학교수학에서 정적분과 치환적분법의 개념은 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화와 관련하여 수학적 연결성을 가진다. 그러나 개정교육과정의 '미적분과 통계 기본', '적분과 통계' 과목의 교육과정해설서와 검인정 교과서 및 익힘책에서 적분단원과 통계단원 사이의 수학적 연결성 고려가 어려움을 발견하였다. 본 연구는 학교수학에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화에 대하여 적분단원과의 수학적 연결성을 고려한 지도방안 마련을 목적으로 한다. 세개념에 대한 학생대상 실태조사와 개정교육과정의 교육과정해설서, 교과서, 익힘책, 그리고 국내 외 통계학(확률론) 도서(국내 13종, 국외 22종)의 내용을 비교하였다. 이를 바탕으로 세 개념에 대한 지도내용을 개발하여 실제 수업에 적용해보았고, 교육과정개정이나 교과서의 내용구성 변화에 대한 시사점을 발견하여 그 결과를 제언하였다.
학교수학에서 정적분과 치환적분법의 개념은 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화와 관련하여 수학적 연결성을 가진다. 그러나 개정교육과정의 '미적분과 통계 기본', '적분과 통계' 과목의 교육과정해설서와 검인정 교과서 및 익힘책에서 적분단원과 통계단원 사이의 수학적 연결성 고려가 어려움을 발견하였다. 본 연구는 학교수학에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화에 대하여 적분단원과의 수학적 연결성을 고려한 지도방안 마련을 목적으로 한다. 세개념에 대한 학생대상 실태조사와 개정교육과정의 교육과정해설서, 교과서, 익힘책, 그리고 국내 외 통계학(확률론) 도서(국내 13종, 국외 22종)의 내용을 비교하였다. 이를 바탕으로 세 개념에 대한 지도내용을 개발하여 실제 수업에 적용해보았고, 교육과정개정이나 교과서의 내용구성 변화에 대한 시사점을 발견하여 그 결과를 제언하였다.
In school mathematics, concepts of definite integral and integration by substitution have mathematical connection with introduction of probability density function, expectation of continuous random variable, and standardization of normal distribution. However, we have difficulty in finding mathemati...
In school mathematics, concepts of definite integral and integration by substitution have mathematical connection with introduction of probability density function, expectation of continuous random variable, and standardization of normal distribution. However, we have difficulty in finding mathematical connection between integration and continuous probability distribution in the curriculum manual, 13 kinds of 'Basic Calculus and Statistics' and 10 kinds of 'Integration and Statistics' authorized textbooks, and activity books applied to the revised curriculum. Therefore, the purpose of this study is to provide a teaching method connected with mathematical concepts of integral in regard to three concepts in continuous probability distribution chapter-introduction of probability density function, expectation of continuous random variable, and standardization of normal distribution. To find mathematical connection between these three concepts and integral, we analyze a survey of student, the revised curriculum manual, authorized textbooks, and activity books as well as 13 domestic and 22 international statistics (or probability) books. Developed teaching method was applied to actual classes after discussion with a professional group. Through these steps, we propose the result by making suggestions to revise curriculum or change the contents of textbook.
In school mathematics, concepts of definite integral and integration by substitution have mathematical connection with introduction of probability density function, expectation of continuous random variable, and standardization of normal distribution. However, we have difficulty in finding mathematical connection between integration and continuous probability distribution in the curriculum manual, 13 kinds of 'Basic Calculus and Statistics' and 10 kinds of 'Integration and Statistics' authorized textbooks, and activity books applied to the revised curriculum. Therefore, the purpose of this study is to provide a teaching method connected with mathematical concepts of integral in regard to three concepts in continuous probability distribution chapter-introduction of probability density function, expectation of continuous random variable, and standardization of normal distribution. To find mathematical connection between these three concepts and integral, we analyze a survey of student, the revised curriculum manual, authorized textbooks, and activity books as well as 13 domestic and 22 international statistics (or probability) books. Developed teaching method was applied to actual classes after discussion with a professional group. Through these steps, we propose the result by making suggestions to revise curriculum or change the contents of textbook.
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문제 정의
교육과정해설서에서 확률밀도함수를 도입하는 방법으로 제시한 분포함수는 비록 일반계고등학교 학생들이 배우지 않은 내용이지만, 연구자는 검사문항(4)를 통해 분포함수에 대한 학생들의 직관적 이해를 알아보려고 하였다.
