서양의 역사적인 지도제작법의 발달 과정과 수학적 지식의 상호 영향 관계를 통해 본 직교좌표계 A study on the rectangular coordinate system via comparing the interrelated influence between mathematical knowledge evolution and historical development of Cartography in Europe원문보기
역사적인 지도제작법에 나타난 좌표계와 수학적 직교좌표계의 발전 과정을 비교하면서 위치를 표시하는 직교좌표계는 수학의 해석기하학과는 상관없이 인간 본연에 내재되어 있었던 공간지각능력의 일환으로 발전되어 왔음을 주장한다. 지도제작법의 발전이 해석기하학의 발명 전후 삼각함수, 로그, 기하학, 미적분학, 통계학 등 수학의 여러 분야와 상호 영향을 미치지만 원점의 표시나 음수 좌표의 사용과 같은 수학적 직교좌표계 자체에 대한 발전은 데카르트의 논문 발표 후 100여년 이상 지난 후에 이루어지는 점, 해석기하학을 발명하는데 공헌한 대부분의 수학자들이 당대의 문제 해결에 집중하면서 직교좌표계에 대한 수학적 설명없이 자연스럽게 사용하였던 점을 바탕으로 이런 결론을 얻는다.
역사적인 지도제작법에 나타난 좌표계와 수학적 직교좌표계의 발전 과정을 비교하면서 위치를 표시하는 직교좌표계는 수학의 해석기하학과는 상관없이 인간 본연에 내재되어 있었던 공간지각능력의 일환으로 발전되어 왔음을 주장한다. 지도제작법의 발전이 해석기하학의 발명 전후 삼각함수, 로그, 기하학, 미적분학, 통계학 등 수학의 여러 분야와 상호 영향을 미치지만 원점의 표시나 음수 좌표의 사용과 같은 수학적 직교좌표계 자체에 대한 발전은 데카르트의 논문 발표 후 100여년 이상 지난 후에 이루어지는 점, 해석기하학을 발명하는데 공헌한 대부분의 수학자들이 당대의 문제 해결에 집중하면서 직교좌표계에 대한 수학적 설명없이 자연스럽게 사용하였던 점을 바탕으로 이런 결론을 얻는다.
By comparing the development history of rectangular coordinate system in Cartography and Mathematics, we assert in this manuscript that the rectangular coordinate system is not so much related to analytic geometry but comes from the space perceiving ability inherent in human beings. We arrived at th...
By comparing the development history of rectangular coordinate system in Cartography and Mathematics, we assert in this manuscript that the rectangular coordinate system is not so much related to analytic geometry but comes from the space perceiving ability inherent in human beings. We arrived at this conclusion by the followings: First, although the Cartography have much influenced to various area of Mathematics such as trigonometry, logarithm, Geometry, Calculus, Statistics, and so on, which were developed or progressed around the advent of analytic geometry, the mathematical coordinate system itself had not been completely developed in using the origin or negative axis until 100 years and more had passed since Descartes' publication. Second, almost mathematicians who contributed to the invention of rectangular coordinate system had not focused their studying on rectangular coordinate system instead they used it freely on solving mathematical problem.
By comparing the development history of rectangular coordinate system in Cartography and Mathematics, we assert in this manuscript that the rectangular coordinate system is not so much related to analytic geometry but comes from the space perceiving ability inherent in human beings. We arrived at this conclusion by the followings: First, although the Cartography have much influenced to various area of Mathematics such as trigonometry, logarithm, Geometry, Calculus, Statistics, and so on, which were developed or progressed around the advent of analytic geometry, the mathematical coordinate system itself had not been completely developed in using the origin or negative axis until 100 years and more had passed since Descartes' publication. Second, almost mathematicians who contributed to the invention of rectangular coordinate system had not focused their studying on rectangular coordinate system instead they used it freely on solving mathematical problem.
