본 연구의 목적은 학년에 따라 수학영재학급 학생들이 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이와 일반화 표현 방법을 알아보는 것이다. 연구를 위해 단위학교 영재학급 4~6학년 30명을 대상으로 도형과 관련한 4개의 과제에 대한 해결 전략을 살펴보았다. 연구결과, 일반화를 시작하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴의 앞 뒤 수를 이용하여 문제를 해결하는 순환적인 관계인식 전략으로 문제를 해결하는 경우가 많았고 일반화를 형성하는 단계의 문항에서는 학년이 높아질수록 주어진 정보로 규칙이나 식을 만들어 해결하려는 상황적 인식 전략을 사용한다는 것을 알 수 있었다. 그러나 난이수준이 높은 문항일수록 학생들은 그리거나 뛰어 세기 등의 구체화를 통한 인식 전략이나 순환적인 관계 인식 전략을 선호하는 경향이 있었다. 일반화를 명확하게 하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴을 언어로 기술하는 경향이 많았으며 높은 학년일수록 패턴을 대수적 표현(기호 또는 수식)으로 기술하려고 하였다. 정당화 단계의 문항에서 학년이 높을수록 일반화된 식으로 표현하는 비율이 높았다. 연구 결과를 통해 패턴을 찾는 과제에서 영재학급 학생들이 일반화를 하기 위한 전략의 차이를 알고 지도하는데 도움을 줄 수 있는 시사점을 제공하고자 한다.
본 연구의 목적은 학년에 따라 수학영재학급 학생들이 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이와 일반화 표현 방법을 알아보는 것이다. 연구를 위해 단위학교 영재학급 4~6학년 30명을 대상으로 도형과 관련한 4개의 과제에 대한 해결 전략을 살펴보았다. 연구결과, 일반화를 시작하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴의 앞 뒤 수를 이용하여 문제를 해결하는 순환적인 관계인식 전략으로 문제를 해결하는 경우가 많았고 일반화를 형성하는 단계의 문항에서는 학년이 높아질수록 주어진 정보로 규칙이나 식을 만들어 해결하려는 상황적 인식 전략을 사용한다는 것을 알 수 있었다. 그러나 난이수준이 높은 문항일수록 학생들은 그리거나 뛰어 세기 등의 구체화를 통한 인식 전략이나 순환적인 관계 인식 전략을 선호하는 경향이 있었다. 일반화를 명확하게 하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴을 언어로 기술하는 경향이 많았으며 높은 학년일수록 패턴을 대수적 표현(기호 또는 수식)으로 기술하려고 하였다. 정당화 단계의 문항에서 학년이 높을수록 일반화된 식으로 표현하는 비율이 높았다. 연구 결과를 통해 패턴을 찾는 과제에서 영재학급 학생들이 일반화를 하기 위한 전략의 차이를 알고 지도하는데 도움을 줄 수 있는 시사점을 제공하고자 한다.
The main purpose of this study was to explore the process of generalization generated by mathematically gifted students. Specifically, this study probed how fourth, fifth, and sixth graders might generalize geometric patterns and represent such generalization. The subjects of this study were a total...
The main purpose of this study was to explore the process of generalization generated by mathematically gifted students. Specifically, this study probed how fourth, fifth, and sixth graders might generalize geometric patterns and represent such generalization. The subjects of this study were a total of 30 students from gifted classes of one elementary school in Korea. The results of this study showed that on the question of the launch stage, students used a lot of recursive strategies that built mainly on a few specific numbers in the given pattern in order to decide the number of successive differences. On the question of the towards a working generalization stage, however, upper graders tend to use a contextual strategy of looking for a pattern or making an equation based on the given information. The more difficult task, more students used recursive strategies or concrete strategies such as drawing or skip-counting. On the question of the towards an explicit generalization stage, students tended to describe patterns linguistically. However, upper graders used more frequently algebraic representations (symbols or formulas) than lower graders did. This tendency was consistent with regard to the question of the towards a justification stage. This result implies that mathematically gifted students use similar strategies in the process of generalizing a geometric pattern but upper graders prefer to use algebraic representations to demonstrate their thinking process more concisely. As this study examines the strategies students use to generalize a geometric pattern, it can provoke discussion on what kinds of prompts may be useful to promote a generalization ability of gifted students and what sorts of teaching strategies are possible to move from linguistic representations to algebraic representations.
