무작위성 개념에 대한 이해는 확률과 통계 영역의 교수와 학습에서 필수적인 것으로 다루어져왔다. 무작위성 개념은 자연현상, 사회현상을 수학적인 안목에서 이해하도록 하며, 합리적인 해석에 기초하여 이들 현상을 판단한다는 것이 무엇을 의미하는지 이해하는 토대가 된다. 본 연구에서는 예비교사들이 이와 같은 기회를 이해하고 다양한 문제 맥락에 포함되어 있는 무작위성 개념을 적절하게 이해하고 있는지 조사하였다. 연구결과 우연현상의 단순사건과 복합사건에 내재된 무작위성 개념은 쉽게 파악하는 반면, 측정과 관련된 맥락에서는 무작위성을 적절하게 인식하지 못하는 것으로 나타났다. 이는 측정상황의 본질인 변이성 개념의 인식이 부족함을 시사한다. 그러므로 예비교사를 대상으로 확률과 통계 관련 지도 관점을 다룰 때 측정상황을 도입할 필요가 있으며, 특히 변이성 개념에 비추어 이를 분석해야 한다는 점을 제안하였다.
무작위성 개념에 대한 이해는 확률과 통계 영역의 교수와 학습에서 필수적인 것으로 다루어져왔다. 무작위성 개념은 자연현상, 사회현상을 수학적인 안목에서 이해하도록 하며, 합리적인 해석에 기초하여 이들 현상을 판단한다는 것이 무엇을 의미하는지 이해하는 토대가 된다. 본 연구에서는 예비교사들이 이와 같은 기회를 이해하고 다양한 문제 맥락에 포함되어 있는 무작위성 개념을 적절하게 이해하고 있는지 조사하였다. 연구결과 우연현상의 단순사건과 복합사건에 내재된 무작위성 개념은 쉽게 파악하는 반면, 측정과 관련된 맥락에서는 무작위성을 적절하게 인식하지 못하는 것으로 나타났다. 이는 측정상황의 본질인 변이성 개념의 인식이 부족함을 시사한다. 그러므로 예비교사를 대상으로 확률과 통계 관련 지도 관점을 다룰 때 측정상황을 도입할 필요가 있으며, 특히 변이성 개념에 비추어 이를 분석해야 한다는 점을 제안하였다.
Understanding of randomness is essential for learning and teaching of probability and statistics. Understanding of randomness prompts to understand natural and social phenomena from the point of view of mathematics, and plays a role of base in understanding of judgments based on rational interpretat...
Understanding of randomness is essential for learning and teaching of probability and statistics. Understanding of randomness prompts to understand natural and social phenomena from the point of view of mathematics, and plays a role of base in understanding of judgments based on rational interpretation on these phenomena. This study examined whether pre-service teachers recognize this, and they understand randomness included in various contexts. According to results, they did not have a understanding of randomness in the context related to measuring, while they grasped randomness in simple and joint events. This implies that they lack the understanding of variability which is essential in the context of measuring. This study, therefore, suggests that the settings of measuring should be introduced into probability and statistics education, especially that data from measuring should be analyzed focusing on the variability in the data set.
Understanding of randomness is essential for learning and teaching of probability and statistics. Understanding of randomness prompts to understand natural and social phenomena from the point of view of mathematics, and plays a role of base in understanding of judgments based on rational interpretation on these phenomena. This study examined whether pre-service teachers recognize this, and they understand randomness included in various contexts. According to results, they did not have a understanding of randomness in the context related to measuring, while they grasped randomness in simple and joint events. This implies that they lack the understanding of variability which is essential in the context of measuring. This study, therefore, suggests that the settings of measuring should be introduced into probability and statistics education, especially that data from measuring should be analyzed focusing on the variability in the data set.
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문제 정의
Garfield와 Chance (2000)는 통계교육에서 유용하게 사용할 수 있는 다양한 평가방법을 소개하고 있는데, 그 중에서 간단하게 자신의 생각을 기술하거나 에세이를 쓰도록 하는 퀴즈 형식의 평가는 다양한 주제를 다룰 수 있으며, 또한 학생들이 이해하고 있는 것과 이해하지 못한 것을 파악할 수있는 방법에 해당된다. 본 연구에서는 예비교사들의 무작위성 개념에 대한 이해를 조사하기 위해 학생들이 자신의 생각을 기술하도록 하는 과제를 개발하였다([그림 Ⅲ-1] 참조). 연구에 참여한 57명의 학생을 대상으로 연구자가 개발한 과제를 해결하도록 하였으며, 해결하는데 소요된 시간은 약 20~30분으로 시간에 제한을 두지는 않았다.
