Taking samples of data and using samples to make inferences about unknown populations are at the core of statistical investigations. So, an understanding of the nature of sample as statistical thinking is involved in the area of statistical literacy, since the process of a statistical investigation ...
Taking samples of data and using samples to make inferences about unknown populations are at the core of statistical investigations. So, an understanding of the nature of sample as statistical thinking is involved in the area of statistical literacy, since the process of a statistical investigation can turn out to be totally useless if we don't appreciate the part sampling plays. However, the conception of sampling is a scheme of interrelated ideas entailing many statistical notions such as repeatability, representativeness, randomness, variability, and distribution. This complexity makes many people, teachers as well as students, reason about statistical inference relying on their incorrect intuitions without understanding sample comprehensively. Some research investigated how the concept of a sample is understood by not only students but also teachers or preservice teachers, but we want to identify preservice secondary mathematics teachers' understanding of sample as the statistical literacy by a qualitative analysis. We designed four items which asked preservice teachers to write their understanding for sampling tasks including representativeness and variability. Then, we categorized the similar responses and compared these categories with Watson's statistical literacy hierarchy. As a result, many preservice teachers turned out to be lie in the low level of statistical literacy as they ignore contexts and critical thinking, expecially about sampling variability rather than sample representativeness. Moreover, the experience of taking statistics courses in university did not seem to make a contribution to development of their statistical literacy. These findings should be considered when design preservice teacher education program to promote statistics education.
Taking samples of data and using samples to make inferences about unknown populations are at the core of statistical investigations. So, an understanding of the nature of sample as statistical thinking is involved in the area of statistical literacy, since the process of a statistical investigation can turn out to be totally useless if we don't appreciate the part sampling plays. However, the conception of sampling is a scheme of interrelated ideas entailing many statistical notions such as repeatability, representativeness, randomness, variability, and distribution. This complexity makes many people, teachers as well as students, reason about statistical inference relying on their incorrect intuitions without understanding sample comprehensively. Some research investigated how the concept of a sample is understood by not only students but also teachers or preservice teachers, but we want to identify preservice secondary mathematics teachers' understanding of sample as the statistical literacy by a qualitative analysis. We designed four items which asked preservice teachers to write their understanding for sampling tasks including representativeness and variability. Then, we categorized the similar responses and compared these categories with Watson's statistical literacy hierarchy. As a result, many preservice teachers turned out to be lie in the low level of statistical literacy as they ignore contexts and critical thinking, expecially about sampling variability rather than sample representativeness. Moreover, the experience of taking statistics courses in university did not seem to make a contribution to development of their statistical literacy. These findings should be considered when design preservice teacher education program to promote statistics education.
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문제 정의
다만, 연구 참여자들 모두 동일한 학교에 재학 중이라는 점에서 우리나라의 예비교사 대상 통계교육의 실태를 보여주는 하나의 사례로서 역할을 할 수 있을 것으로 기대된다. 본 연구는 학교 통계교육과 예비교사교육의 개선 방향을 구체화하기 위한 통계적 소양 틀의 활용 가능성을 탐색하는 수준의 목표를 지니고 있다.
본 연구에서는 선행연구를 바탕으로 하여 표본 개념을 이해하기 위한 두 속성인 표본대표성과 표집변이성을 연구 내용의 중심으로 삼았다. 그리고 각각의 속성에 대한 예비교사들의 이해를 알아보기 위해 검사도구로서 외국의 교과서와 선행연구에서 발췌한 총 4개의 과제를 선정하였다.
본 연구에서는 예비교사를 대상으로 표본 개념에 대한 이해를 살펴보았다. 이를 위해 표본 개념에 대한 이해의 분석 틀로 표본대표성과 표집변이성을 선정한 후, 선행연구과 외국 교과서를 바탕으로 문항을 설계하여 각 속성에 대한 예비교사의 이해를 확인하였다.