즉, 학생들이 수업을 통해 수학적 아이디어가 서로 어떻게 연결되어 있는지 이해하고 각각의 아이디어에 기초하여 일관된 전체를 산출할 수 있도록 하는 수학적 연결을 강조하였다. 그러한 수업을 위한 교사의 역할이 중요하며, 수학 학습에서 연결성을 구축할 수 있는 다양한 수업 사례들을 제시하였다. 이에 Sfard(2003)는 학습자 중심의 교육과정 원리를 벗어나지 않은 범위에서 학생들로 하여금 구조를 이해시키기 위한 수학적 연결성의 의미를 강조하였는데, 그러한 균형 맞추기는 교사의 책임이자 의무라고까지 하였다.
그러나 통계는 실제 생활과 연관되어 발전해왔으므로 맥락을 배제하고 수학적 표현으로만 이해하기에는 어려운 점이 많으며(박영희, 2002), 학생들은 통계적 방법을 어떻게 적용하고 결과를 어떻게 해석 하는지 알지 못한 채 단지 기술만을 익히게 된다(Mallows, 1998). 따라서, 본 연구에서는 학생들의 확률밀도함수 개념에 대한 이해를 돕기 위하여 이산확률변수의 밀도도수 히스토그램을 근사시킨 하나의 모형으로서 연속확률변수의 확률밀도함수를 도입하되, 중간값 정리, 정적분, 무한급수의 개념을 연결시켜 확률밀도 함수의 세 가지 성질을 제시하였다. 나아가 연속확률변수의 기댓값을 정의할 때에는 정적분과 무한급수의 개념을 연결시켜 정의하였다.
본 연구는 교육과정상 한 과목-‘미적분과 통계 기본' 또는 ‘적분과 통계'- 내에서 단원 간의 수학적 연결성을 고려한 지도내용을 개발한 뒤, 실제 수업에의 적용 효과를 기술하였다.
본 연구는 연속확률분포단원에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화에 대하여 적분단원과의 수학적 연결성을 고려한 지도방안 마련을 목적으로 한다.
본 연구의 목적은 학교수학의 연속확률분포 단원에서 확률밀도함수의 도입과 연속확률변수의 기댓값을 정의하는 데 중간값 정리, 정적분의 정의 및 정적분과 무한급수의 관계에 대한 개념을 연결시키고, 정규분포의 표준화를 치환적분법과 연결시키는 지도방안을 마련하는데 있다.
가설 설정
[2] 확률밀도함수 f(x)가 확률 그 자체를 의미하는 것이 아니다.
ii) 자료의 개수를 더 늘리고 계급의 크기를 더 작게 하면 위 i)의 도수분포다각형이 종 모양의 매끄러운 곡선에 가까워진다. 이 곡선은 항상 x축 위에 있고, 주어진 구간에서 이 곡선의 아랫부분과 x축 사이의 넓이는 1이 된다.
제안 방법
각 학급별로 을 적용한 70분간의 수업에 이어 70분간의 수업 내용에 대한 토론을 실시하였다.
개발된 검사지를 고등학교 3학년 자연계열 학생 134명에게 적용한 다음, 개정교육과정의 교육과정해설서, 교과서 및 익힘책, 국내·외 통계학(확률론) 도서의 관련 단원 내용 비교를 바탕으로 정적분 및 치환적분법의 개념과 수학내적 연결성을 가지는 연속확률분포단원의 지도내용()을 개발하였다.
검사문항(1)은 정적분의 정의에 대한 이해정도를 알아보기 위한 문항으로서 Resslan과 Tall(2002), 신보미(2009)가 이용한 문항을 발췌하였고, 검사 문항(2)는 자연수의 거듭제곱의 합 공식18)을 이용하지 않고 정적분의 정의를 이용하여 무한급수의 합을 구할 수 있는 문항 중 가장 간단한 것으로서 정적분과 무한급수의 관계에 대한 학생들의 이해정도를 알아보기 위한 문항이었다. 검사문항 (3), (4), (5)는 [1], [2]가, 검사문항 (6)은 [3]이 학교수학에 어느 정도 반영되고 있는 가를 알아보기 위한 것으로서 확률밀도함수의 도입과 관련하여 시사점을 얻기 위함이었다.