The main purpose of this study was to explore the process of generalization generated by mathematically gifted students. Specifically, this study probed how fourth, fifth, and sixth graders might generalize geometric patterns and represent such generalization. The subjects of this study were a total of 30 students from gifted classes of one elementary school in Korea. The results of this study showed that on the question of the launch stage, students used a lot of recursive strategies that built mainly on a few specific numbers in the given pattern in order to decide the number of successive differences. On the question of the towards a working generalization stage, however, upper graders tend to use a contextual strategy of looking for a pattern or making an equation based on the given information. The more difficult task, more students used recursive strategies or concrete strategies such as drawing or skip-counting. On the question of the towards an explicit generalization stage, students tended to describe patterns linguistically. However, upper graders used more frequently algebraic representations (symbols or formulas) than lower graders did. This tendency was consistent with regard to the question of the towards a justification stage. This result implies that mathematically gifted students use similar strategies in the process of generalizing a geometric pattern but upper graders prefer to use algebraic representations to demonstrate their thinking process more concisely. As this study examines the strategies students use to generalize a geometric pattern, it can provoke discussion on what kinds of prompts may be useful to promote a generalization ability of gifted students and what sorts of teaching strategies are possible to move from linguistic representations to algebraic representations.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 앞의 선행연구를 바탕으로 일반화 전략을 와 같이 정리하여 사용하고자 한다.
본 연구는 초등 수학영재의 패턴 일반화 과정에서 어떤 전략을 사용하는지, 그리고 학년에 따라 영재학급 학생들은 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이가 무엇인지를 살펴보고자 하였다. 주된 연구 결과를 토대로 다음과 같은 교육적 시사점을 얻을 수 있다.
본 연구에서는 초등학교 4,5,6학년 영재학급 학생들이 패턴의 일반화 단계까지 도달할 때 그들은 단계별로 어떤 전략을 사용하는가를 살펴본다.
대상자들은 ㄱ초등학교에 입학하여 전학 없이 단위학교의 영재학급에서 학습하였기에 비슷한 학교교육환경에서 학습한 학생들이라고 할 수 있다. 연구 대상의 학생 수가 적어 수학영재의 학년별 패턴 비교 결과를 일반화하는 데 제한점이 있으나 본 연구를 통해 수학영재학급 학생의 학년별 패턴 과제 해결에서 나타나는 일반화 전략과 어려움의 경향을 비교하는 데 초점을 두고 그 결과에 따른 시사점을 제공하고자 한다.
이는 수학적인 선행지식이 패턴의 일반화에 어떤 영향을 주는지를 알아보기 위함이다. 이를 통해 영재학급 학생들의 수학적 사고 발달 과정을 추론하고 패턴과 관련한 수업에서 영재학생들의 교수학습방법에 대한 시사점을 제공하고자 한다.
이에 본 연구는 영재학급 학생의 패턴 일반화 과정에서 어떤 전략을 사용하는지, 그리고 학년에 따른 영재학급 학생들은 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이가 무엇인지를 살펴보고, 일반화 단계에 따라 어떤 어려움을 가지는지를 살펴본다. 이는 수학적인 선행지식이 패턴의 일반화에 어떤 영향을 주는지를 알아보기 위함이다.
첫째, 패턴의 일반화를 시작하는 단계에서 영재학급 학생들은 문제에 제시된 모양이나 그림이 어떤 패턴을 이루고 있는지를 파악한 후 앞, 뒤 수의 관계를 이용한 순환적 관계 인식전략으로 문제를 해결하고자 하였다. 그러나 학년이 올라갈수록 순환적 관계를 함수적인 식으로 나타내어 문제를 해결하는 경향을 보였다.
제안 방법
개발된 검사도구의 타당성 검토를 위해 문항 적절성에 대해 초등수학교육을 전공한 교사 3인과 전문가 1인에게 검토를 받아 제작하였으며 본 검사를 실시하기 전 학년별 학생 4명을 대상으로 예비검사를 실시하여 문항의 이해수준이 적절한지 파악하여 수정하였다. 본 검사의 시기는 2011년 12월경으로 4학년 학생은 문제 해결 방법 찾기 단원을 학습한 후이다.
그래서 이들이 문제를 해결할 때 어떤 규칙이 적용된다고 생각하는지를 알아보거나 과제별 (1),(2) 문항에서는 바르게 규칙을 인지하였는데 규칙을 표현하는 데 어떤 어려움을 갖고 있는지를 알아보는 것도 의미가 있을 것이라 판단하여 일반화를 명확하게 하는 단계에서 틀린 표현을 기록한 학생들만 대상으로 하여와 같이 과제별 응답유형의 빈도를 정리하였다.
