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문제 정의
- 이상에서 알 수 있듯이 수학교육에서 오류분석은 효과적인 교수·학습을 위하여 반드시 필요한 과정이다. 본 연구에서는 수학의 영역을 제한하여 오류분석을 실시하고자 한다. 현재고등학교 수학과 교육 내용은 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘함수’, ‘확률과 통계’, ‘기하’의 5개 영역으로 구성되어 있다.
- 실제 학생들의 문제풀이 과정에서 나타난 오류를 오류 분류 패턴에 따라 각각 살펴봄으로써 학생들에게 주로 발생하는 실수와 잘못된 문제풀이전략에 대해 알아보자. 검사지의 문제를 토대로 학생들의 문제풀이 과정에서 발생한 오류를 각 오류범주별로 분류하여 살펴보면 다음과 같다.
- 이스라엘의 Nitsa Movshovitz Hadar와 Orit Zaslavsky(1987)는 이스라엘 고등학교 학생들이 수학 졸업 시험에서 반복적으로 보이는 높은 비율의 공통된 실수에 관하여 알아보기 위해 연속적으로 2년에 걸친 실험을 하였다. 이 연구에서 18개의 주관식 문항에 대한 학생 들의 풀이 중 나타난 오류를 분석하기 위해 6개의 오류 범주를 제시하였다. 즉, ‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류(Misused data)’, ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류 (Misinterpreted language)’, ‘논리적으로 부적절한 추론을 하는 오류(Logically invalid inference)’, ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(Distorted theorem or definition)’, ‘논증되지 않은 해답을 쓰는 오류(Unverified solution)’, ‘기술적인 오류(Technical error)’이다.
- 이에 본 연구에서는 학생들이 함수단원 문제해결과정에서 나타나는 오류를 분석함으로써 보다 효율적인 교수 전략을 제공하고 학생들의 수학학습에 도움을 주고자 함수단원 문제로 구성된 검사지를 제작하여 학생들에게 검사를 실시함으로써 실제 학생들의 문제해결과정에서의 오류를 추출하여 연구하고자 한다. 연구목표를 세분화하면 다음과 같다.
제안 방법
- 2) 오류 분류 패턴에 따라 함수단원 문제해결과정에서 나타나는 오류를 분석한다.
- [그림 8]에서 보는 바와 같이 3번 문제에서 함수의 합성에 대한 성질을 잘못 이해하여 분배법칙이 성립하지 않는 함수의 합성에 분배성질을 적용하였다.
- 즉, ‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류(Misused data)’, ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류 (Misinterpreted language)’, ‘논리적으로 부적절한 추론을 하는 오류(Logically invalid inference)’, ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류(Distorted theorem or definition)’, ‘논증되지 않은 해답을 쓰는 오류(Unverified solution)’, ‘기술적인 오류(Technical error)’이다. 두 해에 걸친 Movshovitz Hadar와 Orit Zaslavsky의 실험 연구에서 첫 해에 130개, 두 번째 해에 150개의 총 280개의 오류를 뽑아 유형별로 분류하였다. 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류의 비율이 두 해 모두 가장 높게 나타났다.
- 학생들의 오류 분석을 위한 검사지를 만들기 위해 동료수학교사 셋과 논의한 결과, 최근 몇 년 동안 고등학교 1학년 학업성취도평가에 출제되었던 문제가 가장 적합하다는 결론을 얻었다. 따라서 최근 학업성취도평가 기출문제를 검토하여 함수단원의 문제를 추출하고, 다시 동료수학교사들과 여러 차례 협의하여 최종 8문제를 선정하였다. 마지막으로 선정된 8문제 중 객관식 문제를 모두 주관식문제 수정하여 검사문항을 구성하였다.
- 따라서 최근 학업성취도평가 기출문제를 검토하여 함수단원의 문제를 추출하고, 다시 동료수학교사들과 여러 차례 협의하여 최종 8문제를 선정하였다. 마지막으로 선정된 8문제 중 객관식 문제를 모두 주관식문제 수정하여 검사문항을 구성하였다.
- 앞서 추출된 211개의 오류에 ‘풀이과정의 중단’에 속하는 36가지 오류를 포함하여 총 247개의 오류를 분류하였다.
- 연구자는 ‘풀이과정의 생략’ 범주를 ‘풀이과정의 중단’ 로 이름을 고치고 총 7가지 오류 분류 패턴을 선정하였다.
- 오류 분석은 학생들이 검사지에 기록한 문제풀이과정을 보고 오류가 발생한 부분에 대하여 그 원인을 추측하고, 오류를 성질에 따라 유형별로 분류하여 몇가지 오류 패턴을 설정한 다음 각 영역별 오류 빈도수를 구하는 방법을 사용하였다. 동일한 문제를 푸는 과정 중 여러 개의 오류가 발생한 경우에는 제일 처음 발생한 오류만을 분석하였으며, 문제풀이 과정이 모두 올바르게 진행되어 정답을 제시한 경우는 오류분석 대상에서 제외시켰다.
