귀를 적용하고 모형의 적절성을 평가하고자 한다.
본 연구에서는 일반화선형모형 중에서 특히 이진반응변수를 가진 로지스틱모형에서의 Cook과 Weisberg (1999)이 제안한 그래픽적 회귀에 대한 방법을 확장하여 제시하고 로지스틱모형의 적절성을 평가하는 방법 중에서 그래픽적인 방법으로 주변모형 산점도를 이용한 모형평가 방법을 제시하고자 한다.

가설 설정

반응변수 y와 선형의 관계에 있는 p개의 설명변수 x = (x1, · · · , xp)T를 갖는 회귀를 가정하자.

제안 방법

4와 같고 설명변수들 간의 관계가 선형에서 크게 벗어나지 않는다고 볼 수 있다. 따라서 4개의 변수를 선형의 관계에 있는 설명변수로 보고 그래픽적 회귀를 수행한다.
2에서와 같이 log(m)과 log(stdev)는 등분산의 정규분포로 볼 수 있다. 따라서 4개의 설명변수 len, day, log(m), log(stdev)를 포함하는 로지스틱회귀를 실시해 본다. 적합시킨 결과 설명변수 log(m)와 log(stdev)는 유의하지 않은 것으로 판단되어 이들을 제외한 2개의 설명변수만을 포함하는 다음의 모형을 고려하기로 한다.
이는 각각의 변수들의 적절성을 설명하여 변수변환이나 다른 처방을 요구하는 근거를 제시한다 (Cook과 Weisberg, 1997). 또한 본 논문에서는 그래픽적 회귀에 의해 제공되는 선형결합에 대한 a의 선택을 고려해본다.
본 논문에서는 그래픽적 회귀방법을 로지스틱회귀모형에 확장하여 적용해 보았다. 또한 잔차산점도를 이용한 모형의 평가는 적용 범위가 선형회귀모형에 국한되는 문제점이 있기 때문에 그 대안으로 주변모형 산점도를 이용하여 모형의 적절성을 평가해 보았다.
모형의 평가는 Azzalini와 Bowman (1993)에 의해 제안된 검정법을 사용하는 수치적인 방법과 자료의 범위에서 두 개의 곡선을 비교하는 시각적인 방법이 있으나 본 논문에서는 시각적인 방법에 대해서만 언급하겠다. 구체적인 모형 가정 하에서의 조건부 누적밀도함수 M(y|β, x)을 추론할 때 모수 대신 추정값을 대입하는 것은 대표본에서는 크게 문제되지 않기 때문에 모수 β대신 모형하에서의 일치추정값 #을 사용하고 표기의 편리를 위해서 #을 M(y|x)로 표현한다.
그래픽적 회귀는 모형에 대한 가정을 하지 않고 회귀정보를 모두 포함하는 충분요약그림을 찾아내는 분석 방법으로 모든 회귀정보를 저차원의 그림으로 표현할 수 있게 하는 데에 그 목적이 있다. 본 논문에서는 그래픽적 회귀방법을 로지스틱회귀모형에 확장하여 적용해 보았다. 또한 잔차산점도를 이용한 모형의 평가는 적용 범위가 선형회귀모형에 국한되는 문제점이 있기 때문에 그 대안으로 주변모형 산점도를 이용하여 모형의 적절성을 평가해 보았다.
이제 그래픽적 회귀를 통해 얻은 선형결합 gr4가 과연 회귀의 정보를 모두 포함하는지 평가하기 위해 주변모형 산점도를 이용하기로 한다. 위에서 얻은 gr4의 회귀계수를 a로 취하여 주변모형 산점도를 그리면 그림 5.
4절에서 설명할 반응변수가 0 또는 1인 이항회귀 (binomial regression)에서 잔차산점도는 모형의 적절성과는 관계없이 특정한 패턴을 갖게 된다. 잔차산점도를 이용하여 모형을 평가하는 방법의 적용 범위가 선형회귀모형에 국한되는 문제점이 있기 때문에 그 대안으로 주변모형 산점도를 이용하여 모형의 적절성을 평가한다.
주변모형 산점도의 기본 개념은 반응변수 y와 p개의 설명변수로 이루어진 벡터 x를 가진 회귀모형의 특성을 다음의 두 가지 관점에서 생각한 조건부 누적밀도함수를 이용하여 비교하는 것이다. 첫째, 자료 #가 독립적이고 같은 분포를 갖는다고 가정하고 모형에 대한 구체적인 가정 없이 오직 자료에서 얻어지는 미지의 누적밀도함수 F(y|x)를 추론한다.

