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공간시계열 모형의 칼만필터 추정과 예측
Kalman-Filter Estimation and Prediction for a Spatial Time Series Model 원문보기

한국통계학회 논문집 = Communications of the Korean Statistical Society, v.18 no.1, 2011년, pp.79 - 87  

이성덕 (충북대학교 정보통계학과) ,  한은희 (충북대학교 정보통계학과) ,  김덕기 (충북대학교 정보통계학과)

초록
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공간적, 시간적으로 퍼져나가는 전염성이 강한 질병인 수두자료를 이용하여 공간 시계열 자료를 분석하는데 있어 일반적으로 알려진 ARIMA 모형에 적합하여 분석을 행하면 공간적인 정보를 반영하지 못하기 때문에 기존에 시간만을 고려한 시계열 분석방법에 공간통계의 공간적 정보를 반영한 공간시계열 모형을 고려한다. 공간시계열 모형에서 공간의 위치 및 영향은 시계열 모형에 공간적 정보로써 가중치행렬을 더 함으로써 처리 가능해진다. 가중치행렬은 지리적으로 인접한 지역일수록 공간의존도가 높다는 것을 반영한 것이며 공간시계열 모형의 연구에서 가중치행렬은 인접한 지역들은 동일한 영향을 줄 것이라 가정하였다. 따라서 본 논문에서는 공간시계열 모형인 STARMA 모형과 STBL 모형에 대한 식별방법, 통계적 추론 및 예측력 비교에 대해 연구하였고 특히, 모수추정의 알고리즘 비교와 공간시계열 모형의 예측력 비교를 통해 Kalman-Filter 방법의 우수성을 보이고자 한다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

A spatial time series model was used for analyzing the method of spatial time series (not the ARIMA model that is popular for analyzing spatial time series) by using chicken pox data which is a highly contagious disease and grid data due to ARIMA not reflecting the spatial processes. Time series mod...

주제어

#가중치행렬  

AI 본문요약
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제안 방법

  • 여기서 2005년 8월부터 2009년 8월 자료까지의 월별자료만을 이용하여 모형을 추정하였고 나머지 자료는 예측력을 비교하는데 사용하였다. 많은 지역에서 발생한 수두 자료를 정상성 가정을 만족시키기 위해 분산안정화 변환을 하고 원래 자료의 계절성을 조정하기 위해 12차분을 실시하고 추세제거를 위해 1차 차분을 실시하였다. 분산안정화 변환은 h(z) = #의 변환을 취하였으며, 자료를 표준화하여 근사적으로 정규분포에 따르도록 변환하였다.
  • 본 논문에서는 Pfeifer와 Deutsch (1981)가 제시한 공간시계열 모형으로 기존의 자기회귀이동평균(ARMA) 모형에 공간정보를 포함시킨 공간시계열자기회귀이동평균(STARMA) 모형과 Billard와 Dai (1998)가 제시한 비선형 시계열 모형인 중선형(BL) 모형에 공간정보로써 가중치행렬을 결합한 공간시계열중선형(STBL) 모형에 대한 통계적 추론에 있어서 모형의 복잡성과 비선형성때문에 수치해석적 방법을 고려해야 하는데 Billard와 Dai (2003)가 기존의 연구에서 제한한 알고리즘 중 추정의 정도와 예측력이 우수한 Kalman-Filter 방법에 초점을 맞춰 공간시계열 모형에 대한 통계적추론방법을 연구하고 실증분석으로 한국의 수두(Chicken Pox)자료를 이용해 Newton-Raphson과 Kalman-Filter 방법의 추정의 정도와 공간시계열 모형에따른 예측력을 비교분석한다.
  • 본 연구에서는 공간적 정보를 공간 가중치행렬을 이용하여 모형에 반영한 공간시계열 모형을 연구하였고 이 분야에서 모수추정의 경우 모형이 매우 복잡하여 수치해석적인 방법을 이용할 것을 제안해 왔는데 그 중 Newton-Raphson 방법과 Kalman-Filter 방법을 이용하여 모수추정의 수월성을 비교하였다. 뉴턴랍슨 방법의 경우는 초기치 선정문제와 수렴성의 문제가 있는 것으로 알려져 있으며, 이러한 단점을 극복하기 위해 칼만필터 방법을 연구하였고, 실증분석 결과에서도 확인하였듯이 모수추정 및 예측에 있어 칼만필터 방법이 매우 탁월함을 알 수 있었으며, 공간시계열 모형간의 비교에서는 STARMA 모형에 비해 확률적 변동성을 잘 반영해주는 STBL 모형의 예측 정확도가 더 높게 나타났다.
  • 본 논문에서 사용된 수두는 한국질병관리본부에서 2005년 8월부터 2010년 2월까지 전염성 감시체계로 전산 보고된 15개 시도의 월별 자료이다. 사용된 수두 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 포아송 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환과 1차로 계절차분을 통해 계절성을 제거한 후 제거 후 추세성도 보여 추세제거 후 정상시계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키기 위해 각 시도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다. 여기서 2005년 8월부터 2009년 8월 자료까지의 월별자료만을 이용하여 모형을 추정하였고 나머지 자료는 예측력을 비교하는데 사용하였다.
  • Kalman-Filter 모형은 측정되지 않은 상태변수를 추정해 내고 추정된 잡음(noise)의 영향을 최소화하는 것이며 기본 전제는 관측값에도 오차가 있다는 것이다. 오차가 포함된 관측값 정보를 이용하여 추정값을 갱신하고 최적추정(optimal estimation)을 한다. Kalman-Filter에서는 추정값 행렬과 관측값 행렬간의 선형결합에 의해 최적 추정행렬을 구할 수 있고, Kalman-Filter 모형은 크게 세 부분으로 구분할 수 있는데 시스템방정식, 관측방정식, Kalman-Filtering의 세부분이다.