- 김경원(2005)은 고등학교 1학년 학생 100명을 대상으로 고등학교 1학년 수학의 이차함수 활용에 관한 주관식 9문제를 테스트하여 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 오류를 분석·분류하였다. 오류의 분류는 Movshovitz Hadar의 6가지 오류 분류 모델을 참고로 이차 함수 활용 영역에 대한 문제의 특성에 맞게 수정하여 첫째, 문제의 자료를 잘못 사용하는 오류, 둘째, 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류, 셋째, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류, 넷째, 기술적인 오류, 다섯째, 풀이과정을 생략한 오류, 여섯째, 해석이 불가능하거나 애매한 오류로 분류하였다. 연구 결과 ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류’가 34.
- 오정현(1997)은 중학교 전체 학년 학생들에게 각 교육과정에 준하는 함수영역의 문제로 구성된 테스트를 실시하여 오류를 추출하고 오류를 분류하는 등의 연구를 하였다. 오류의 분류는 오류의 성질에 따라 하되 김옥경(1991)의 8가지 분류 모델을 참고 하여 중학교 수준에 알맞게 수정한 7종류의 오류분류모델을 다음과 같이 설정하였다. 첫째, 오용된 자료, 둘째, 잘못 해석된 언어, 셋째, 논리적으로 부적절한 추론, 넷째, 필수적인 사실·개념의 부족한 숙련, 다섯째, 요구되지 않은 해답, 여섯째, 기술적 오류, 일곱째, 풀이과정의 생략의 범주이다.
- 책 마지막 부분인 ‘종합진단실’에서는 ‘오답을 없애는 비결’이라는 주제를 두고 오답이 생기는 원인을 부주의로 인한 실수(잘못 읽음, 계산틀림, 빼놓고 씀), 오답이전(학습의욕이 없기 때문의 좌절감, 준비가 불충분한 좌절감), 본질적 오답(수학적 내용이 파악 안되기 때문의 오답, 자기류의 계산법으로 하기 때문의 오답, 논리적 사고가 되지 않으므로 인한 오답)으로 분류하였다.
대상 데이터
- 연구자는 학생들의 검사지로부터 추출한 오류를 성질에 따라 분류하기 위하여 국내외 연구자료를 검토한 결과 이스라엘의 Nitsa Movshovitz Hadar 와 Orit Zaslavsky(1987) 등이 제시한 6가지 오류범주가 가장 적합하다고 결정하였다. Movshovitz Hadar의 6가지 오류 범주를 기준으로 추출된 오류를 분류해보니 총 211개의 오류가 각 항목별로 속하였다. 그러나 211개의 오류 이외에 학생들이 문제를 풀다가 중도에 포기하는 경우가 종종 있음을 발견하였다.
- 본 연구는 충남에 소재한 ○○고등학교 1학년 학생 90명을 임의 선정하여 실시하였다. 검사를 실시하기전 학생들은 고등학교 1학년 『수학』 교과내용을 모두 배운 상태였다.
이론/모형
- 그리하여 Movshovitz Hadar의 오류 범주에 ‘풀이과정의 생략’과 ‘오류의 애매 모호성’ 범주를 추가한 김옥경(1991)의 8가지 오류분류모델을 참고하게 되었다.
성능/효과
- 4번 문제에서 주어진 조건에 알맞게 문제를 풀면 ‘k ≤ 5’가 나오는데 문제에서 그러한 자연수 k를 구하라고 하였으므로 최종 답을 k = 1, 2,3,4,5 라고 해야 하지만 ‘k = 5’라고 쓴 경우, 7번 문제에서 주어진 조건에 알맞게 식을 세우면 이차방정식 25 =- 5t 2 + 30t가 되고 여기에서 해를 구하면 t = 1 또는 t = 5가 되며 문제의 최종목표에 적합한 t의 값은 t = 1이지만 그것과는 다른 값인 t = 5를 최종 답으로 제시한 경우 등을 찾아볼 수 있었다.
- 그 결과 ‘오류의 애매 모호성’ 범주는 이미 앞에서 제시한 무응답 처리기준에 속하여 ‘풀이과정의 생략’ 범주만 필요하게 되었다.
- Clements(1980)와 Newman(1981)은 오스트리아에서 5-7학년을 대상으로 테스트를 실시하여 문제풀이에 대한 단계별 계통조직을 ‘읽기단계’, ‘이해단계’, ‘변환단계’, ‘처리기술단계’, ‘기록단계’, ‘부주의’로 분류하였다. 그 결과 학생들은 교육제도를 통해 점점 발전하기 때문에 학년이 올라 갈수록 읽기(reading), 이해(comprehension), 변환(transformation)의 오류는 점점 감소하나, 처리기술(process skill), 부주의(careless) 오류는 점차 늘어남을 알 수 있었다.