검사지 적용 후 연구자가 교과서 및 익힘책, 국내·외 통계학(확률론) 도서의 내용을 검토하여 개발한 을 적용한 수업은 2011년 3월 12일부터 4월 16일까지 6주간 매주 토요일마다 한 학급 또는 두 학급에 실시되었다.
따라서, 본 연구에서는 학생들의 확률밀도함수 개념에 대한 이해를 돕기 위하여 이산확률변수의 밀도도수 히스토그램을 근사시킨 하나의 모형으로서 연속확률변수의 확률밀도함수를 도입하되, 중간값 정리, 정적분, 무한급수의 개념을 연결시켜 확률밀도 함수의 세 가지 성질을 제시하였다. 나아가 연속확률변수의 기댓값을 정의할 때에는 정적분과 무한급수의 개념을 연결시켜 정의하였다. 또, 정규분포의 표준화는 치환적분법의 개념과 연결시켜 설명하였다.
다섯째, 고등학교 교육과정에서 선분의 넓이를 정의할 수 없음에도 불구하고 [3]에 대한 검사문항(6)의 응답에서 60명의 학생들이 선분의 넓이가 0임을 이용(무한소 해석을 일부 이용) 하였다. 이는 학생들이 적분단원에서는 닫힌구간에서 정적분과 넓이를 정의하는데 비해 통계단원에서는 열린구간 또는 반열린구간에서의 정적분으로 연속확률변수의 확률을 구하는 데서 비롯된 것으로 보인다.
먼저 적분단원과 연속확률분포단원의 수학적 연결성 정도에 대한 학생들의 실태를 조사한 뒤, 개정교육과정의 ‘미적분과 통계 기본’, ‘적분과 통계’과목의 교육과정해설서, 교과서 및 익힘책 전부2)(23종 전 46권)와 국내외 통계학(확률론) 도서(국내 13종, 국외 22종, 전 35권)에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화가 어떻게 다루어지는지를 비교해 본다.
연구대상 학생들에게 검사지를 적용하여 해당단원에 대한 연결성 관련 실태를 파악하였고, 교육과정해설서, 교과서 및 익힘책 그리고 국내·외 통계학(확률론) 도서의 내용 비교를 바탕으로 전문가 그룹과의 논의19)를 거쳐 수학적 연결성을 고려한 지도내용()을 개발하였다.
연구대상 학생들은 이미 학교에서 ‘적분과 통계’과목의 학습을 마친 것으로 확인되었으며, 검사지 적용은 2011년 2월 19일 8개 학급에 동시에 20분간 실시하였다.
연구자는 연속확률분포를 다루는 국내 13종, 국외 22종의 통계학(확률론) 도서에서 첫째, 확률밀도함수의 도입 방법, 둘째, 교육과정해설서의 지도상의 유의점 [1], [2], [3] 관련 내용, 셋째, 치환적분법을 이용한 정규분포의 표준화 설명을 중심으로 그 내용을 비교해 보았다.
이를 위하여 확률밀도함수의 도입과 연속확률 변수의 기댓값, 정규분포의 표준화에 대한 학생들의 이해 정도와 수학적 연결성의 가능성을 탐색할 검사문항을 개발하였다. 개발된 검사지를 고등학교 3학년 자연계열 학생 134명에게 적용한 다음, 개정교육과정의 교육과정해설서, 교과서 및 익힘책, 국내·외 통계학(확률론) 도서의 관련 단원 내용 비교를 바탕으로 정적분 및 치환적분법의 개념과 수학내적 연결성을 가지는 연속확률분포단원의 지도내용(<부록1>)을 개발하였다.
학급별로 찬성 측과 반대 측에서 각 1명의 학생을 뽑아 70분간의 토론23) 내용을 기록하게 하였고, 토론이 끝난 후 기록한 내용을 정리하여 연구자가 참관 교사와 학생들에게 발표하였다.
대상 데이터
본 연구의 대상 학생은 2011학년도 ○○광역시교육청 토요논술학교 고등학교 3학년 자연계열 8개 학급의 186명 중 검사지에 성실하게 응답하고 수업과 수업 후 토론에 참석한 134명이다. 토요논술학교 수강 학생들은 ○○광역시 일반계 고등학교 전체 신청자 중에서 각 지역별로 골고루 선발되었으며, 대학진학 시 논술고사나 구술․심층면접고사 대비가 수강목적이므로 학생들의 성적은 중상위권20) 이내였다.