본 연구에서는 이러한 선행연구의 한계점을 개선하고자 열린 형태의 문항으로 구성된 질문지를 새로 설계하여 예비교사들을 대상으로 조사한 후, 질적 분석을 통해 표본 개념에 대한 예비교사의 이해가 가지는 특징들을 범주화한다. 특히 예비교사를 대상으로 하는 현행 통계교육 체계를 반성하기 위해, 본 연구에서는 예비교사를 대상으로 하는 현행 통계 과목의 수강 여부를 하나의 변수로 상정한다.
가설 설정
1. 표본대표성과 표집변이성의 측면에서, 예비교사들은 표본 개념에 대해 어떻게 이해하고 있는가?
2. 표본 개념에 대한 이해에 비추어볼 때, 예비교사의 통계적 소양 수준은 어떠한가?
가령, Watson & Moritz의 범주화에서 중요하게 다루어지고 있는 표본의 크기에 대한 이해를, 본 연구에서는 예비교사들의 반응을 범주화하는데 고려하지 않았다.
제안 방법
이후 나머지 공저자들과 논의를 거쳐 재분류 및 재범주화 후 본 연구에서 제시된 범주들을 확정하였다. 각 범주에 해당하는 참여자의 수를 확인하여 그 분포표를 작성하였으며, 특히 예비교사를 대상으로 한 통계 과목의 수강 여부가 예비교사의 답안에 유의미한 차이를 가져오는지도 확인하고자 2학년 학생의 분포와 3학년 학생의 분포 또한 비교하였다. 범주별 분포는 비록 단일 학교의 사례이지만 표본 개념에 대한 예비교사들의 이해 실태를 확인하는 데 참고 자료가 될 수 있을 것으로 보인다.
본 연구에서는 선행연구를 바탕으로 하여 표본 개념을 이해하기 위한 두 속성인 표본대표성과 표집변이성을 연구 내용의 중심으로 삼았다. 그리고 각각의 속성에 대한 예비교사들의 이해를 알아보기 위해 검사도구로서 외국의 교과서와 선행연구에서 발췌한 총 4개의 과제를 선정하였다. 본 연구에서는 과제를 수행해야 하는 주체가 예비교사인 점을 고려하여, 단순히 내용 지식으로 문제를 해결하는 것이 아니라 교수학습 상의 맥락 내에서 과제에 대한 메타적인 이해가 이루어지도록 발문을 수정하여 문항을 구성하였다.
이를 위해 표본 개념에 대한 이해의 분석 틀로 표본대표성과 표집변이성을 선정한 후, 선행연구과 외국 교과서를 바탕으로 문항을 설계하여 각 속성에 대한 예비교사의 이해를 확인하였다. 문항 반응에 나타난 예비교사의 표본 개념 이해를 표본대표성 이해와 표집변이성 이해로 나누어 범주화한 후, 각 범주들을 통계적 소양 수준에 비추어 통계적 소양 수준에 대응시켰다.
그리고 각각의 속성에 대한 예비교사들의 이해를 알아보기 위해 검사도구로서 외국의 교과서와 선행연구에서 발췌한 총 4개의 과제를 선정하였다. 본 연구에서는 과제를 수행해야 하는 주체가 예비교사인 점을 고려하여, 단순히 내용 지식으로 문제를 해결하는 것이 아니라 교수학습 상의 맥락 내에서 과제에 대한 메타적인 이해가 이루어지도록 발문을 수정하여 문항을 구성하였다. 교사의 과제 사용 방식과 교실 맥락에 대한 이해는 교사의 이해와 직접적으로 연결되며, 이는 차후 Hill et al.
본 연구의 결과를 토대로 논의를 이끌어내기 위해, 표집과 변이 개념에 대한 학생들의 이해를 범주화하여 제시했던 선행연구(Torok & Watson, 2000; Watson et al., 2003; Watson & Moritz, 2000a, 2000b)와도 비교하였고, 이에 따라 연구 참여자들에게 이루어진 예비교사 대상의 통계교육이 이들의 통계적 소양 발달에 어떤 영향을 주는지를 확인함으로써 현행 교사교육에 대한 시사점을 도출하였다.
