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문제 정의
- 본 연구는 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하기 위하여 실시되었다. 이를 위하여 전국 32개 강우 관측소에서 측정된 자료를 이용하여 L-모멘트 다이어그램을 그려서 평균가중거리 값을 계산하였고, 이를 바탕으로 선정된 강수량별 최적 확률분포형에 대하여 지점별 적합성 검정을 실시하였다.
- 본 연구의 목적은 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하는 것이다. 이를 위해서 전국 32개의 강우 관측소에서 얻은 자료에 대하여 L-모멘트 비 다이어그램과 평균가중거리 값을 이용하여 각 강수량별 최적 확률분포를 산정하였으며, 최종적으로 선정된 최적 확률분포형을 관측 지점별로 적합도 검정을 실시하였다.
- 이에 따라 본 연구는 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하려는 목적으로 실시되었다. 이를 위해서 우리나라 전 지역을 고르게 반영할 수 있는 강수자료를 토대로 가장 효율적으로 확률분포형을 선정할 수 있는 방법 중 하나인 L-모멘트 방법을 이용하였다.
제안 방법
- Table 2는 각각의 확률분포형에 따른 다항식의 계수들을 나타낸 것이다. NOR, GUM은 하나의 상수값으로 나타나며, W3는 GEV의 다항식을 이용하였으며, LP3는 P3의 다항식을 이용하였다. 특히, LP3의 경우 대수(log)값을 취하므로 다른 3 매개변수 확률분포와 동일한 다이어그램에 나타내지 못하고 별개의 다이어그램을 이용하였다.
- 본 연구에서는 L-모멘트 간의 비율인 L-변동계수(τ2), L-왜도(τ3) 및 L-첨도(τ4) 값을 이용하여 L-모멘트 비 다이어그램(L-moment ratio diagram)을 작성하여 최적 확률분포형을 결정하였다.
- ) 값을 이용하여 L-모멘트 비 다이어그램(L-moment ratio diagram)을 작성하여 최적 확률분포형을 결정하였다. 분석은 정규분포(NOR), 2변수 gamma 분포(GAM), Pearson type III 분포(P3), log-Pearson type III 분포(LP3), 2변수와 3변수 대수정규분포(LN2, LN3), 일반화된 극치 분포(GEV), Gumbel 분포(GUM), 2변수와 3변수 Weibull 분포(W2, W3), 일반화된 Pareto 분포(GPA), 일반화된 logistic 분포(GLO) 등 총 12개의 확률분포형을 대상으로 하였다. Fig.
- NOR, GUM은 하나의 상수값으로 나타나며, W3는 GEV의 다항식을 이용하였으며, LP3는 P3의 다항식을 이용하였다. 특히, LP3의 경우 대수(log)값을 취하므로 다른 3 매개변수 확률분포와 동일한 다이어그램에 나타내지 못하고 별개의 다이어그램을 이용하였다.
대상 데이터
- 1. Location of 32 observation stations.
- 각 기간별 적합 확률분포형을 선정하는데 있어 표본 자료의 개수의 영향을 알아보기 위하여 추가적으로 23개의 관측지점 자료를 포함한, 총 55개 관측지점의 자료를 이용하여 위와 같은 작업을 수행하였다. Fig.
- kr)를 통하여 수집되었다. 대상관측 지점은 총 32 지점이며, 자료기간은 32~44년의 범위를 가지고 있다(Table 1). Fig.
- 본 연구에 이용된 월 강수량 자료는 한국확률강우량도 작성(건설교통부, 2000)에 이용된 68개의 기상청 지점 자료 중에서 자료 기간이 30년 이상인 관측지점을 대상으로 국가수자원관리 종합정보 홈페이지(http://www.wamis.go.kr)를 통하여 수집되었다. 대상관측 지점은 총 32 지점이며, 자료기간은 32~44년의 범위를 가지고 있다(Table 1).