본 연구의 목적은 예비교사들의 무작위성 개념에 대한 이해를 조사하는 것이다. 무작위성 개념의 역사적 발달에 대한 조사를 토대로 먼저 무작위성 개념이 단순사건 및 복합사건과 연결됨을 확인할 수 있었다.
, 1998), 전문가들 역시 무작위성에 대해 매우 다양한 시각을 가지고 있다(Bennett, 2004; Falk & Konold, 1997). 이하에서는 무작위성 개념이 역사적으로 어떠한 아이디어와 결합하면서 발달해 왔는지 살펴볼 것이며, 이를 통해 무작위성 개념의 의미가 어떻게 변화되어왔는지 파악한다.
가설 설정
게임의 우승자가 결정되기 전에 게임이 중단되었을 때 공평하게 상금을 분할하고자 하는 상황에서 파스칼과 페르마는 게임에 참여한 사람들의 우승 가능성을 양화하고자 하였는데, 이때 그들이 첫 번째 규준으로 삼았던 것 역시 모든 가능한 결과들의 확률이 동일하다는 가정이었다(Batanero et al., 2005). 이와 같이 등확률 상황은 무작위성의 전제조건으로 다루어졌다.
우연게임 외의 상황에서 무작위성 개념이 나타난 것은 천문학을 연구하는 과학자들에 의해서이다. 심프슨은 측정시에 나타나는 오차의 분포가 주사위 두 개를 동시에 던졌을 때 나타나는 눈의 수의 합의 분포와 비슷하다는 가정을 세웠다(Bennett, 2004). 즉 측정오차로 이루어진 자료집합을 주사위를 던졌을 때 나타나는 특징을 갖는 집합으로 간주하게 된 것이다.
그런데 동일한 측정을 반복하여 얻어진 오차들은 균일분포가 아니라 [그림 Ⅱ-2-b]~[그림 Ⅱ-2-d]와 같이 자료 값들이 중앙으로 모이는 분포를 갖게 된다. 심프슨은 특정한 크기의 오차가 발생할 확률은 오차 자체의 크기에 비례하며, 따라서 오차의 확률분포는 주사위 두 개를 던졌을 때 나타나는 확률분포와 비슷한 성질을 갖는다고 가정한 것이다. 이러한 가정으로부터 측정오차의 확률분포를 나타내는 그래프를 얻을 수 있었으며 해당 영역과 그래프로 둘러싸인 면적의 계산을 통해 어떤 특정 범위의 오차가 나올 확률을 구할 수 있었다(Bennett, 2004).
무작위성은 압도적인 복잡성을 다루려는 인간의 시도의 전부이며, 패턴을 볼 수 없는 변이성을 모델링하기 위해 인간이 발명한 추상적인 모델일 뿐이다. 우리는 다양한 모델을 통해 추정을 하는데, 자료가 그 모델에 따라 무작위적으로 생성되었다고 가정을 하고 모집단과 자료를 연결하기 위해 확률을 사용한다. 이것이 바로 확률과 통계의 핵심이다.
제안 방법
그리고 선행연구를 토대로 무작위성 개념 조사 과제를 개발하여 예비교사들의 무작위성 개념 이해를 조사하였는데, 특히 예비교사들이 문제 상황이 무작위성을 반영하는지 여부를 결정하는데 사용하는 판단의 근거를 조사하였으며 또한 우연현상이 아닌 측정상황으로 무작위성 개념을 확장하여 이해할 수 있는지 조사하였다. 조사결과 단순사건에서 86.
이때의 범주들은 기존의 틀을 사용한 것이 아니라 학생들의 반응을 토대로 귀납적인 과정으로 얻어진 결과들이다(Denzin & Lincoln, 1994; Goetz & LeCompte, 1984). 두 번째 단계에서는 첫 번째 단계에서 얻어진 범주들 사이에서 유사점이 발견되는 것을 다시 그룹화하여 새로운 범주화를 시도하였다. 예를 들면, <표 IV-1>의 ‘외부영향과 무관’이라는 범주는 분석의 첫 번째 단계에서 나타난 범주 ‘인위적 조건에 영향을 받지 않음’, ‘의도적이지 않음’, 그리고 ‘의지와 상관이 없음’을 그룹화하여 새롭게 범주화한 결과이다.