본 연구에서는 예비교사를 대상으로 표본 개념에 대한 이해를 살펴보았다. 이를 위해 표본 개념에 대한 이해의 분석 틀로 표본대표성과 표집변이성을 선정한 후, 선행연구과 외국 교과서를 바탕으로 문항을 설계하여 각 속성에 대한 예비교사의 이해를 확인하였다. 문항 반응에 나타난 예비교사의 표본 개념 이해를 표본대표성 이해와 표집변이성 이해로 나누어 범주화한 후, 각 범주들을 통계적 소양 수준에 비추어 통계적 소양 수준에 대응시켰다.
이와 같이 문항 1, 3에 대한 연구 참여자들의 반응을 토대로 표본대표성에 대한 예비교사의 이해를 6개의 범주로 분류하였다. [표 4]는 각 범주에 해당하는 연구 참여자의 수를 분포표로 나타낸 것인데, 참여자의 약 60%가 범주 R1과 R2로 분류되었음을 확인할 수 있었다.
이와 같이 문항 2, 4에 대한 연구 참여자들의 반응을 토대로 표집변이성에 대한 예비교사의 이해를 4개의 범주로 분류하였다. [표 6]은 각 범주에 해당하는 연구 참여자의 수를 분포표로 나타낸 것인데, 참여자의 약 70%가 범주 V1과 V2로 분류되었음을 확인할 수 있었으며, 이 범주 내에서도 표본대표성과 마찬가지로 통계 과목의 수강 여부는 유의미한 변수로 작용하지 못했음을 알 수 있었다.
이렇게 설계된 4개의 문항에 대한 간략한 설명은 [표 2]에 제시되어 있으며, 실제 문항은 본고의 맨 뒷면 [부록]에 제시하였다. 이와 같이 선정한 4개의 과제로 이루어진 질문지를 2학기 초에 연구 참여자들에게 제공하였고 문항에 대한 자신의 생각을 자유롭게 서술하도록 하였다.
, Watson & Moritz, 2000a)를 참고하였다. 이후 나머지 공저자들과 논의를 거쳐 재분류 및 재범주화 후 본 연구에서 제시된 범주들을 확정하였다. 각 범주에 해당하는 참여자의 수를 확인하여 그 분포표를 작성하였으며, 특히 예비교사를 대상으로 한 통계 과목의 수강 여부가 예비교사의 답안에 유의미한 차이를 가져오는지도 확인하고자 2학년 학생의 분포와 3학년 학생의 분포 또한 비교하였다.
본 연구에서는 이러한 선행연구의 한계점을 개선하고자 열린 형태의 문항으로 구성된 질문지를 새로 설계하여 예비교사들을 대상으로 조사한 후, 질적 분석을 통해 표본 개념에 대한 예비교사의 이해가 가지는 특징들을 범주화한다. 특히 예비교사를 대상으로 하는 현행 통계교육 체계를 반성하기 위해, 본 연구에서는 예비교사를 대상으로 하는 현행 통계 과목의 수강 여부를 하나의 변수로 상정한다. 이렇게 범주화된 반응들은 기존의 연구들에 비추어 각 범주의 통계적 소양을 고찰함으로써, 종래에는 예비교사의 통계적 소양 수준을 논의한다.
즉, 문항 2는 “표집 기법과는 별개로 단일 모집단에서 서로 다른 다양한 표본이 추출될 수 있음”을, 문항 4는 “통계적 추정에 서 표집변이성의 제어에 필요한 표본의 크기는 모집단의 크기와 무관함”을 확인하기 위한 것이었다. 표본대표성과 마찬가지로 두 문항에 대한 연구 참여자들의 반응에서 드러나는 특징들을 나열한 후 표집변이성에 대한 예비교사의 인식이라는 관점에서 분류하여, [표 5]와 같은 범주들을 도출하였다.