- 그 다음 오류 종류별 발생 빈도를 차례로 살펴보면 ‘잘못 해석된 언어의 오류’가 18.5%, ‘잘못 사용된 자료의 오류’가 15.0%, ‘풀이과정의 중단의 오류’가 14.5%, ‘기술적 오류’가 13.8%, ‘논증되지 않은 해답의 오류’가 12.1%, ‘논리적으로 부적절한 추론의 오류’가 4.9%의 순으로 나타났다.
- 셋째, 학생 자신의 오류를 앎으로써 학습실패의 원인을 찾아 정확하게 피드백 함으로써 개념을 재정립하고 같은 오류가 반복되지 않도록 하여 학습효과를 높인다. 넷째, 교사에게 학생들이 쉽게 빠지는 오류와 문제에 접근하는 학생들의 방법 및 잘못된 문제해결 전략 등을 알게 하여 교수에 도움이 되는 효과적인 정보를 제공한다. 다섯째, 오류의 유형 및 빈도수는 교육과정 계획과 평가문항 개발 및 난이도 조절에 도움이 되는 정보를 제공한다.
- 셋째, 문제를 잘못 읽거나 혹은 다른 이유로 문제의 조건으로 주어진 자료를 잘못 사용하거나 문제에서 요구하지 않은 것을 답으로 제시한다. 넷째, 풀이를 끝까지 하지 않고 중단하거나 아예 풀이 자체를 시도하지 않는 경우가 빈번하다. 다섯째, 풀이과정에서 계산상의 실수를 하거나 이항 또는 괄호를 풀 때 +, - 를 잘못 쓰는 등의 실수를 자주 한다.
- 넷째, 교사는 평소 수업시간에 학생들의 문제풀이 과정을 면밀히 관찰하여 학생들에게 나타나는 오류를 즉시 지도함으로써 오류가 고착화 되지 않도록 한다. 다섯째, 오류 분석 후 학생들에게 자신의 오류를 알려주어 스스로 학습실패의 원인을 찾고 부족한 개념을 재정립함으로써 문제해결 능력을 향상시키고 동일한 오류를 반복하지 않도록 한다. 여섯째, 교사는 수학을 가르치기 전에 학생들이 쉽게 빠지는 오류를 충분히 연구하여 학생들의 오류를 최소화할 수 있는 교수 자료로 활용한다.
- 넷째, 교사에게 학생들이 쉽게 빠지는 오류와 문제에 접근하는 학생들의 방법 및 잘못된 문제해결 전략 등을 알게 하여 교수에 도움이 되는 효과적인 정보를 제공한다. 다섯째, 오류의 유형 및 빈도수는 교육과정 계획과 평가문항 개발 및 난이도 조절에 도움이 되는 정보를 제공한다.
- 첫째, 개념 학습을 강조하여 학생이 단편적으로 수학적 개념을 외우는 것에서 벗어나 수학적 개념을 정확하고 폭넓게 이해하여 여러 가지 문제 상황에 활용할 수 있도록 한다. 둘째, 수학적 용어 사이의 상호 관계성을 알도록 하나의 수학적 개념을 식, 기호, 그래프, 그림 등의 여러 가지 수학적용어로 번역하는 활동을 강조한다. 셋째, 문제를 풀 때 문제를 정확히 읽는 것이 매우 중요하며 문제를 다 푼 후에 풀이과정을 검토하는 습관을 필요함을 지도한다.
- 첫째, 학생들이 쉽게 빠지는 오류의 원인과 그 특성을 앎으로써 교사가 학생들을 지도할 때 보다 효율적으로 지도할 수 있는 정보를 제공한다. 둘째, 학생들에게 자신이 보인 오류를 알려줌으로써 학생 스스로 학습실패의 원인을 찾아 보다 정확한 피드백을 제공하여 학습효과를 증대시킬 수 있다.
- 본 연구에서는 고등학교 1학년 학생들의 함수단원 문제해결과정에서의 오류를 7가지 패턴으로 나누어 분석하였는데 그 결과 ‘잘못 이해된 정리 또는 정의의 오류’ 범주에 속하는 오류가 21.1%로 가장 많이 나타났고, 그 다음으로 ‘잘못 해석된 언어의 오류’가 18.5%, ‘잘못 사용된 자료의 오류’가 15.0%, ‘풀이과정의 중단의 오류’가 14.5%, ‘기술적 오류’가 13.8%, ‘논증되지 않은 해답의 오류’가 12.1%, ‘논리적으로 부적절한 추론의 오류’가 4.9%의 순으로 많이 나타났다.