과제의 난이수준은 과제1→과제2→과제3→과제4의 순이 되도록 구성하였다. 그리고 과제별 4단계의 하위 문항으로 제시하여, 각 하위 문항은 일반화를 시작하는 단계, 일반화를 형성하는 단계, 일반화를 명확하게 하는 단계, 정당화의 단계에 맞게 문항을 개발하여 학생들의 능력과 문제해결전략을 살펴보았다. 4학년 교과서에서 패턴과제를 구성한 이유는 모든 학생이 학습한 과제를 바탕으로 4,5,6학년 영재학급 학생들은 일반화를 어떻게 이루어 가는가를 살펴보기 위함이다.
먼저, 일반화를 시작하는 단계, 일반화를 형성하는 단계를 파악하기 위해 개발된 각 과제별 문항 (1), (2)의 분석은 선행연구(Bishop, 2000; Lannin, 2005)의 일반화 전략을 정리한 5개의 유형에 무의미하거나 무응답인 경우를 추가하여 전체 6개의 유형으로 학생들의 검사결과를 분석하였다. 그리고 전략의 빈도 분석시 학생들의 반응 유형이 2가지로 나타나는 경우 각각 0.5회씩 체크하여 파악하였다.
먼저, 일반화를 시작하는 단계, 일반화를 형성하는 단계를 파악하기 위해 개발된 각 과제별 문항 (1), (2)의 분석은 선행연구(Bishop, 2000; Lannin, 2005)의 일반화 전략을 정리한 5개의 유형에 무의미하거나 무응답인 경우를 추가하여 전체 6개의 유형으로 학생들의 검사결과를 분석하였다. 그리고 전략의 빈도 분석시 학생들의 반응 유형이 2가지로 나타나는 경우 각각 0.
본 연구에 사용한 검사도구는 초등학교 4학년 수학 교과서에 제시된 과제를 재구성하여 만든 4개의 과제이다. 과제의 난이수준은 과제1→과제2→과제3→과제4의 순이 되도록 구성하였다.
본 연구에서는 Friedlander & Tabach(2001)에 의해 4단계로 나누어진 패턴의 일반화 단계를 토대로 수학영재학생들의 패턴 일반화 과정을 살펴보았다.
이는 주어진 과제에서 발견된 규칙을 □,△를 이용하여 형식화하여 자신이 찾아낸 규칙에 대해 정당화할 수 있는지를 알아보기 위함이다. 본 연구에서는 바른 식으로 나타낼 수 있는지에 대해 초점을 맞추어 분석하였다.
본 연구의 자료 처리 및 분석을 위해 일반화를 시작하는 단계와 일반화를 형성하는 단계는 선행연구를 토대로 분석하였으며, 일반화를 명확하게 하는 단계와 정당화 단계는 학생들의 응답 유형의 기술을 토대로 분석하였다.
또한 Lannin(2005)은 학생들이 패턴의 상황에서 일반화를 이끌어 내기 위해 사용하는 다양한 전략들을 연구하기 위한 틀로서 두개의 범주로 나누어진 일반화 전략을 제시하고 있다. 비명시적인 전략으로 그리거나 세기와 순환적인 관계 인식, 명시적인 전략으로 전체와 부분, 추측과 확인, 상황적 인식으로 구분하였다. 따라서 본 연구에서는 앞의 선행연구를 바탕으로 일반화 전략을 <표 Ⅱ-2>와 같이 정리하여 사용하고자 한다.
일반화를 명확하게 하는 단계의 분석은 과제별 문항(3)을 통해 알아보았다. 수학영재학급 학생들이 과제를 해결하기 위해 찾은 패턴을 어떤 방법으로 정당화하는가를 알아보기 위함이다(<표 Ⅲ-3> 참조).
대상 데이터
본 검사의 대상은 대구광역시 중구에 소재한 ㄱ초등학교 영재학급 4학년 10명, 5학년 11명, 6학년 9명이다. 영재학급의 학생들은 3단계1)*를 거쳐 뽑혔기 때문에 수학능력 수준은 상위 10%에 들어간다고 할 수 있다.
개발된 검사도구의 타당성 검토를 위해 문항 적절성에 대해 초등수학교육을 전공한 교사 3인과 전문가 1인에게 검토를 받아 제작하였으며 본 검사를 실시하기 전 학년별 학생 4명을 대상으로 예비검사를 실시하여 문항의 이해수준이 적절한지 파악하여 수정하였다. 본 검사의 시기는 2011년 12월경으로 4학년 학생은 문제 해결 방법 찾기 단원을 학습한 후이다. 검사는 연구자의 의도를 전달하고 검사지의 충실한 작성 및 학생들의 문제 해결 상황을 파악하기 위해 연구자가 직접 실시하였다.