대상 데이터
본 연구는 광역시 소재의 종합대학에 재학 중인 수학교육과 학부생 39명을 대상으로 이루어졌다. 이 중 19명은 2학년이고 20명은 3학년인데, 본 연구를 위한 조사가 실행된 시점인 2학기 초를 기준으로 3학년 학생들은 학과 전공과목인 <확률 및 통계 입문>을 모두 수강한 반면, 2학년 학생들은 해당 과목을 수강하지 않은 상태였다.
이론/모형
범주화는 각 문항의 관련 속성인 표본대표성 또는 표집변이성에 대한 연구 참여자의 인식 수준을 토대로 이루어졌으며, SOLO 모형을 활용한 Watson의 선행연구(e.g., Watson & Moritz, 2000a)를 참고하였다.
본 연구에서는 예비교사의 통계적 소양을 분석하는 틀로서 에 제시된 Watson(1997)의 통계적 소양수준 체계를 활용한다.
성능/효과
둘째, 예비교사들이 학교수학에서 표본 개념을 지도할 때 표본대표성뿐만 아니라 표집변이성에도 초점을 두어야 함을 인식해야 한다. 호주, 뉴질랜드, 영국, 미국 등 여러 나라에서는 교육과정에서 표집변이성을 표본대표성과 함께 지도해야 함을 강조하고 있다.
이 중 19명은 2학년이고 20명은 3학년인데, 본 연구를 위한 조사가 실행된 시점인 2학기 초를 기준으로 3학년 학생들은 학과 전공과목인 <확률 및 통계 입문>을 모두 수강한 반면, 2학년 학생들은 해당 과목을 수강하지 않은 상태였다. 따라서 연구 참여자 중 2학년과 3학년 학생 사이에는 예비교사를 대상으로 하는 교육과정 중 통계 과목의 수강 여부에 차이가 있음을 확인할 수 있었다.
범주 R1에 해당하는 연구 참여자들은 문항 1에서 편의표집 맥락이 제시된 과제를 활용하여 확률, 집합 등 수학적인 개념을 가르칠 수 있다고 주장하거나, 문항 3에 대한 답안을 작성하지 못하는 등, 전반적으로 표본대표성에 대한 통계적 이해가 크게 부족한 것으로 드러났다. 일부는 표집에 문제가 있음을 막연하게 인지하고 있었지만 표본의 대표성과 관련된 어떠한 언급도 드러나지 않았다는 점에서 범주 R1으로 분류되기도 하였다.
범주 V1에 해당하는 연구 참여자들은 문항 2에서 우연에 의한 변이성 개념과 목적표집에 의한 불공정성 개념을 혼동하거나, 문항 4에서 모집단의 크기가 클수록 표본조사의 결과를 예측하기 쉽다고 주장하는 등, 전반적으로 표집변이성에 대한 통계적 이해가 크게 부족한 것으로 드러났다. 그 외에도 문항에 대해 어떠한 반응도 기재하지 않거나 문제를 잘못 이해한 경우도 범주 V1으로 분류하였다.
연구 결과를 통해 표본 개념에 대한 예비교사들의 통계적 소양 수준은 오늘날 학교수학에서 강조되고 있는 비판적 소양에까지 다다르지 못하고 있음을 확인하였다. 특히, 표본대표성보다 표집변이성에 대한 이해가 더욱 부족하다고 나타났으며, 예비교사를 대상으로 한 통계 과목이 통계적 소양에 유의미한 변화를 이끌어내지 못하는 것으로 보인다.
후속연구
또한 연구 참여자들의 수가 다소 적고 모두 동일한 학교에서 선별되었다는 점을 고려한다면, 본 연구 결과가 우리나라의 모든 예비교사 대상 통계교육의 현실을 대변할 수는 없다. 그러나 학교 통계교육과 예비교사교육의 개선 방향을, 기존 연구들에 비해 다소 구체화시키고자 통계적 소양의 틀을 활용하였다는 점에서 본 연구는 이후 이루어질 후속 연구의 예비 성격을 지니고 있다. 향후, 본 연구를 토대로 학교수학에서 통계적 소양을 강조하기 위한 예비교사의 전문성 신장 전략과 체계를 개발함으로써, 통계교육의 최전선에 있는 수학교사들에게 실천적인 시사점을 제공할 수 있기를 희망한다.