- 둘째, 수학적 용어 사이의 상호 관계성을 알도록 하나의 수학적 개념을 식, 기호, 그래프, 그림 등의 여러 가지 수학적용어로 번역하는 활동을 강조한다. 셋째, 문제를 풀 때 문제를 정확히 읽는 것이 매우 중요하며 문제를 다 푼 후에 풀이과정을 검토하는 습관을 필요함을 지도한다. 넷째, 교사는 평소 수업시간에 학생들의 문제풀이 과정을 면밀히 관찰하여 학생들에게 나타나는 오류를 즉시 지도함으로써 오류가 고착화 되지 않도록 한다.
- 둘째, 문제해결과정에서 학생들에게 발생할 오류를 미리 파악하여 오류를 사전에 예방 할 수 있다. 셋째, 학생 자신의 오류를 앎으로써 학습실패의 원인을 찾아 정확하게 피드백 함으로써 개념을 재정립하고 같은 오류가 반복되지 않도록 하여 학습효과를 높인다. 넷째, 교사에게 학생들이 쉽게 빠지는 오류와 문제에 접근하는 학생들의 방법 및 잘못된 문제해결 전략 등을 알게 하여 교수에 도움이 되는 효과적인 정보를 제공한다.
- 연구 결과 ‘곡해된 정리나 정의’ 범주의 오류가 30.2%로 가장 많은 부분을 차지하였고, ‘오용된 자료’의 오류가 16.8%, ‘풀이과정의 생략’의 오류 16.2%로 그 뒤를 이었다.
- 연구 결과 ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류’가 34.7%로 가장 많은 오류를 나타내었으며 그 다음으로 ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류’가 28.6%, ‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류’가 17%로 나타났다.
- 오류 분석 결과 8가지 유형의 오류범주 모델을 설정하고 뽑힌 오류를 분류하였는데 그것은 Movshovitz Hadar의 6가지 오류 범주를 수정·보완한 것이다.
- 이상에서 보면 고등학교 1학년 학생들의 함수단원의 문제해결과정에서 나타난 오류는 ‘잘못 이해된 정의 또는 정리의 오류’가 21.1%로 가장 많았다.
- 전체 학생의 연구 결과 ‘필수적인 사실이나 개념의 부족한 숙련’에서 오는 오류가 32.7%로 가장 많았고, ‘기술적 오류’가 25.4%로 두 번째로 많은 오류를 차지하였다.
- 8가지 오류분류모델을 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 오용된 자료(Misused data), 둘째, 잘못 해석된 언어(Misinterpreted language), 셋째, 논리적 으로 부적절한 추론(Logically invalid inference), 넷째, 곡해된 정리나 정의(Misunderstood theorem or definition), 다섯째, 요구되지 않은 해답(Unmatched solution), 여섯째, 기술적 오류(Technical errors), 일곱째, 풀이과정의 생략(Omission of solving process), 여덟째, 오류의 애매모호성(Ambiguity of error)이다. 연구 결과 ‘곡해된 정리나 정의’ 범주의 오류가 30.
- 본 연구가 기대하는 효과로는 다음과 같다. 첫째, 학생들이 쉽게 빠지는 오류의 원인과 그 특성을 앎으로써 교사가 학생들을 지도할 때 보다 효율적으로 지도할 수 있는 정보를 제공한다. 둘째, 학생들에게 자신이 보인 오류를 알려줌으로써 학생 스스로 학습실패의 원인을 찾아 보다 정확한 피드백을 제공하여 학습효과를 증대시킬 수 있다.
- 첫째, 함수개념을 정확하게 이해하지 못하고 자신만의 왜곡된 개념을 갖고 있거나, 혹 알고 있더라도 문제에 활용하는 능력이 부족하다. 둘째, 함수를 그래프로 나타낼 때에 곧잘 실수를 하며 실생활 관련 문장제 문제를 식으로 변형하는데 어려움을 느낀다.
- 학생들의 오류 분석을 위한 검사지를 만들기 위해 동료수학교사 셋과 논의한 결과, 최근 몇 년 동안 고등학교 1학년 학업성취도평가에 출제되었던 문제가 가장 적합하다는 결론을 얻었다. 따라서 최근 학업성취도평가 기출문제를 검토하여 함수단원의 문제를 추출하고, 다시 동료수학교사들과 여러 차례 협의하여 최종 8문제를 선정하였다.
후속연구
- 본 연구는 충남에 소재한 ○○고등학교 1학년 학생 90명을 대상으로 하였기에 다른 지역의 학생들에게도 동일한 연구 결과가 나올 것이라고 일반화하는데 제한점이 있다. 또한 연구자가 제작한 오류 검사지 8문항으로부터 발생한 오류만을 분석하였기에 검사도구가 다른 경우 연구 결과가 달라질 수 있으며, 오류를 분석할 때 연구자 본인의 개인적인 의견이 포함될 가능성을 배제할 수 없다.
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