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문제 정의
- 확률 비교와 관련된 문항은 공이 들어 있는 상자를 비교하는 문항과 회전판 영역에 따른 사건의 가능성을 비교하는 문항으로 이루어져 있다. 두 문항 모두 전체의 수는 다르지만 전체와 부분의 비의 값이 같기 때문에 해당 사건이 일어날 가능성이 같은 상황으로 제시하였다. 확률 비교 문항에 대해 3, 4, 5학년별 평균 이해 수준에 차이가 있는지를 알아보기 위해 분산분석을 실시한 결과는 다음과 같다.
- 본 연구는 3, 4, 5학년 학생들의 확률 이해 수준이 어떠한지를 살펴보기 위해 여섯 가지 확률 개념을 통해 학생들의 반응을 살펴보고, 이해 수준을 분석하였다. 본 연구에서 얻은 결과를 바탕으로 선행 연구 및 수학 교수·학습과 관련지어 논의해 보고자 한다.
- 본 연구에서 얻은 결과를 바탕으로 선행 연구 및 수학 교수·학습과 관련지어 논의해 보고자 한다.
- 이러한 관점에서 본 연구는 Jones, Langrall,Thornton, Mogill(1997, 1999)이 제시한 확률 이해 분석 기준과 확률에 관한 연구들을 통합하여 분석의 기준으로 하여 확률을 학습하지 않은 초등학생들의 확률이해 수준을 분석하고 학생들의 확률 학습 가능성을 탐색하였다.
제안 방법
- 5점, 3수준-3점, 4수준-4점을 지정하여 각 개념의 합계 빈도수에 따른 평균 점수를 산출하였다. 다면 표본공간에 대해서는 각각의 문항이 단순사건과 복합사건을 다루고 있기 때문에 두 문항의 결과를 통합하여 하나의 결과를 제시하였다.
- 본 연구를 위해서는 소수의 학생을 대상으로 하기보다는 비교적 많은 학생을 대상으로 객관적인 기준에 의해 확률의 이해 실태를 점검하는 것이 더 유용하다. 따라서 양적 연구방법을 통해 학생들의 확률 이해 실태를 조사하여 수준별로 나누어 확률적 사고 수준을 분석하였다. 연구대상은 대전광역시 소재 초등학교 중, 학생 수준과 가정의 사회 경제적 수준이 중간 정도에 속하는 학교를 4개 표집 하여 3, 4, 5학년 각 1개 반씩 총 12개 반의 3학년 118명, 4학년 115명, 5학년 115명을 연구대상으로 하였다.
- 본 검사에 앞서 검사 시간, 진술 형태, 검사 문항 수, 검사 실시 상의 유의점, 학생들의 반응 경향에 대해 전반적인 검토와 수정을 위해 예비 검사를 실시하였다. 예비 검사는 대전광역시 소재 S초등학교 3, 4, 5학년 각 1개 반을 대상으로 연구자가 직접 실시하였으며 담임교사 및 학생들에게 검사의 목적, 실시 상의 유의점에 대해 충분히 전달하였다.
- 수집된 자료의 분석 결과에 대한 객관도를 알아보기 위해 연구자를 포함한 3인의 채점자를 선정하여 채점자간 신뢰도를 산출하였다. 채점자간의 분류 일치도를 추정하는 일치도 통계법을 이용하여 채점자간 신뢰도를 추정하였고(성태제, 2002), 일치도를 구한 결과분석 기준에 신뢰성이 있는 것을 알 수 있었다.
- 예비 검사는 대전광역시 소재 S초등학교 3, 4, 5학년 각 1개 반을 대상으로 연구자가 직접 실시하였으며 담임교사 및 학생들에게 검사의 목적, 실시 상의 유의점에 대해 충분히 전달하였다. 예비 검사 결과를 분석함으로써 도출된 문제점을 수정․보완하여 본 검사지에 반영하고 본 검사를 실시하였다.