다만, 본 연구의 참여자들은 편의표집을 통해 추출되었고 소수의 인원을 대상으로 연구가 수행되었기에 본 연구의 결과를 우리나라의 모든 예비교사로 일반화하여 적용할 수는 없다. 다만, 연구 참여자들 모두 동일한 학교에 재학 중이라는 점에서 우리나라의 예비교사 대상 통계교육의 실태를 보여주는 하나의 사례로서 역할을 할 수 있을 것으로 기대된다.
다만, 본 연구의 참여자들은 편의표집을 통해 추출되었고 소수의 인원을 대상으로 연구가 수행되었기에 본 연구의 결과를 우리나라의 모든 예비교사로 일반화하여 적용할 수는 없다. 다만, 연구 참여자들 모두 동일한 학교에 재학 중이라는 점에서 우리나라의 예비교사 대상 통계교육의 실태를 보여주는 하나의 사례로서 역할을 할 수 있을 것으로 기대된다. 본 연구는 학교 통계교육과 예비교사교육의 개선 방향을 구체화하기 위한 통계적 소양 틀의 활용 가능성을 탐색하는 수준의 목표를 지니고 있다.
(2008)이 제시한 수학 교수를 위한 지식(mathematical knowledge for teaching)에 포함되지 않는 비수학적인 지식이 존재한다는 선행연구에 비추어볼 때(Groth, 2007), 비결정론적이고 자료기반적인 통계 고유의 사고를 요구하는 표본 개념이 예비교사교육에서 충분히 다루어져야 현직교사들이 겪는 위와 같은 어려움을 해소할 수 있다. 따라서 예비교사교육의 방향을 결정하고 유의미한 시사점을 도출하기 위해서는 예비교사의 이해를 조사하는 기초 연구가 필요하다. 실제로 국내 연구는 예비교사와 현직교사를 연구 대상으로 하는 통계교육 연구가 많이 부족한 실정이다(이영하・심효정, 2003, p.
특히, 범주 R4에 해당하는 반응에서 확인할 수 있었던 예비교사들의 반응은 기존 선행연구(Watson, 2010)에서 특이한 사례로서 다루어졌던 것인데, 표본조사를 불신하고 전수조사를 수행해야 한다는 주장은 예비교사의 통계적 지식 외에도 통계에 대한 신념이나 태도와 관련된 것이다. 따라서 우리나라 예비교사와 현직교사들이 통계에 대해 어떠한 신념과 태도를 가지고 있는지를 연구해본다면, 향후 예비교사를 대상으로 한 통계교육의 새로운 개선점을 도출할 수 있을 것으로 기대된다.
각 범주에 해당하는 참여자의 수를 확인하여 그 분포표를 작성하였으며, 특히 예비교사를 대상으로 한 통계 과목의 수강 여부가 예비교사의 답안에 유의미한 차이를 가져오는지도 확인하고자 2학년 학생의 분포와 3학년 학생의 분포 또한 비교하였다. 범주별 분포는 비록 단일 학교의 사례이지만 표본 개념에 대한 예비교사들의 이해 실태를 확인하는 데 참고 자료가 될 수 있을 것으로 보인다. 본 연구의 결과를 토대로 논의를 이끌어내기 위해, 표집과 변이 개념에 대한 학생들의 이해를 범주화하여 제시했던 선행연구(Torok & Watson, 2000; Watson et al.
본 연구의 참여자는 편의표집에 의해 추출되었기 때문에 본 연구 결과를 일반화하는 데에는 한계가 있다. 또한 연구 참여자들의 수가 다소 적고 모두 동일한 학교에서 선별되었다는 점을 고려한다면, 본 연구 결과가 우리나라의 모든 예비교사 대상 통계교육의 현실을 대변할 수는 없다.