이론/모형

그래프를 이용한 회귀분석은 Ezekiel (1924)에 의해 처음 시도되었고, Cook과 Weisberg (1982), Chambers 등 (1983), Atkinson (1985), Cleveland (1987)에의해회귀진단에사용되었다. 또한 Kahng (2005)에 의해 일반화선형모형에서 그래프를 이용한 분석이 시도되었다. Cook과 Weisberg (1994)가 그래픽적 회귀를 소개한 이후에 Cook (1998)은 이에 대한 수리적이고 정밀한 회귀분석 방법을 제시했다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	그래픽적 회귀란?	일반적으로 통계분석방법은 자료가 가지고 있는 정보를 하나의 숫자로 표현하는 요약통계량에 의존한다. 반면 그래픽적 회귀 (graphical regression)는 자료를 통해 얻을 수 있는 모든 정보를 분포에 대한 가정 없이 그림으로 나타내는 그래픽적인 접근이며 회귀정보 (regression information)를 모두 포함하는 충분요약그림 (sufficient summary plot)을 찾아내는 방법을 제시한다.
	그래픽적 회귀의 핵심은 무엇인가?	그러나 설명변수가 2보다 많은 p개인 경우, (p +1)차원의 산점도를 구현하기는 매우 힘들다. 그러므로 정보의 손실 없이 우리가 인지할 수 있는 2차원이나 3차원으로 차원을 축소하는 것이 그래픽적 회귀의 핵심이다.
	설명 변수가 하나인 단순회귀의 그래픽적 회귀에서 무엇이 충분 요약 그림이 되나?	설명변수가 하나인 단순회귀의 그래픽적인 분석은 반응변수를 수직축으로 하고 설명변수를 수평축으로 하는 2차원 산점도에 기초하고 있고 이 산점도가 곧 충분요약그림이 된다. 설명변수가 2개인 경우에는 반응변수를 수직축인 V축 (vertical-axis)으로 하고, 설명변수를 V축에 수직이며 서로 직각인 두 개의 축인 H축 (horizontal-axis)과 O축 (out-of-page axis)축으로 하는 3차원 산점도가 충분요약그림이 된다.

참고문헌 (17)

Atkinson, A. C. (1985). Plots, transformations, and regression, Oxford University Press, Oxford.
Azzalini, A. and Bowman, A. W. (1993). On the use of nonparametric regression for checking linear relationships. Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 55, 549-557.
Chambers, J. M., Cleveland, W. S., Kleiner, B. and Tukey, P. (1983). Graphical methods for data Analysis, Chapman and Hall, New York.
Cleveland, W. and Devlin, D. J. (1988). Locally weighted regression: An approach to regression analysis by local fitting. Journal of the American Statistical Association, 83, 596-610.

상세보기
Cleveland, W. S. (1987). Research in statistical graphics. Journal of the American Statistical Association, 82, 419-423.

상세보기
Cook, R. D. (1998). Regression graphics: Idea for studying regressions through graphics, John Wiley & Sons, New York.
Cook, R. D. and Weisberg, S. (1982). Residuals and influence in regression, Chapman and Hall, New York.
Cook, R. D. and Weisberg, S. (1994). An introduction to regression graphics, John Wiley & Sons, New York.
Cook, R. D. and Weisberg, S. (1997). Graphics for assessing the adequacy of regression models. Journal of the American Statistical Association, 92, 490-499.

상세보기
Cook, R. D. and Weisberg, S. (1999). Applied regression including computing and graphics, John Wiley & Sons, New York.
Ezekiel, M. (1924). A method for handling curvilinear correlation for any number of variables. Journal of the American Statistical Association, 19, 431-453.

상세보기
Kahng, M. (2005). Exploring interaction in generalized linear models. Journal of Korean Data & Information Science Society, 16, 13-18.
Kahng, M. and Kim, M. (2004). A score test for detection of outliers in generalized linear models. Journal of Korean Data & Information Science Society, 15, 129-139.
Lee, J. and Rhee, S. (2003). Logistic model for normality by neural networks. Journal of Korean Data & Information Science Society, 14, 119-129.
Seo, M. and Kim, J. (2006). Estimation of odds ratio in proportional odds model. Journal of Korean Data & Information Science Society, 17, 1067-1076.
Tierney, L. (1990). Lisp-Stat: An object-oriented environment for statistical computing and dynamic graphics, John Wiley & Sons, New York.
Weisberg, S. (2005). Applied linear regression, 3rd Ed., John Wiley & Sons, New York.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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