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문제 정의
그러므로 역사적인 지도를 관찰하면 지도제작법에서 사용된 좌표계가 어떻게 변천하여 왔는지 파악할 수 있다. 그 변화 과정을 알아보기 위하여 고대 그리스 시대부터 근대 개념의 지도가 형성되는 르네상스시대까지의 지도를 조사해보자. 수학에서 직교좌표계의 출현이 이루어지기까지의 기간으로 지도와 그 연관성을 고찰하기에 충분하기 때문이다.
예를 들면 해석기하학의 출현 전후로 삼각비, 로그, 삼각함수, 삼각측량, 투영법, 통계론, 확률론, 미적분, 사영기하학이 크게 발전하여 상호 영향을 미쳤는데도 불구하고 위치를 표시하는 방법으로서의 직교좌표계에 대한 연구나 언급이 없었다. 또한 원점을 표시하거나 음수의 좌표를 도입하는 것과 같은 직교좌표계를 확장하기 위한 노력의 흔적을 찾기 어렵다는 점도 이를 뒷받침한다.
본 논문에서는 위치를 표시하는 직교좌표계를 해석기하학과 분리하여 그 기원을 지도에서 찾아본다. 서양의 역사적인 지도에서 사용된 좌표계를 통시적으로 관찰하여 지도제작에서 사용된 직교좌표계가 수학과 어떤 상호 관계가 있는지 알아본다.
본 연구는 지도에 들어있는 좌표계의 변천 과정과 수학적 직교좌표계의 발전 과정을 비교 조사하는 것으로 시작되었다. 그 결과 위치를 표시하는 직교좌표계는 해석기하학의 한 부산물로 얻어진 지식이 아니라 인간 본연의 공간인식 능력에 내재해 있는 지식으로 오랜 시간에 걸쳐서 축적되어온 지적 산물임을 보인다.
본 논문에서는 위치를 표시하는 직교좌표계를 해석기하학과 분리하여 그 기원을 지도에서 찾아본다. 서양의 역사적인 지도에서 사용된 좌표계를 통시적으로 관찰하여 지도제작에서 사용된 직교좌표계가 수학과 어떤 상호 관계가 있는지 알아본다.
제안 방법
그 후 1799년에 수학자이자 지도제작자였던 웨쎌은 오일러(Leonhard Euler;1707–1783)가 정립한 복소수의 개념을 좌표평면의 한 점으로 나타내고 복소수에 대한 기하학적인 의미를 해석하였다[21].
지구의 북반구가 강조되어 있으며 유럽이 세상의 중심임을 강조하는 종교적 색채를 띠는 지도로 이미 변질되고 있었다. 그 후 성경의 내용에 따라 지구의 북반구를 유럽, 아시아, 아프리카로 3개의 대륙으로 나누고 그 둘레를 대양이 감싸는 형태의 T-O 지도가 유행하였다. 이런 마파문디는 중세의 철학이 깊어지면서 더욱 발전하게 되는데 복합형 지도가 만들어지는 시대에 그 절정에 달한다.
예를 들면 직교좌표계의 도입에서처럼 기하적인 문제를 대수적으로 표현가능하게 만들었으며 역으로 대수적인 문제를 기하적인 방법으로 보여줄 수 있게 했다. 또한 변화를 관찰할 수 있는 함수의 그래프를 그릴 수 있도록 했으며 변환에 의한 수학적 의미를 해석할 수 있게 했다. 그러므로 수학적 직교좌표계는 순수한 위치를 표시하기 위하여 개발된 것이 아니라 수학적 문제를 해석하고 시각화하는 과정에서 만들어졌다.
메르카토르 시대에는 삼각함수가 제대로 개발되어 있지 않았으며 로그도 발명되기6)전이었기 때문에 그는 측정에 의한 방법으로 지도를 제작하였다. 메르카토르가 만든 지도는 항해에서 필요한 방향을 판단하는 데는 매우 잘 맞았지만 위도가 높은 지역에서 대륙의 크기에 대한 왜곡이 심하였는데 이를 설명하고 보정하는 과정에서 수학의 여러 분야가 발전하게 된다.