데이터처리
- 선정된 강수량별 최적 확률분포형에 대하여 지점별 적합도 검정을 실시하였다. 매개변수 추정방법은 확률가중모멘트 방법을 이용하였으며, LP3의 경우에는 최대우도법을 이용하였다.
- 본 연구는 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하기 위하여 실시되었다. 이를 위하여 전국 32개 강우 관측소에서 측정된 자료를 이용하여 L-모멘트 다이어그램을 그려서 평균가중거리 값을 계산하였고, 이를 바탕으로 선정된 강수량별 최적 확률분포형에 대하여 지점별 적합성 검정을 실시하였다. 그 결과, 연 강수량에서는 W3, 봄과 가을에는 LN3, 여름과 겨울에는 GEV가 최적 확률분포형으로 선정되었다.
- 본 연구의 목적은 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하는 것이다. 이를 위해서 전국 32개의 강우 관측소에서 얻은 자료에 대하여 L-모멘트 비 다이어그램과 평균가중거리 값을 이용하여 각 강수량별 최적 확률분포를 산정하였으며, 최종적으로 선정된 최적 확률분포형을 관측 지점별로 적합도 검정을 실시하였다. 그 결과, 연 강수량에서는 3변수 Weibull 분포(W3), 봄과 가을에는 3변수 대수정규분포(LN3), 여름과 겨울에는 일반화된 극치분포(GEV)가 관측값에 가장 잘 적합하는 것으로 나타났다.
- 적합도 검정에는 χ2 검정, K-S 검정, Cramér-von-Mises 검정, PPCC 검정 방법을 이용하였다.
이론/모형
- L-모멘트 비 다이어그램은 관측자료와 확률분포형의 L-변동계수와 L-왜도(2변수형 확률분포에 적용) 혹은 L-첨도와 L-왜도(3변수형 확률분포에 적용)를 도시하여 적합한 확률분포형을 결정하는 방법이다. 각 확률분포형을 L-모멘트 비 다이어그램에 나타내는 방법은 아래의 식 (9)를 이용하여 다항식으로 근사하는 방법을 이용하였다(Hosking, 1996; Vogel and Wilson, 1996). Table 2는 각각의 확률분포형에 따른 다항식의 계수들을 나타낸 것이다.
- 따라서, 본 연구에서는 Kroll and Vogel(2002)이 제안한 평균가중거리(Average Weighted Distance, AWD)를 계산하여 L-모멘트 비 다이어그램의 결과를 정량적으로 나타내었다. 이 방법은 표본자료와 확률분포의 L-모멘트 비 차이를 계산하는 것으로 식 (10)으로 표현된다.
- 선정된 강수량별 최적 확률분포형에 대하여 지점별 적합도 검정을 실시하였다. 매개변수 추정방법은 확률가중모멘트 방법을 이용하였으며, LP3의 경우에는 최대우도법을 이용하였다. 적합도 검정에는 χ2 검정, K-S 검정, Cramér-von-Mises 검정, PPCC 검정 방법을 이용하였다.
- 본 연구에서 이용된 확률분포형의 매개변수를 추정하는 방법은 Hosking(1990)이 제안한 L-모멘트 방법이다. 이 방법은 확률가중모멘트의 선형조합을 통하여 매개변수를 추정하는 방법으로서, 전통적인 모멘트 방법과 비교하여 고차 모멘트 추정치가 편향되는(biased) 경향이 작으며(Hosking, 1990), 이상치에 대하여 덜 민감한 경향을 나타내는 등(Royston, 1992; Vogel and Fennessey, 1993)의 여러 장점을 가지고 있다.
- L-모멘트 방법은 이러한 장점으로 인하여 강수량이나 유출량 혹은 홍수량 등의 수문현상의 확률분포를 추정하는 방법으로 많이 이용되고 있다(Royston, 1992; Vogel and Fennessey, 1993). 본 연구에서는 확률가중모멘트(probability weighted moment, PWM)를 이용하여 확률분포의 L-모멘트를 계산하는 방법을 이용하였다. 확률분포형의 L-모멘트는 식 (1)~(4)와 같이 정의된다.