- 우리나라 교육과정에서는 확률이 6학년에서만 도입되고 있으므로 3, 4, 5학년에게 적절한 수준의 확률 개념을 선정하기 위해 Watson & Moritz(2003), Baroody& Coslick(1998), Reys, Lindquist, Lambdin, &Smith(2009), English(1991), Small(2009), 박영훈(2008),Jones et al. (1999), Tarr & Jones(1997), Fischbein &Grazit(1984)의 연구에서 제시한 확률의 기본 개념에 관한 문항을 선별하여 사용하고 경우에 따라 연구자가 수정·보완 하였다.
- 따라서 본 연구에서는 Jones et al.의 연구에 이들의 연구를 통합하고, 과도기적 수준에 다수의 학생들이 포함되어 있어 이들의 수준을 세분화 할 필요가 있다고 판단되어 2수준을 2-1수준과 2-2수준으로 세분하여 이를 본 연구에서의 확률 이해 실태 분석의 기준으로 하였다.
- 이상에서 학생들의 확률 이해 수준을 개념별로 살펴보았다. 개념별 이해수준은 표본공간, 사건의 확률, 공평성, 확률 비교, 독립성, 조건부 확률의 순으로 높게 나타났고, 학년별 이해 수준은 전반적으로 5학년, 4학년, 3학년 순으로 높게 나타났으며 독립성에 대해 학년 간에 의미 있는 수준 차이가 없다는 것을 확인할 수 있었다.
대상 데이터
- 따라서 양적 연구방법을 통해 학생들의 확률 이해 실태를 조사하여 수준별로 나누어 확률적 사고 수준을 분석하였다. 연구대상은 대전광역시 소재 초등학교 중, 학생 수준과 가정의 사회 경제적 수준이 중간 정도에 속하는 학교를 4개 표집 하여 3, 4, 5학년 각 1개 반씩 총 12개 반의 3학년 118명, 4학년 115명, 5학년 115명을 연구대상으로 하였다.
데이터처리
- 채점자간의 분류 일치도를 추정하는 일치도 통계법을 이용하여 채점자간 신뢰도를 추정하였고(성태제, 2002), 일치도를 구한 결과분석 기준에 신뢰성이 있는 것을 알 수 있었다. 검사지 분석 기준의 신뢰성을 바탕으로 코딩한 학생들의 수준을 빈도분석과 학년 간 분산분석을 실시하였고, 평균 수준을 산출하는 과정에서 1수준-1점. 2-1수준-2점, 2-2수준-2.
- 수집된 자료의 분석 결과에 대한 객관도를 알아보기 위해 연구자를 포함한 3인의 채점자를 선정하여 채점자간 신뢰도를 산출하였다. 채점자간의 분류 일치도를 추정하는 일치도 통계법을 이용하여 채점자간 신뢰도를 추정하였고(성태제, 2002), 일치도를 구한 결과분석 기준에 신뢰성이 있는 것을 알 수 있었다. 검사지 분석 기준의 신뢰성을 바탕으로 코딩한 학생들의 수준을 빈도분석과 학년 간 분산분석을 실시하였고, 평균 수준을 산출하는 과정에서 1수준-1점.
성능/효과
- 이상에서 학생들의 확률 이해 수준을 개념별로 살펴보았다. 개념별 이해수준은 표본공간, 사건의 확률, 공평성, 확률 비교, 독립성, 조건부 확률의 순으로 높게 나타났고, 학년별 이해 수준은 전반적으로 5학년, 4학년, 3학년 순으로 높게 나타났으며 독립성에 대해 학년 간에 의미 있는 수준 차이가 없다는 것을 확인할 수 있었다. 문항별로는 연속량의 문항보다는 이산량의 문항에서 학생들의 이해가 높았다.