첫째, 무작위성 개념을 확률적 관점에서뿐만 아니라 통계적 관점까지 확장하여 살펴보는데, 특히 무작위성과 변이성의 관계에 대해 분석한다. 둘째, 확률과 통계 영역의 배경이 되는 무작위성 개념에 대한 예비교사들의 이해도를 조사한다. 이를 통해 예비교사교육에서 무작위성 개념을 어떻게 다루어야 할지에 대한 시사점을 도출한다.
반면 측정상황이 무작위 사건이 아니라고 결정하는데 있어 학생들은 매번 나오는 측정값의 확률이 서로 다르다는 것(즉, 근원사건의 확률이 같지 않음), 측정결과가 특정범위에 존재할 것이므로 어느 정도 예측이 가능하다는 것(즉, 예측이 가능함), 건전지 성능이나 바닥의 상태 등과 같은 외적인 조건에 의해 측정결과가 달라질 수 있다는 것(즉, 외부의 영향을 받음), 각 측정값에 정해진 확률이 없다는 것(즉, 확률이존재하지 않음) 등을 판단의 근거로 제시하였다. 학생들이 측정상황이 무작위 사건이 아니 라고 결정하는데 판단의 근거로 외부의 영향을 받는다는 것을 제일 많이 제시하였으며, 그 다음으로 많은 학생들이 근원사건의 확률이 서로 다르다는 것을 판단의 근거로 제시하였다.
본 연구에서는 예비교사들의 무작위성 개념에 대한 이해를 조사하기 위해 학생들이 자신의 생각을 기술하도록 하는 과제를 개발하였다([그림 Ⅲ-1] 참조). 연구에 참여한 57명의 학생을 대상으로 연구자가 개발한 과제를 해결하도록 하였으며, 해결하는데 소요된 시간은 약 20~30분으로 시간에 제한을 두지는 않았다.
본 연구에서는 이러한 문제점을 보완하기 위해 다음을 논의한다. 첫째, 무작위성 개념을 확률적 관점에서뿐만 아니라 통계적 관점까지 확장하여 살펴보는데, 특히 무작위성과 변이성의 관계에 대해 분석한다. 둘째, 확률과 통계 영역의 배경이 되는 무작위성 개념에 대한 예비교사들의 이해도를 조사한다.
대상 데이터
본 연구의 참여자는 모두 57명으로 이들 중 23명은 서울시 소재 대학에서 수학교육을 전공하고 있는 대학 3학년의 예비교사들로 검사가 이루어지는 시점까지 대학에서 확률과 통계 과목을 이수하지 않아, 확률과 통계에 대한 지식은 정규교육과정의 고등학교 과정까지에서 학습한 경험에 기반한다. 나머지 34명은 청주시 소재 대학에서 수학교육을 전공하고 있는 대학 3학년의 예비교사들로, 2학년 과정에서 통계학 관련 과목을 이수하였다.
성능/효과
무작위성 개념의 역사적 발달에 대한 조사를 토대로 먼저 무작위성 개념이 단순사건 및 복합사건과 연결됨을 확인할 수 있었다. 그리고 무작위 개념은 시행 횟수가 충분히 많아지면 사건의 확률은 수학적으로 예상되는 확률과 거의 같아진다는 큰 수의 법칙과 연결되며, 또한 무한 시행의 결과는 정규분포와 유사한 형태를 따른다는 중심극한정리와도 밀접한 관련이 있음을 확인하였다. 마지막으로 이러한 모든 아이디어들은 우연현상에만 국한된 것이 아니라 우연현상 외의 자연현상, 사회현상 등에 확장되어 적용될 수 있음을 살펴보았다.
본 연구에서는 먼저 선행연구 분석을 통해 무작위성 개념이 등확률성 개념, 복합사건, 큰수의 법칙, 중심극한정리 등과 밀접하게 관련 되면서 발달되었음을 확인하였다. 그리고 무작위성은 시행의 결과가 외부의 영향을 받지 않는다는 아이디어, 그리고 측정오차의 자료집합이 이루는 분포와 관련이 있음을 확인하였는데, 이것은 통계의 핵심 아이디어인 변이성과 아주 밀접한 관련이 있음을 살펴보았다.