성능/효과
i) 균등분포 상황에서 연속확률변수 X가 특정구간에 속할 확률은 어떤 함수 f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이와 같음을 보이고, 정적분을 이용하여 연속확률변수 X의 확률을 정의한다.
넷째, 확률밀도함수의 개념을 묻는 검사문항 (3), (4), (6)에 대한 오답 수가 각각 111, 62, 52로 비교적 많은데, 이는 통계적 개념에 대한 학생들의 이해에 어려움이 있는 것으로 보인다. 학교수학의 통계교육에서 수학적 원리는 하나의 수단이 되어야 하며 내용이 형식을 지배해야 하고(Kempthome, 1980), 학생들이 통계적 절차가 마술처럼 기초적인 수학적 지식 없이 이루어지는 것으로 여기도록 해서는 안 된다(Moore, 1997; Wild, Pfannkuch, 1999).
둘째, 개정교육과정의 교과서 및 익힘책에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화는 선언적 정의의 형태로 기술되어 있는데, 이는 상당수의 연구대상 학생들이 적분단원과 통계단원의 수학적 연결성을 인식하지 못하고 있는 현상의 한 원인으로 볼 수 있다. 두 단원 간의 수학적 연결성에 기초한 본 연구의 <부록1>을 통해 학생들이 서로 다른 영역의 수학 사이의 연결성을 이해할 수 있을 때 수학을 통합된 전체로 보게 되고, 낱낱이 아닌 수학적 개념의 연결망을 중시하는 수업은 학생들로 하여금 수학적 힘과 아름다움을 음미하고 이해하게 된다(NCTM, 1989).
잘 연계된 개념에 바탕을 둔 사고는 새로운 상황에서 사용될 때 훨씬 쉽게 응용될 수 있으며(Skemp, 1976), 수학에서 학생들이 새로운 지식을 기존의 지식에 의미 있게 연결할 때 기억하거나 적용하는 것이 더 쉽고 더 잘 이해된다(Schoenfeld, 1988). 본 연구에서 연구자는 학생들이 이미 학습한 적분의 개념들을 토대로 통계단원의 새로운 수학 개념을 구성할 때, 두 수학영역 사이의 연결성을 더 깊이 인식하게 됨(NCTM, 2000)을 확인할 수 있었다. 이러한 수학적 연결성을 강조하기 위하여 먼저 교사는 학생들이 이전 단원(과목)에서 배운 수학과 이후 단원(과목)에서 배울 수학을 알아야 한다.
이는 신보미(2009)가 학생들이 정적분의 정의를 곡선도형의 넓이, 수열의 극한, 부정적분의 정의보다 무한급수와의 관계에 더 우선시하는, 이해 수준의 적절성에 대해 제기한 문제를 재확인할 수 있었다. 연구대상 학생들 중 소수(8명, 6%) 이긴 하지만 중상위 집단이 무한급수 문제를 해결하는데 정적분의 개념을 정확히 이용하지 못할 뿐더러 무한급수의 정의에 대해서도 오개념을 가지고 있음도 알 수 있었다.
치환적분법과 정규분포의 표준화 사이의 연결 가능성을 탐색하기 위한 검사문항(7)에 대한 응답유형및 등급별 응답 수는 <표 Ⅳ-7>과 같다. 이 문항에 대하여 114명(85%)의 학생이 정답을 제시함으로써 학교수학에서 치환적분법을 이용하여 정규분포의 표준화를 충분히 설명할 수 있음을 확인하였다. 다만 표준화 오류(1명)의 경우는 학생의 사소한 실수이고, 무응답(19명, 14%)은 앞의 검사문항에 집중하고 난 뒤에 오는 시간 부족으로 생각된다.
이상의 연구들이 주장하는 바는 학교수학에서의 통계교육은 수학에 바탕을 둔 연역적 사고 능력의 신장보다 주로 실생활에서 자료를 수집하여 처리한 뒤 그 결과를 분석하는 능력의 신장을 강조하는 방향으로의 전환임을 알 수 있다.
제6차교육과정기에도 적분을 이용하여 연속 확률변수의 확률밀도함수와 기댓값을 정의하였으나 확률밀도함수의 도입은 공리적 성격이 강했고, 연속확률변수의 기댓값과 정규분포의 표준화는 ‘선언적 지식 학습5)’의 성격이 강했다.