- 92로 월등히 높은 수준을 나타냈다. 그러나 독립성 1.89, 조건부 확률 1.56으로 2수준 이하의 낮은 이해를 보였으며 조건부 확률에 대한 이해가 특히 낮다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 학년이 증가함에 따라 평균 수준이 비슷한 폭으로 증가하는 것을 알 수 있다.
- 넷째, 독립성에 대한 이해 수준은 조건부 확률 다음으로 낮았으며, 유일하게 학년 간에 유의한 수준 차이가 없는 개념이었다. 이는 독립성이 인지 발달에 따라 자연스럽게 발달하는 개념이 아니라는 것을 보여준다.
- 다섯째, 조건부 확률에 대한 이해 수준은 매우 낮았으며, 특히 비복원 상황에서의 확률 변화를 전혀 인지하지 못하는 학생들이 49.9%나 되었고, 양적으로 추론할 수 있는 3수준 이상을 보인 학생들도 전체의 2.4%에 불과했다. 이것은 Fischbein & Grazit(1984)의 연구에서 학생들이 복원 추출의 과제에 비해 비복원 추출의 과제 수행 능력이 현저하게 낮았던 것과 일치되는 결과이다.
- 둘째, 사건의 확률에 대해 3수준 이상을 보인 학생들은 33.3%로 표본공간 다음으로 많게 나타났다. 이러한 결과는 확률을 배우지 않은 학생들도 사건의 가능성을 양적으로 표현할 있음을 보여주는 결과이다.
- 이를 통해 학생들은 연속량보다는 이산량에 따른 사건의 확률을 예측함에 있어, 주관적 수준(1수준)의 사고를 많이 하지만, 양적 수준(3수준)의 사고 또한 많이 한다는 것을 알 수 있다. 반면, 연속량에서 사건의 확률을 예측하는 문항에서는 주관적인 수준의 사고와 양적 수준의 사고가 문항6에 비해 훨씬 적으며 대부분 그 중간 단계인 과도기적 수준의 사고(66.3%)를 하고 있다는 것을 알 수 있다.
- 사건의 확률 문제에서 나타난 학생들의 수준은 2수준이 가장 많았으며, 2-1수준 10.2%, 2-2수준 34.9%,전체 45.1%로 나타났다. 학년별로는 3학년 47.
- 즉, 1수준, 2-1수준, 2-2수준의 학생들이 학년이 올라감에 따라 학생 수가 감소하였지만, 3수준과 4수준은 학년에 따라 증가하였다. 사후검정(Scheffe test)을 실시한 결과, 유의확률 .000에서 3학년과 5학년, 4학년과 5학년의 수준도 큰 차이가 있음을 확인할 수 있었고, 이를 통해 학년 변화에 따른 이해의 발달이 뚜렷함을 알 수 있다
- 셋째, 확률 비교에서는 3, 4학년 학생들에 비해 5학년 학생들이 통계적으로 유의미한 높은 수준을 보였는데, 수학적 확률의 차이가 없으나 표본공간의 크기가 다른 두 사건의 가능성을 양적으로 추론하기 위해서는 먼저 비례 개념이 선행되어야 한다. Fischbein(1975)은 학생들이 사건의 가능성에 관한 직관적 이해가 부족하기 때문에 다른 수학적 조작들에 비해 확률의 비교가 어렵다는 것을 확인하였다.
- 8%의 학생들이 있었다. 이를 통해 학생들은 이산량에 따른 공평성을 구분하는 문항에 대해 주관적 추론과 양적 추론을 하는 반면, 연속량에서의 공평성을 구분하는 문항에서는 2수준(2-1수준 12.1%, 2-2수준 58.6%)이 훨씬 많아 주관적 추론과 양적 추론보다는 그 중간 단계인 과도기적 추론을 활용하고 있다는 것을 알 수 있다.