그리고 무작위 개념은 시행 횟수가 충분히 많아지면 사건의 확률은 수학적으로 예상되는 확률과 거의 같아진다는 큰 수의 법칙과 연결되며, 또한 무한 시행의 결과는 정규분포와 유사한 형태를 따른다는 중심극한정리와도 밀접한 관련이 있음을 확인하였다. 마지막으로 이러한 모든 아이디어들은 우연현상에만 국한된 것이 아니라 우연현상 외의 자연현상, 사회현상 등에 확장되어 적용될 수 있음을 살펴보았다.
본 연구의 목적은 예비교사들의 무작위성 개념에 대한 이해를 조사하는 것이다. 무작위성 개념의 역사적 발달에 대한 조사를 토대로 먼저 무작위성 개념이 단순사건 및 복합사건과 연결됨을 확인할 수 있었다. 그리고 무작위 개념은 시행 횟수가 충분히 많아지면 사건의 확률은 수학적으로 예상되는 확률과 거의 같아진다는 큰 수의 법칙과 연결되며, 또한 무한 시행의 결과는 정규분포와 유사한 형태를 따른다는 중심극한정리와도 밀접한 관련이 있음을 확인하였다.
Johnston-Wilder(2008)에 따르면 학생들이 실생활에서 일어나는 다양한 자연현상과 사회현 상을 무작위 사건으로 인식할 수 있기 위해서는 인지적 이동을 필요로 한다. 본 연구에서 무작위성과 변이성의 관계에 대한 고찰을 통해 변이성에 대한 이해는 이러한 인지적 이동에도움이 됨을 확인할 수 있었다. 따라서 학생들의 이러한 인지적 이동을 돕기 위해 변이성을 학생들에게 지도하는데 있어, 이것을 교육과정에 어떻게 반영할 수 있을지에 대한 계속적인 연구가 필요하다.
본 연구에서는 먼저 선행연구 분석을 통해 무작위성 개념이 등확률성 개념, 복합사건, 큰수의 법칙, 중심극한정리 등과 밀접하게 관련 되면서 발달되었음을 확인하였다. 그리고 무작위성은 시행의 결과가 외부의 영향을 받지 않는다는 아이디어, 그리고 측정오차의 자료집합이 이루는 분포와 관련이 있음을 확인하였는데, 이것은 통계의 핵심 아이디어인 변이성과 아주 밀접한 관련이 있음을 살펴보았다.
[그림 Ⅱ-3]은 Ko와 Lee(2011)가 학생들이 변이성에 어떻게 대처하는지 알아보기 위해 제시한 문제이다. 연구결과에 따르면 변이성의 근원을 고려한 학생은 타당한 방법으로 물체의 질량을 구한 반면, 그렇지 못한 학생은 타당하지 못한 값을 물체의 질량으로 제시하였다. 동일한 물체를 9명의 학생이 각자 저울로 측정하고 이를 바탕으로 하나의 자료집합을 구성하는데, 이때 얻어진 자료집합 내에는 다양한 종류의 변이성이 존재한다.
그리고 선행연구를 토대로 무작위성 개념 조사 과제를 개발하여 예비교사들의 무작위성 개념 이해를 조사하였는데, 특히 예비교사들이 문제 상황이 무작위성을 반영하는지 여부를 결정하는데 사용하는 판단의 근거를 조사하였으며 또한 우연현상이 아닌 측정상황으로 무작위성 개념을 확장하여 이해할 수 있는지 조사하였다. 조사결과 단순사건에서 86.0%의 학생들이, 그리고 복합사건에서 84.2%의 학생들이 무작위성을 인식한 반면 측정상황에서는 28.1%의학생들만이 무작위성을 인식하였다. 이는 대부 분의 예비교사들이 우연현상에서 무작위성 개념과 관련된 아이디어들을 이해하고 있음에도 불구하고 이를 우연현상이 아닌 다른 상황으로 확장하여 적용하고 있지 못함을 보여준다.
<표 Ⅳ-1>은 단순사건과 복합사건이 무작위 사건인지 여부를 결정하는데 학생들이 판단의 근거로 제시한 내용을 정리한 것이다. 학생들은 근원사건의 확률이 같다는 것, 다음 시행에서 어떠한 결과가 나올지 예측할 수 없다는 것, 결과가 외부의 영향과 무관하게 나타난다는 것, 확률을 수학적으로 계산할 수 있다는 것, 독립시행이라는 것, 큰 수의 법칙이 성립한다는 것을 판단의 근거로 제시하였다. 가장 많은 학생들이 외부의 조건이 결과에 영향을 미치지 않는 사건을 무작위 사건이라고 생각하고 있었으며, 그 다음으로 다음 시행에서 나타나는 결과를 예측할 수 없는 사건과 근원사건의 확률이 모두 같은 사건, 수학적 확률이 존재하는 사건을 무작위 사건으로 인식하고 있었다.