후속연구
본 연구는 개정교육과정의 ‘미적분과 통계 기본’, ‘적분과 통계’과목의 검인정 교과서 및 익힘책은 전수조사를 실시하였으나 다소 제한된 수의 국내·외 통계학(확률론) 도서 내용을 비교하였고, 2011학년도 ○○광역시교육청 토요논술학교 참여 학생들을 연구대상으로 하였으므로 해당 단원에 대하여 전체 고등학교 3학년 학생의 수학적 연결성 결과로 일반화하는 데에는 제한점이 있다.
셋째, 본 연구를 통해 수학적 연결성을 고려한 교수-학습 전개에 대한 관심과 연구가 요구된다. 잘 연계된 개념에 바탕을 둔 사고는 새로운 상황에서 사용될 때 훨씬 쉽게 응용될 수 있으며(Skemp, 1976), 수학에서 학생들이 새로운 지식을 기존의 지식에 의미 있게 연결할 때 기억하거나 적용하는 것이 더 쉽고 더 잘 이해된다(Schoenfeld, 1988).
앞으로 본 연구에서 개발한 을 중하위권 학생들을 대상으로 적용하는 연구, 통계단원 외에 다른 단원에 대하여 수학적 연결성을 가지는 단원을 찾아 교수학적 전략을 고안하는 연구, (반)열린구간에서의 정적분을 다루는 [3]에 대한 측도론(Measure theory) 관점에서의 연구 등으로 이어지기를 기대해 본다.
먼저 적분단원과 연속확률분포단원의 수학적 연결성 정도에 대한 학생들의 실태를 조사한 뒤, 개정교육과정의 ‘미적분과 통계 기본’, ‘적분과 통계’과목의 교육과정해설서, 교과서 및 익힘책 전부2)(23종 전 46권)와 국내외 통계학(확률론) 도서(국내 13종, 국외 22종, 전 35권)에서 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화가 어떻게 다루어지는지를 비교해 본다. 이를 통해 세 개념에 대한 수학적 연결성을 고려한 지도내용을 개발하여 고등학교 3학년 자연계열 학생들을 대상으로 실제 수업에 적용해봄으로써 교육과정이나 교과서의 구성 변화에 대한 시사점을 발견하고 그 결과를 제언하려고 한다.
개정교육과정에서 적분단원의 학습은 통계단원의 교수-학습 전개에 영향을 미칠 수 있다. 즉, 적분단원의 정적분과 치환적분법의 개념을 이용하여 연속확률분포단원의 확률밀도함수의 도입, 연속확률변수의 기댓값, 정규분포의 표준화를 설명할 수 있을 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
모델링 연결(수학외적 연결)이란 무엇인가?
수학적 연결성에 대하여 NCTM(1989)은 실생활 또는 수학 이외의 학문에서 제기되는 문제 상황과 수학적 표현과의 연결을 의미하는 ‘모델링 연결(수학외적 연결)’과 대등한 표현, 그리고 각각에 대응되는 과정 사이의 연결을 의미하는‘수학적 연결(수학내적 연결)4)’의 두 가지로 나누어 설명하였다. 이러한 수학적 연결성을 지도할 수 있는 주제로 Coxford(1995), Crowley(1995) 는 행렬과 변환을 각각 제안하였다.
어떤 구간에서 연속적인 값을 가지는 확률 변수 X에 대한 분포를 그린 도수분포다각형과 X축 사이의 넓이는 얼마인가?
ii) 자료의 개수를 더 늘리고 계급의 크기를 더 작게 하면 위 i)의 도수분포다각형이 종 모양의 매끄러운 곡선에 가까워진다. 이 곡선은 항상 x축 위에 있고, 주어진 구간에서 이 곡선의 아랫부분과 x축 사이의 넓이는 1이 된다.
학교수학에서의 통계교육과 관련된 선행연구은 어떻게 나누어지는가?
학교수학에서의 통계교육과 관련된 선행연구는 통계교육의 방향에 대한 연구, 통계교육의 교수-학습 방법에 대한 연구, 통계적 소양교육의 중요성을 강조한 연구, 교과서 통계단원 내용의 수정에 대한 연구 등으로 크게 나누어볼 수 있다.
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