으로 지도를 제작하면서 지도제작법에 획기적인 발전을 이룬다. 메르카토르는 프톨레미의 지도제작법을 다시 정리하여 수정하였으며 새로운 투영법을 사용하여 위도선은 위도선끼리 서로 평행하게 만들었으며 경도선은 경도선끼리 평행하게 만들었다. 이렇게 하여 위도선과 경도선이 직교하도록 유지함으로서 투영법에 의한 각의 왜곡을 피했다.
데카르트는 1637년에 발표한 Discourse on Method의 부록에 실린 La Géométrie에서 고대 그리스의 기하문제를 다루었다[7]. 여기에서 그는 기하적인 도형의 거리를 나타내기 위하여 미지수를 도입하고 그 궤적을 방정식으로 표현하였다. 이처럼 미지수를 도입하여 기하문제를 대수적인 방정식으로 치환하여 문제를 해결하는 해석기하학의 원형이 데카르트에 의해 발표되었다.
고대 그리스 시대에는 수학에서든 지도에서든 좌표개념은 천문학적인 지식에 의존하여 형성되어 있었다. 지구가 둥글다는 그리스인의 천문학적인 지식에 의존하여 위도와 경도로 위치를 나타내었으며, 천문학자 프톨레미의 지도제작 안내서를 기초로 지도를 제작하였다.
프톨레미부터 데카르트까지 직교좌표계가 생성되는 역사적 과정에서 위치를 나타내는 직교좌표계 자체에 관심을 가진 사람은 없었다. 페르마와 데카르트도 평면 위의 점을 단순히 좌표로 표현하기 위함이 아니라 기하문제를 평면 또는 공간에서 대수적으로 문제를 표현하여 해결하려고 직교좌표계를 도입하였다. 데카르트나 페르마의 관점은 당시 수학계에서 풀고자 했던 문제에 대한 새로운 접근법을 시도하고 있었다는 점이지 평면 또는 공간에서 점의 위치를 표현하기 위한 절대적인 좌표를 도입하려 한 것은 아니었다.
이론/모형
하지만 이 모두를 왜곡 없이 대응시킬 수 있는 투영법은 존재하지 않는다. 따라서 지도의 목적에 따라 각을 보전하는 등각도법(conformal projection), 거리를 보존하는 등거리도법(equi-distance projection), 넓이를 보존하는 등면적도법(equi-area projection), 방향을 보전해주는 등향도법(azimuthal projection)등을 사용한다.
성능/효과
4) 그의 지도제작법은 훗날 메르카토르(Gerardus Mercator;1512–1594)가 사용한 도법에 지대한 영향을 미친다.
후속연구
이처럼 전 세계의 지도제작에 쓰인 직교좌표계는 본 연구의 주장을 지지해주는 여러 증거들이 된다. 그러므로 본 연구를 확대하여 지도제작법의 변천과정과 수학적 좌표계의 변화 과정을 비교하여 상호 영향을 조사하는 연구는 수학사적 입장에서나 지도학의 입장에서나 가치있는 일로서 차후의 과제로 삼을 만하다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
지도란?
지도는 수학적인 원리를 포함하여 당대의 가장 첨단적인 과학기술을 이용하여 지리정보를 저장해 놓은 기록이다. 지도제작법(Cartography)에는 측량기술, 나침반이나 망원경 같은 측정 도구의 발달, 정밀한 지리 정보의 기록기술, 인쇄술과 같은 여러 기술적인 요소 외에도 수학적인 원리가 필요하다.
지도에는 수학적 지식이 사용된 흔적은 어떤 것이 있는가?
인류의 역사와 더불어 만들어지기 시작한 지도에는 수학적 지식이 사용된 흔적이 남아있다. 지도제작법에서 필요한 수학적 지식은 변환에 의한 축척(scale), 위치를 나타내기 위해 기준을 정하는 좌표계(coordinate system), 구면을 평면으로 사영시키는 도법 또는 투영법(projection)등이 있다. 축척은 지구상에서의 거리나 넓이를 지도에서 어느 정도의 비율로 나타내는지 정하는 문제로서 수학의 닮음비나 변환의 성질과 관련 있다.
지도제작법에 필요한 것은?