Groth & Bergner(2005)는 예비 초등교사를 대상으로 표본에 대한 은유를 직접 구성하게 하였고, 그 결과를 바탕으로 표본에 대한 사고의 범주를 나누어 제시한 후, 각 범주가 Watson(1997)의 통계적 소양 수준에서 어느 수준에 해당하는지를 확인하였다. 선행연구의 전례를 통해 Watson(1997)의 통계적 소양 수준은, 본 연구에서 표본 개념에 대한 예비교사들의 이해를 고찰하는데 적절한 틀로 활용될 것이라 기대할 수 있다.
셋째, 예비교사들이 통계적 소양의 교육적 의미를 깨닫고 표본 개념 또한 통계적 소양에 비추어 이해할 수 있어야 하며, 이를 위해서는 예비교사교육 체계의 개선이 시급하다. 전공수학과 일반교육학, 그리고 제한적인 실습 기회로 이루어진 예비교사교육 체계는 통계적 소양과 관련된 적절한 내용 지식과 교수학적 지식을 발달시키는 데 한계가 있다(Ridgway et al.
첫째, 표본 개념을 이해하는데 예비교사들이 겪는 어려움과 그 원인에 대한 후속 연구가 이루어져야 한다. 이는 고은성・이경화(2011)도 일찍이 지적한 바 있는데, 본 연구에서도 표본 개념에 대한 예비교사들의 이해 수준은 통계적 소양 수준에 비추어볼 때 여전히 맥락이나 비판적 소양과 유리된 채로 낮은 수준에 머물러 있음을 확인할 수 있었다.
그러나 학교 통계교육과 예비교사교육의 개선 방향을, 기존 연구들에 비해 다소 구체화시키고자 통계적 소양의 틀을 활용하였다는 점에서 본 연구는 이후 이루어질 후속 연구의 예비 성격을 지니고 있다. 향후, 본 연구를 토대로 학교수학에서 통계적 소양을 강조하기 위한 예비교사의 전문성 신장 전략과 체계를 개발함으로써, 통계교육의 최전선에 있는 수학교사들에게 실천적인 시사점을 제공할 수 있기를 희망한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
표본 개념은 어떻게 하나의 스키마를 형성하고 있는가?
표본 개념은 반복가능성, 대표성, 임의성, 변이성, 분포 등 매우 다양한 통계적 개념들이 상호 관련하여 하나의 스키마를 형성하고 있다(Pfannkuch, 2008; Saldanha & Thompson, 2002). 이러한 개념의 복잡성으로 인해, 학생뿐만 아니라 교사들 또한 표본 개념에 대한 종합적인 이해 없이 통계적 추론 과정에서 부정확한 직관에 의존하곤 한다.
수학에서는 일반적으로 연구 대상에 대해 대표성을 고려할 필요가 없는 이유는 무엇인가?
수학에서는 일반적으로 연구 대상에 대해 대표성을 고려할 필요가 없다. 그 이유는 수학이 설명항이 피설명항을 완전히 함축하고 있는 연역법을 학문적 방법론으로 채택하고 있기 때문이다. 그러나 통계에서 연구 대상이 지니는 대표성은 매우 중요한 요소인데, 이는 통계적 방법론이 ‘일부’에 불과한 경험적 사실을 토대로 ‘전체’에 대한 일반적인 법칙이나 이론을 세우는 귀납법을 채택하고 있기 때문이다.
표본과 모집단 간의 불일치가 여전히 존재하는 이유는 무엇인가?
임의표집 외에도 표본대표성을 높이기 위한 여러 가지 기법들이 등장하였으나 표본과 모집단 간의 불일치는 여전히 존재하는데, 표본대표성에 영향을 주는 요소가 편의만 존재하는 것은 아니기 때문이다. Moore & Notz(2009)에 따르면 표본대표성은 편의 외에도 표집변이성의 영향을 받는데, 편의가 표본을 여러 번 선택할 때 모수에서 한 방향으로 일관되고 반복적으로 벗어나는 통계량의 편차를 의미한다면, 표집변이성은 표본을 여러번 선택할 때 통계량의 값이 얼마나 퍼져 있는가를 의미한다.
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