학생들은 측정상황이 무작위 사건이라고 결정하는데 있어 판단의 근거로 다음 시행에서 어떠한 결과가 나올지 예측할 수 없다는 것(즉, 예측불가능성), 결과가 외적인 조건에 영향을 받지만 그것을 무시하고 속력을 구해야한다는 것(즉, 외부의 영향을 무시), 각 측정값이 나올 확률을 계산할 수 있다는 것(즉, 확률의 존재), 매번의 측정이 서로 무관하게 이루어진다는 것 (즉, 독립시행), 측정값이 불규칙적으로 나타나 지만 측정을 많이 하면 할수록 실제속력에 가까운 값을 얻을 수 있다는 것(즉, 큰 수의 법칙성립)을 제시하였다. 측정상황에서 학생들이 무작위 사건에 대한 판단의 근거로 제일 많이 제시한 것은 예측불가능성과 독립시행이었으며, 그 다음으로 외부의 영향을 무시할 수 있다는 것이었다.
후속연구
학생들이 무작위성 반영 여부를 판단할 때제시한 근거가 단순사건과 복합사건에서 매우유사하게 나타났는데, 이것은 과제에서 제시한 우연현상이 모두 주사위를 소재로 하고 있어유사한 근거를 토대로 무작위 사건인지 여부를 판단한 것으로 보인다. 단순사건과 복합사건의 소재를 달리했을 때, 예를 들면 단순사건으로구슬뽑기 상황을 제시하고 복합사건으로 주사위 2개를 던지는 상황을 제시했을 때 학생들이 무작위 사건인지 여부를 판단하는 근거에 대한 비교를 통해 복합사건에서 학생들의 무작위성 개념에 대한 이해를 좀 더 살펴보는 연구도 필요할 것으로 보인다.
본 연구에서 무작위성과 변이성의 관계에 대한 고찰을 통해 변이성에 대한 이해는 이러한 인지적 이동에도움이 됨을 확인할 수 있었다. 따라서 학생들의 이러한 인지적 이동을 돕기 위해 변이성을 학생들에게 지도하는데 있어, 이것을 교육과정에 어떻게 반영할 수 있을지에 대한 계속적인 연구가 필요하다.
학생들은 또한 측정상황이 무작위 사건이 아니라고 결정하는데 있어 판단의 근거로 근원사 건의 확률이 같지 않다는 것(16.3%), 예측이 가능하다는 것(14.0%), 그리고 확률이 존재하지 않는다는 것(11.6%)을 제시하였는데 이에 대해서는 다양한 접근을 통해 좀 더 자세한 연구가 필요한 것으로 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
무작위 사건이란?
우리는 보통 개별적인 결과들은 불확실하지만 여러 번의 반복 시행 결과는 일정한 패턴을 지니는 현상을 가리켜 무작위 사건이라 한다(Moore, 1990). 그러나 무작위성이라는 개념은 다양한 아이디어들이 결합된 것으로(Batanero et al.
균일분포란?
즉 모든 가능한 결과들은 1부터 6까지의 숫자들로 이루어진 균일확률 표본공간을 형성한다. 이렇게 모든 가능한 결과들이 같은 확률로 나타나는 확률분포 상태를 가리켜 ‘균일분포’라 부르기도 한다(Bennett, 2004).
확률의 이론적 발달과 함께 무작위성 개념은 등 확률과 밀접하게 연결되는 이유는 무엇인가?
확률의 이론적 발달과 함께 무작위성 개념은 등확률과 밀접하게 연결된다. 왜냐하면 확률의 발달은 등확률의 원리가 필수적이었던 우연게임과 밀접한 관련이 있기 때문이다(Batanero & Serrano, 1999). 1600년대 초에 갈릴레오는 ‘동일한 확률’이라는 개념을 이해하고 이로부터 공정한 주사위 모형을 제안하였는데, 이것이 오늘날 우리가 사용하는 주사위의 모체이다.
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