지도는 수학적인 원리를 포함하여 당대의 가장 첨단적인 과학기술을 이용하여 지리정보를 저장해 놓은 기록이다. 지도제작법(Cartography)에는 측량기술, 나침반이나 망원경 같은 측정 도구의 발달, 정밀한 지리 정보의 기록기술, 인쇄술과 같은 여러 기술적인 요소 외에도 수학적인 원리가 필요하다. 또한 지도는 사회적 필요성에 의해 제작되는 관계로 시대성을 엿볼 수 있는 사회문화 유산이며 당시의 세계관을 표현하는 정교한 예술이다.
참고문헌 (29)
J. L. Berggren and A. Jones, Ptolemy's Geography: An Annotated Translation of the Theoretical Chapters, Princeton University Press, 2000.
C. B. Boyer, A History of Mathematics (Second ed.), John Wiley and Sons, Inc., 1991.
F. Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover Publications Inc., 1993.
M. Clagett, Oresme Nicole, in Dictionary of Scientific Biography, Vol. X, Ch. C. Gillispie (ed.), New York: Charles Scribner's Sons, 1974.
M. Clagett, Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, Madison, Wisc, 1968.
R. Cooke, The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley Interscience. 1997.
R. Descartes,La geometrie, In Discours de la Methode. Paris: Essellier (Appendix), 1637.
M. Friendly, Milestones in the history of thematic cartography, statistical graphics, and data visualization, Michael Friendly, 2009. http://datavis.ca/milestones/.
R. G. Frisius, Libellus de locorum describendorum ratione, Antwerp, 1533.
M. Jones, Tycho Brahe, Cartography and Landscape in 16th Century Scandinavia, in Hannes Palang (ed), European Rural Landscapes: Persistence and Change in a Globalising Environment, 2004.
M. Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
J. F. Moffitt, Medieval Mappaemundi and Ptolemy's Chorographia,Gesta 32 (1993), pp. 59-68 Published by: International Center of Medieval Art.
J. Napier, Mirifici logarithorum canonis descriptio, 1614. (English translation,A Description of the Admirable Table of Logarithms, published in 1616 by Edward Wright, London: Nicholas Okes).
J. Needham, Science and Civilization in China, Vol.3, Cambridge University Press, 1954.
I. Newton, Enumeration of Lines of the third Order, Generation of Curves by Shadows, Organic Description of Curves, and Construction, of Equations by Curves, 1760.
B. Otto, Linear Algebra with Applications, (3rd Edition ed.) Upper Saddle River NJ: Prentice Hall, 1995.
J. Stillwell, Mathematics and its History (Second Edition ed.). Springer verlag, 2004.
J. R. Stone, The Medieval Mappaemundi: Toward an Archaeology of Sacred Cartography, Religion 23(3) (1993), pp. 197-216.
P. D. Thomas,Conformal Projections in Geodesy and Cartography, United States Government Printing Office, Washington, Special Publication No. 251, 1952.
L. da Vinci, Notebooks vol.M, Verso 40. Paris: Manuscripts of the Institute of France. 1500.
B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space, Springer, 1988.
http://www.henry-davis.com/MAPS/AncientWebPages/AncientL.html, Mesopotamian City Plan, Nippur 1500 BC, 101.
http://www.henry-davis.com/MAPS/AncientWebPages/AncientL.html, World map according to Eratosthenes (194 B.C.), 112.
http://en.wikipedia.org/wiki/Marinus_of_Tyre.
http://www.henry-davis.com/MAPS/EMwebpages/EML.html, 226A Hereford mappa-mundi, Richard de Bello of Haldingham, 1290, color redrawing.
http://www.henry-davis.com/MAPS/AncientWebPages/119.html, 119 Ptolemaic World Map, 12th-13th century.
http://www.henry-davis.com/MAPS/EMwebpages/EML.html, 201F Macrobian world map, 9 th century.
http://www.henry-davis.com/MAPS/EMwebpages/EML.html, 205Z T-O map, unknown, from 12th century edition of Bede's De natura rerum (8.1 cm diameter).
http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_1569_world_map, The 1569 Mercator map of the world.
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