성능/효과
각 과제의 문항(1)의 응답빈도를 살펴보면 <표Ⅳ-1>과 같다. 1, 2번의 문항에서 학생들의 정답자수가 4, 5학년이 비교적 높고, 6학년이 비교적 낮았다. 그 이유는 처음부터 2명의 학생이 문제를 잘못 이해하여 해결하였기 때문이다.
116,117) 패턴에 대한 수학적 지식이 상대적으로 적은 4학년은 언어로 표현하는 경우가 더 많을 수밖에 없고, 좀 더 학습한 6학년은 식이나 기호로 표현할 수 있는 능력이 좀 더 높을 수밖에 없었다. 즉, 수학적인 표현방법에서는 비록 영재학급 학생이라 하더라도 언어적 기술보다 기호나 수식을 더 선호하는 경향이 있으며 이것은 학년에 따라 차이가 난다는 것을 알 수 있었다. 또한 정당화 단계에서도 똑같이 나타났다.
후속연구
끝으로, 본 연구는 단위학교 영재학급의 소수 학생을 대상으로 하였기 때문에 교육지원청 영재교육원, 대학부설 영재교육원에 소속한 영재학생들을 대상으로 하여 학년별 패턴 일반화 전략에서 본 연구와 같은 결과가 나오는지 알아볼 수 있는 후속 연구를 할 필요가 있을 것이다.
셋째, 패턴의 일반화 과정을 영재학급 학생들에게 지도할 때 같은 학년의 집단이라 하더라도 일반화를 찾기 위한 전략별 차이가 나타날 수 있고, 대부분의 영재수업에서 결과에 대한 개인별 발표로만 끝나는 경우가 적지 않으므로 패턴과 관련한 수업에서는 자신이 찾은 패턴이 옳은지를 서로 의사소통할 수 있는 기회를 많이 제공하여 자신이 찾은 일반화에 대한 정당성을 확인할 수 있도록 할 필요가 있을 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Kruteskii(1976)는 수학영재아들의 특성이 무엇이라고 했는가?
수학적 재능을 보이는 학생들에 대해 오랜 연구를 한 러시아의 Kruteskii(1976)는 수학영재아들은 수학적 내용을 분석적이고 종합적으로 파악하고, 문제의 내용과 해법을 재빨리 일반화한다고 하였다. 또한 해법방법이 간단하고 명쾌하며, 문제의 일반화되고 단축된 구조와 그 해법을 잘 기억하는 경향이 있다고 하였다.
Lee(1996)는 패턴의 일반화 단계 과정 사이에서 발생할 수 있는 여러 가지 어려움을 어떻게 구분하였는가?
Lee(1996)는 패턴의 일반화 단계 과정 사이에서 발생할 수 있는 여러 가지 어려움을 인지 수준, 언어화 수준, 기호화 수준으로 구분하였다. 구체적으로 살펴보면, 인지 수준에서의 어려움은 패턴이 의도하고 있는 내용을 파악하느냐 못하느냐 하는 것이며, 언어화 수준에서의 어려움은 패턴을 언어 형태로 명확히 인식하고 표현하지 못하는 어려움을 말한다.
학년에 따라 수학영재학급 학생들이 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이와 일반화 표현 방법을 분석한 결과는 어떠한가?
연구를 위해 단위학교 영재학급 4~6학년 30명을 대상으로 도형과 관련한 4개의 과제에 대한 해결 전략을 살펴보았다. 연구결과, 일반화를 시작하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴의 앞 뒤 수를 이용하여 문제를 해결하는 순환적인 관계인식 전략으로 문제를 해결하는 경우가 많았고 일반화를 형성하는 단계의 문항에서는 학년이 높아질수록 주어진 정보로 규칙이나 식을 만들어 해결하려는 상황적 인식 전략을 사용한다는 것을 알 수 있었다. 그러나 난이수준이 높은 문항일수록 학생들은 그리거나 뛰어 세기 등의 구체화를 통한 인식 전략이나 순환적인 관계 인식 전략을 선호하는 경향이 있었다. 일반화를 명확하게 하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴을 언어로 기술하는 경향이 많았으며 높은 학년일수록 패턴을 대수적 표현(기호 또는 수식)으로 기술하려고 하였다. 정당화 단계의 문항에서 학년이 높을수록 일반화된 식으로 표현하는 비율이 높았다. 연구 결과를 통해 패턴을 찾는 과제에서 영재학급 학생들이 일반화를 하기 위한 전략의 차이를 알고 지도하는데 도움을 줄 수 있는 시사점을 제공하고자 한다.
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