- 이는 대상이 아닌 모든 사건의 확률변화를 한 번에 인식하는 것보다는 한 가지 사건의 확률 변화를 인식할 수 있는 학생들이 더 많다는 것을 의미한다. 조건부 확률에 대한 이해가 이루어지지 않은 상태에서 한꺼번에 많은 정보를 인식하기보다는 정보가 하나씩 주어졌을 때 인식할 수 있는 학생들의 비율이 높았다.
- 동전을 던지는 실험은 이전의 사건이 다음 사건에 영향을 주지 않은 독립 사건이기 때문에 두 문항의 정답은 ‘일어날 가능성이 같다’이다. 조건부 확률을 제외한 4개의 영역에서 평균 2수준 이상을 보인 것에 비해 독립성의 평균 수준은 1.89로 비교적 낮은 수준을 보였다. 독립성에 대해 3, 4, 5학년별 평균 이해 수준에 차이가 있는지를 알아보기 위해 분산분석을 실시한 결과는 다음과 같다.
- 이를 통해 조건부 확률은 초등학생들의 인지 수준에 적합하지 않은 개념이며 인지 구조가 발달한 상위 학년에서 학습해야 하는 개념이라고 판단할 수 있다. 종합적으로 살펴보면, 학생들은 독립성과 조건부 확률에 대해 낮은 이해를 보였고 표본공간, 사건의 확률, 공평성, 확률 비교에 대해 상대적으로 높은 이해를 나타내었다. 표본공간, 사건의 확률, 공평성, 확률 비교에 대해 본 연구에서 드러난 세부적인 결과들을 토대로 3, 4, 5학년 교육과정에 이들의 도입 가능성을 고려해 볼 수 있을 것이다.
- 첫째, 학생들의 확률 개념 평균 이해 수준은 표본공간 >> 사건의 확률 > 공평성 > 확률 비교 > 독립성 >> 조건부 확률 순이었고, 모든 학년에서 같은 결과를 나타냈다.
- 확률 개념별 평균 수준은 공평성 2.23, 사건의 확률 2.28, 확률 비교 2.18로 비슷한 수준을 보이고 있으며, 표본공간이 2.92로 월등히 높은 수준을 나타냈다. 그러나 독립성 1.
후속연구
- 특히, 체계적인 방법으로 복합사건의 결과를 나열하는 학생들이 많았다. 3, 4, 5학년 학생들이 수형도에 대해 배우지 않았지만, 비형식적인 방법에 근거하여 두 단계 사이의 관계를 인식하여 스스로 자기만의 방법을 만들어 가능한 결과를 나타낼 수 있는 것으로 보아, 좀 더 체계적인 방법인 수형도에 대한 학습이 가능할 것이라고 예측할 수 있다.
- (1997, 1999)은 표본공간, 사건의 확률, 확률 비교, 조건부 확률에 대한 4가지 사고 수준의 틀을 제시하였다. 본 연구는 확률 학습이 이루어지지 않은 학생들을 대상으로 한 연구이므로 각 개념에 대한 심층적인 선행연구 분석을 토대로 본 연구를 위한 세분화 된 분석 기준을 제시할 필요가 있었다. Watson& Moritz(2003)은 학생들에게 개별 면담을 통해 주사위의 공평성에 대한 신념을 조사하여 이해 수준을 분석하였고, English(1991)는 표본공간의 서술형 과제에 대한 학생들의 전략을 여섯 가지로 범주화 하였으며, Acredolo, O'Connor, Banks & Horobin(1989)은 학생들이 사건의 가능성이 크거나 적은 결과를 나타낼 때 사용하는 전략을 범주화 하였다.
- 본 연구를 위해서는 소수의 학생을 대상으로 하기보다는 비교적 많은 학생을 대상으로 객관적인 기준에 의해 확률의 이해 실태를 점검하는 것이 더 유용하다. 따라서 양적 연구방법을 통해 학생들의 확률 이해 실태를 조사하여 수준별로 나누어 확률적 사고 수준을 분석하였다.
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