- 이에 따라 본 연구는 우리나라의 연 강수량, 계절 강수량 그리고 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하려는 목적으로 실시되었다. 이를 위해서 우리나라 전 지역을 고르게 반영할 수 있는 강수자료를 토대로 가장 효율적으로 확률분포형을 선정할 수 있는 방법 중 하나인 L-모멘트 방법을 이용하였다.
성능/효과
- 계절 강수량의 경우, GEV와 LN3, 월 강수량의 경우에는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과와 마찬가지로 다양한 분포들이 각 월에서 가장 낮은 값을 가지는 것으로 나타났다. 55개 관측소를 이용한 결과는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과에 비하여 전체적으로 값이 높게 나타났다. 또한, 55개 관측지점 자료를 이용한 결과에서 각 기간별로 가장 낮은 값이 나온 확률분포형은 32개를 이용한 결과와 크게 다르지 않았으며, 몇몇 기간에서 상반된 결과를 보인 경우에도 순위에서 약간의 차이가 있는 정도였다.
- 8은 각각 계절 강수량의 L-변동계수–L-왜도 다이어그램, L-첨도–L-왜도 다이어그램 그리고 LP3 검정을 위한 L-첨도–L-왜도 다이어그램이다. 각 다이어그램을 비교하면 모든 계절에서 LN3, GEV, P3 등이 적합한 것으로 나타났으며, 여름과 가을의 경우에는 LP3 또한 비교적 적합이 잘되는 것으로 보였다. Table 3의 계절 강수량의 평균가중거리 값을 살펴보면 봄과 가을에는 LN3, 여름과 겨울에는 GEV가 가장 작은 값을 가지는 것으로 나타났다.
- 또한, 55개 관측지점 자료를 이용한 결과가 평균가중거리의 평균값이 더 컸다. 결론적으로 추가된 23개 관측지점의 자료는 각 기간별 강우량의 최적 분포 선정에 별다른 영향을 미치지 못한 것으로 판단되었다.
- 연 강수량의 경우 GEV가 가장 낮은 평균가중거리 값을 가지는 것으로 나타났다. 계절 강수량의 경우, GEV와 LN3, 월 강수량의 경우에는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과와 마찬가지로 다양한 분포들이 각 월에서 가장 낮은 값을 가지는 것으로 나타났다. 55개 관측소를 이용한 결과는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과에 비하여 전체적으로 값이 높게 나타났다.
- 이를 위해서 전국 32개의 강우 관측소에서 얻은 자료에 대하여 L-모멘트 비 다이어그램과 평균가중거리 값을 이용하여 각 강수량별 최적 확률분포를 산정하였으며, 최종적으로 선정된 최적 확률분포형을 관측 지점별로 적합도 검정을 실시하였다. 그 결과, 연 강수량에서는 3변수 Weibull 분포(W3), 봄과 가을에는 3변수 대수정규분포(LN3), 여름과 겨울에는 일반화된 극치분포(GEV)가 관측값에 가장 잘 적합하는 것으로 나타났다. 또한, 월 강수량에서는 1월은 LN3, 2월과 7월은 W3, 3월은 2변수 Weibull 분포(W2), 4월, 9월, 10월, 11월은 일반화된 Pareto 분포(GPA), 5월과 6월은 GEV, 그리고 8월과 12월은 log-Pearson type III 분포(LP3)가 가장 잘 적합하였다.
- 이를 위하여 전국 32개 강우 관측소에서 측정된 자료를 이용하여 L-모멘트 다이어그램을 그려서 평균가중거리 값을 계산하였고, 이를 바탕으로 선정된 강수량별 최적 확률분포형에 대하여 지점별 적합성 검정을 실시하였다. 그 결과, 연 강수량에서는 W3, 봄과 가을에는 LN3, 여름과 겨울에는 GEV가 최적 확률분포형으로 선정되었다. 또한, 월 강수량의 경우에는 1월은 LN3, 2월과 7월은 W3, 3월은 W2, 4월, 9월, 10월, 11월은 GPA, 5월과 6월은 GEV, 그리고 8월과 12월은 LP3이 최적 확률분포형으로 선정되는 등 월별로 다양한 결과를 나타내었다.