대상 데이터

  • 본 논문에서 사용된 수두는 한국질병관리본부에서 2005년 8월부터 2010년 2월까지 전염성 감시체계로 전산 보고된 15개 시도의 월별 자료이다. 사용된 수두 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 포아송 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환과 1차로 계절차분을 통해 계절성을 제거한 후 제거 후 추세성도 보여 추세제거 후 정상시계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키기 위해 각 시도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다.
  • 사용된 수두 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 포아송 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환과 1차로 계절차분을 통해 계절성을 제거한 후 제거 후 추세성도 보여 추세제거 후 정상시계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키기 위해 각 시도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다. 여기서 2005년 8월부터 2009년 8월 자료까지의 월별자료만을 이용하여 모형을 추정하였고 나머지 자료는 예측력을 비교하는데 사용하였다. 많은 지역에서 발생한 수두 자료를 정상성 가정을 만족시키기 위해 분산안정화 변환을 하고 원래 자료의 계절성을 조정하기 위해 12차분을 실시하고 추세제거를 위해 1차 차분을 실시하였다.

이론/모형

  • 공간시계열 모형의 식별은 시간차수와 공간차수를 선택하는 문제이며, 공간시계열 자기상관함수(STACF)와 공간시계열 편자기상관함수(STPACF)를 구하여 감소패턴과 절단형태를 고려하여 시간 차수와 공간 차수를 결정하는데 본 연구에 활용된 자료의 경우 두 함수 모두에서 지수적으로 감소하는 경향을 보이는 것을 그림 4를 통해서 알 수 있다. 따라서 STACF와 STPACF의 명확한 패턴을 보이지 않으므로 모형선택에 어려움이 있어 공간과 시간차수를 적절히 고려하여 경쟁 모형들의 AIC값을 비교해 공간시계열 자기회귀 모형은 STARMA(11, 11)로 공간시계열 중선형 모형은 STBL(11, 11, 11, 11) 모형으로 최종 선택하였다.
  • 또한 STBL(11, 11, 11, 11) 모형은 Θ = (ϕ0, ϕ1, θ0, θ1, β00, β01, β10, β11)인 8개의 모수를 가진다. 모수추정을 위해 수치해석적 알고리즘으로 기존에 많이 활용되고 있는 Newton-Raphson 방법과 본 연구에서 초점을 두고 있는 Kalman-Filter 방법을 통해 추정한 결과는 표 1과 같다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
공간시계열 자료가 나타나는 범위는? 다시 말해 공간시계열 자료는 특정 위치에서 관측되어진 자료가 과거의 시간과 주변 공간의 영향을 동시에 받아 나타나는 자료이다. 공간시계열 자료는 기상학(Metrology), 지질학(Geology), 천문학(Astronomy), 생태학(Ecology) 및 역학(疫學, Epidemiology)과 같은 전염병 확산 모형에까지도 광범위하게 나타나고 있다. 공간시계열 자료에 기존의 전통적인 ARIMA 모형을 적용할 경우 인근지역의 공간적 정보가 배제되어 각 지역별로 여러 모형과 추정해야할 많은 모수가 고려되어 모수절약의 원칙에도 맞지 않으며 추정과 예측의 오차가 커지고 공간적인 의존성을 반영하지 못한 단순한 자료분석이 된다.
공간시계열 자료란? 공간시계열 자료는 시계열 자료(Time series data)와 공간 위치의 변화에 따라 관찰되는 공간자료(Space data)의 결합이다. 다시 말해 공간시계열 자료는 특정 위치에서 관측되어진 자료가 과거의 시간과 주변 공간의 영향을 동시에 받아 나타나는 자료이다.
시계열 모형에 공간통계를 결합한 공간시계열 모형 방법은 어떤점을 극복하기 위한 것인가? 공간시계열 자료는 기상학(Metrology), 지질학(Geology), 천문학(Astronomy), 생태학(Ecology) 및 역학(疫學, Epidemiology)과 같은 전염병 확산 모형에까지도 광범위하게 나타나고 있다. 공간시계열 자료에 기존의 전통적인 ARIMA 모형을 적용할 경우 인근지역의 공간적 정보가 배제되어 각 지역별로 여러 모형과 추정해야할 많은 모수가 고려되어 모수절약의 원칙에도 맞지 않으며 추정과 예측의 오차가 커지고 공간적인 의존성을 반영하지 못한 단순한 자료분석이 된다. 이러한 단점을 보완하기 위해 시계열 모형에 공간통계를 결합한 공간시계열 모형에 대한 추정 및 예측방법에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다 (이성덕 등, 2007).
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참고문헌 (6)

  1. 이성덕, 이응준, 박용석, 주재선, 이건명 (2007). 공간시계열 자료에 대한 STARMA 모형과 STBL 모형의 예측력 비교, , 20, 91？102. 

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  2. Billard, L. and Dai, Y. (1998). A space-time bilinear model and its identification, Journal of Time Series Analysis, 19, 657-679. 

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  3. Billard, L. and Dai, Y. (2003). Maximum likelihood estimation in space time bilinear model, Journal of Time Series Analysis, 24, 25-44. 

    상세보기 crossref

  4. Harvey, A. C. (1989). Forecasting, Stuctural Time Series Models and The Kalman Filter, Cambridge University, Cambridge. 

  5. Kalman, R. E. (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems, Transaction ASME Journal of Basic Engineering Series D, 83, 95-108. 

  6. Pfeifer, P. E. and Deutsch, S. J. (1981). Space-time ARMA modeling with contemporaneously correlated innovations, Technometrics, 23, 401？409. 

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