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East Asian mathematical journal, v.26 no.4, 2010년, pp.487 - 507
김부윤 (Pusan National University) , 정영우 (University of Ulsan)
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We study mathematization of natural thinking and some materials developed in geometric construction of regular n-polygons. This mathematization provides a nice model for illustrating interesting approaches to trigonometric functions and trigonometric ratios as well as their inter-connections. Thereb...
| 핵심어 | 질문 | 논문에서 추출한 답변 |
|---|---|---|
| 본 실험 결과, mathematization을 적용한 삼각함수 지도 모델은 어떤 교육 효과를 발생시키는가? | 이처럼 정다각형의 작도를 소재로 한 삼각함수의 수학화는 삼각함수의 함수적 본질에 대한 이해 및 삼각비와의 내적 연결성을 경험하게 해주며, 호도법의 의의에 대한 자연스러운 인식을 하게 돕는다. 나아가 그러한 수학적 개념이 필요하게 되는 상황과 그것을 해결해가는 과정에 대한 경험 - 즉, 수학적 활동에 대한 경험 - 을 하게 해준다. | |
| 삼각법은 어떤 방법을 말하며, 어떤 필요에 의해 시작되었는가? | 삼각비를 이용하여 삼각형의 변의 길이, 각의 크기 등을 계산하는 방법을 삼각법이라 하는데, 삼각법은 천문학, 토지 측량과 같은 실용상의 필요에 의해서 시작되었기 때문에 그 역사는 매우 길다. 또, 삼각법은 천문학상의 응용에서 출발한 것으로 평면삼각법보다는 구면삼각법6)이 먼저 시작되었다. | |
| 삼각비와 삼각함수의 차이점은? | ① 삼각비에서의 각의 크기는 도형이 이미 주어진 상태에서의 양(量)이며, 이는 종합기하의 입장이다. 이때, 각의 크기는 육십분법으로 표현한다. 반면, 삼각함수에서는 시초선과 동경을 사용한 회전량(回轉量)으로 각의 크기를 정의하며, 이는 함수 및 해석기하2)의 입장이다. 이때, 각의 크기는 호도법을 사용하여 표현한다.3) ② 삼각비를 생각할 수 있는 각의 범위는 직각이 아닌 나머지 두 각의 합이 90ﾟ이어야 하며, 따라서 예각의 경우에 한정된 논의이다. 그런데 삼각함수는 각에 회전의 개념이 도입되므로 일반각을 생각할 수 있다. 우리가 다루는 육십분법의 일반각은 호도법에 의한 일반각 표현을 육십분법의 경우로 재적용한 것이라 할 수 있다. 따라서 일반각의 개념은 본질적으로는 삼각비에서는 다룰 수 없는 개념이다. 즉, 평면에 대한 기하학적 각의 단위인 육십분법을 전제로 예각에 대해서만 삼각비의 개념을 논할 수 있으며, 그 외의 각에 대한 삼각비는 예각에 대한 삼각비를 활용하여 구하면 된다. ③ 삼각비는 직각삼각형이라는 기하학적 도구에서 논의되는 개념이므로 각의 크기는 실수의 개념이 아니다. 그런데 삼각함수는 정의역이 실수이어야 하므로 각의 크기를 ‘실수화’ 할 필요가 있다. 그러므로 호의 길이와 각의 크기가 일대일 대응 관계가 되도록 호도법을 정의한다.4) 따라서 호도법은 삼각함수를 정의하고 연산을 다루기 위한 수단적 개념이다. |
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