- Yue and Hashino(2007)는 일본 내 22개 관측소의 약 110년 동안의 월 강수량 자료를 이용하여 연, 계절, 월 강수량의 최적 확률분포형을 선정하였다. 그 결과, 일본의 경우에 연 강수량은 LP3가 최고의 적합도를 보였으며, 계절별로는 봄에는 P3, 여름과 겨울에는 LP3, 가을에는 LN3가 최고의 적합도를 보였다. 월별 강수량의 경우, 1월, 2월, 3월, 5월, 7월, 10월, 12월에는 P3, 6월에는 LP3, 나머지 4월, 8월, 9월, 11월에는 LN3가 최고의 적합도를 나타내었다.
- 한편, 선정된 최적 확률분포형에 대하여 각 지점별로 적합성 검정을 실시한 결과, 월 강수량 중 GPA와 LN3에 대한 기각율이 매우 높게 나타났으며, 이것은 확률분포의 매개변수 추정에서의 오류와 상대적으로 높은 AWD 값으로 인한 것으로 생각되었다. 그리고 추가적으로 23개 관측지점 자료를 추가하여 분석한 결과, 32개 관측지점 자료만을 이용한 원래의 결과와 크게 다르지 않았다. 또한, 일본의 연구 결과(Yue and Hashino, 2007)와 비교하였을 때는 평균가중거리 값이 상대적으로 높게 나타났고, 그 변동도 큰 것으로 나타났다.
- 55개 관측소를 이용한 결과는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과에 비하여 전체적으로 값이 높게 나타났다. 또한, 55개 관측지점 자료를 이용한 결과에서 각 기간별로 가장 낮은 값이 나온 확률분포형은 32개를 이용한 결과와 크게 다르지 않았으며, 몇몇 기간에서 상반된 결과를 보인 경우에도 순위에서 약간의 차이가 있는 정도였다.
- 그 결과, 연 강수량에서는 3변수 Weibull 분포(W3), 봄과 가을에는 3변수 대수정규분포(LN3), 여름과 겨울에는 일반화된 극치분포(GEV)가 관측값에 가장 잘 적합하는 것으로 나타났다. 또한, 월 강수량에서는 1월은 LN3, 2월과 7월은 W3, 3월은 2변수 Weibull 분포(W2), 4월, 9월, 10월, 11월은 일반화된 Pareto 분포(GPA), 5월과 6월은 GEV, 그리고 8월과 12월은 log-Pearson type III 분포(LP3)가 가장 잘 적합하였다. 하지만, 최적 확률분포형의 지점별 적합도 검정의 결과, 1월, 4월, 9월, 10월, 11월의 GPA와 LN3에 대한 기각율이 확률분포의 매개변수 추정에서의 오류와 상대적으로 높은 AWD 값으로 인하여 매우 높게 나타났다.
- 4는 연 강수량의 L-첨도–L-왜도 다이어그램이다. 여기서는 W3, P3, GEV 등이 비교적 표본의 평균과도 가깝고 표본의 분포를 잘 통과하고 있는 것으로 나타났다. 한편, Fig.
- Table 5는 55개 관측지점 자료를 이용하여 평균가중거리를 계산한 결과이다. 연 강수량의 경우 GEV가 가장 낮은 평균가중거리 값을 가지는 것으로 나타났다. 계절 강수량의 경우, GEV와 LN3, 월 강수량의 경우에는 32개 관측지점 자료를 이용한 결과와 마찬가지로 다양한 분포들이 각 월에서 가장 낮은 값을 가지는 것으로 나타났다.
- 월별 강수량의 경우, 1월, 2월, 3월, 5월, 7월, 10월, 12월에는 P3, 6월에는 LP3, 나머지 4월, 8월, 9월, 11월에는 LN3가 최고의 적합도를 나타내었다. 종합적으로 P3와 LP3가 가장 적절한 확률분포형인 것으로 나타났다.
- 특이한 점은 GPA가 4개의 월, 특히 가을(9월~11월)에 최적 분포로 나타난 것이다. 하지만, 계절 강수량에서 GPA는 상대적으로 큰 값을 가지고 있는 것으로 보아 월 강수량과 계절 강수량은 큰 관계가 없는 것으로 판단되었다.
- 또한, 월 강수량에서는 1월은 LN3, 2월과 7월은 W3, 3월은 2변수 Weibull 분포(W2), 4월, 9월, 10월, 11월은 일반화된 Pareto 분포(GPA), 5월과 6월은 GEV, 그리고 8월과 12월은 log-Pearson type III 분포(LP3)가 가장 잘 적합하였다. 하지만, 최적 확률분포형의 지점별 적합도 검정의 결과, 1월, 4월, 9월, 10월, 11월의 GPA와 LN3에 대한 기각율이 확률분포의 매개변수 추정에서의 오류와 상대적으로 높은 AWD 값으로 인하여 매우 높게 나타났다. 한편, 23개 관측소의 자료를 추가하여 분석해본 결과 기존의 32개의 관측소 자료를 이용한 것과 큰 차이를 나타내지 않았다.
- 하지만, 최적 확률분포형의 지점별 적합도 검정의 결과, 1월, 4월, 9월, 10월, 11월의 GPA와 LN3에 대한 기각율이 확률분포의 매개변수 추정에서의 오류와 상대적으로 높은 AWD 값으로 인하여 매우 높게 나타났다. 한편, 23개 관측소의 자료를 추가하여 분석해본 결과 기존의 32개의 관측소 자료를 이용한 것과 큰 차이를 나타내지 않았다. 종합적으로 보다 적합한 확률분포형을 선정하기 위해서는 더 장기간의 표본자료를 이용한 추가적인 연구가 필요할 것으로 판단된다.
- 또한, 월 강수량의 경우에는 1월은 LN3, 2월과 7월은 W3, 3월은 W2, 4월, 9월, 10월, 11월은 GPA, 5월과 6월은 GEV, 그리고 8월과 12월은 LP3이 최적 확률분포형으로 선정되는 등 월별로 다양한 결과를 나타내었다. 한편, 선정된 최적 확률분포형에 대하여 각 지점별로 적합성 검정을 실시한 결과, 월 강수량 중 GPA와 LN3에 대한 기각율이 매우 높게 나타났으며, 이것은 확률분포의 매개변수 추정에서의 오류와 상대적으로 높은 AWD 값으로 인한 것으로 생각되었다. 그리고 추가적으로 23개 관측지점 자료를 추가하여 분석한 결과, 32개 관측지점 자료만을 이용한 원래의 결과와 크게 다르지 않았다.
후속연구
- 또한, 일본의 연구 결과(Yue and Hashino, 2007)와 비교하였을 때는 평균가중거리 값이 상대적으로 높게 나타났고, 그 변동도 큰 것으로 나타났다. 결론적으로 각 강수량에 보다 적합한 확률분포형을 선정하기 위해서는 본 연구에서 이용한 자료보다 더 장기간의 것을 이용한 추가적인 연구가 필요할 것으로 판단되었다.
- 충분히 긴 관측기간 동안의 자료 즉 충분한 표본 크기를 가진 자료는 L-모멘트의 표본오차를 최소한으로 줄여서 평균가중거리의 값도 감소시킨다. 그러므로 보다 신뢰할 만한 최적 확률분포형을 선정하기 위해서는 보다 긴 기간의 자료를 이용한 연구가 필요할 것이다.
- 한편, 23개 관측소의 자료를 추가하여 분석해본 결과 기존의 32개의 관측소 자료를 이용한 것과 큰 차이를 나타내지 않았다. 종합적으로 보다 적합한 확률분포형을 선정하기 위해서는 더 장기간의 표본자료를 이용한 추가적인 연구가 필요할 것으로 판단된다.
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