힐베르트의 프로그램에 관한 한, 비트겐슈타인의 생각의 발전 과정에는 뭔가 중요한 차이가 있는 것처럼 보인다. 1929년 비트겐슈타인이 철학에 복귀하는 과정에서 빈 학파의 슐리크와 바이즈만을 만나 함께 토론한 내용을 정리한 "비트겐슈타인과 빈 학파", 또 그 과정에서 비트겐슈타인이 자신의 생각을 정리하여 쓴 "철학적 고찰"과 "철학적 문법"에서의 비트겐슈타인의 주요주장은 1939년에 행한 "수학의 기초에 관한 강의", 또 이 강의를 전후해서 비트겐슈타인이 쓴 "수학의 기초에 관한 고찰"에서의 비트겐슈타인의 생각과 중요한 차이를 보이고 있기 때문이다. 나는 그 차이가 무엇인지를 보이기 위해서 먼저 힐베르트의 프로그램과 형식주의를 간략하게 살펴보고자 한다. 다음으로 나는 비트겐슈타인이 힐베르트의 형식주의로부터 어떤 영향을 받았으며, 또 그것을 어떻게 비판했는지를 조명할 것이다. 또한 나는 힐베르트의 프로그램에 대해서 중기 비트겐슈타인이 어떻게 비판했는지를 조명하고자 한다. 우리는 중기 비트겐슈타인이 힐베르트 프로그램에 대해서 칸토어의 집합론에 대해 했던 전기 비트겐슈타인의 주장만큼이나 과격한 주장을 했다는 것을 확인하게 될 것이다. 그러나 후기 비트겐슈타인은 더 이상 그러한 과격한 주장을 하지 않는데, 나는 중기 비트겐슈타인의 주장을 직접 비판함으로써, 또 비트겐슈타인 자신이 스스로 어떤 비판을 했을지를 논의하면서, 후기 비트겐슈타인이 왜 더 이상 그러한 주장을 하지 않는지 그 이유를 조명하고자 한다.
힐베르트의 프로그램에 관한 한, 비트겐슈타인의 생각의 발전 과정에는 뭔가 중요한 차이가 있는 것처럼 보인다. 1929년 비트겐슈타인이 철학에 복귀하는 과정에서 빈 학파의 슐리크와 바이즈만을 만나 함께 토론한 내용을 정리한 "비트겐슈타인과 빈 학파", 또 그 과정에서 비트겐슈타인이 자신의 생각을 정리하여 쓴 "철학적 고찰"과 "철학적 문법"에서의 비트겐슈타인의 주요주장은 1939년에 행한 "수학의 기초에 관한 강의", 또 이 강의를 전후해서 비트겐슈타인이 쓴 "수학의 기초에 관한 고찰"에서의 비트겐슈타인의 생각과 중요한 차이를 보이고 있기 때문이다. 나는 그 차이가 무엇인지를 보이기 위해서 먼저 힐베르트의 프로그램과 형식주의를 간략하게 살펴보고자 한다. 다음으로 나는 비트겐슈타인이 힐베르트의 형식주의로부터 어떤 영향을 받았으며, 또 그것을 어떻게 비판했는지를 조명할 것이다. 또한 나는 힐베르트의 프로그램에 대해서 중기 비트겐슈타인이 어떻게 비판했는지를 조명하고자 한다. 우리는 중기 비트겐슈타인이 힐베르트 프로그램에 대해서 칸토어의 집합론에 대해 했던 전기 비트겐슈타인의 주장만큼이나 과격한 주장을 했다는 것을 확인하게 될 것이다. 그러나 후기 비트겐슈타인은 더 이상 그러한 과격한 주장을 하지 않는데, 나는 중기 비트겐슈타인의 주장을 직접 비판함으로써, 또 비트겐슈타인 자신이 스스로 어떤 비판을 했을지를 논의하면서, 후기 비트겐슈타인이 왜 더 이상 그러한 주장을 하지 않는지 그 이유를 조명하고자 한다.
As far as Hilbert's Program is concerned, there seems to be important differences in the development of Wittgenstein's thoughts. Wittgenstein's main claims on this theme in his middle period writings, such as Wittgenstein and the Vienna Circle, Philosophical Remarks and Philosophical Grammar seem to...
As far as Hilbert's Program is concerned, there seems to be important differences in the development of Wittgenstein's thoughts. Wittgenstein's main claims on this theme in his middle period writings, such as Wittgenstein and the Vienna Circle, Philosophical Remarks and Philosophical Grammar seem to be different from the later writings such as Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics (Cambridge 1939) and Remarks on the Foundations of Mathematics. To show that differences, I will first briefly survey Hilbert's program and his philosophy of mathematics, that is to say, formalism. Next, I will illuminate in what respects Wittgenstein was influenced by and criticized Hilbert's formalism. Surprisingly enough, Wittgenstein claims in his middle period that there is neither metamathematics nor proof of consistency. But later, he withdraws his such radical claims. Furthermore, we cannot find out any evidences, I think, that he maintained his formerly claims. I will illuminate why Wittgenstein does not raise such claims any more.
As far as Hilbert's Program is concerned, there seems to be important differences in the development of Wittgenstein's thoughts. Wittgenstein's main claims on this theme in his middle period writings, such as Wittgenstein and the Vienna Circle, Philosophical Remarks and Philosophical Grammar seem to be different from the later writings such as Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics (Cambridge 1939) and Remarks on the Foundations of Mathematics. To show that differences, I will first briefly survey Hilbert's program and his philosophy of mathematics, that is to say, formalism. Next, I will illuminate in what respects Wittgenstein was influenced by and criticized Hilbert's formalism. Surprisingly enough, Wittgenstein claims in his middle period that there is neither metamathematics nor proof of consistency. But later, he withdraws his such radical claims. Furthermore, we cannot find out any evidences, I think, that he maintained his formerly claims. I will illuminate why Wittgenstein does not raise such claims any more.
그런데 힐베르트는 수학뿐만 아니라 수학철학에서도 큰 업적을 남겼다. 잘 알려져 있듯이 수학철학자로서 그는 형식주의를 주장하였다. 즉 수학을 무의미한 기호들의 조작이나 놀이로 파악할 수 있다는 새로운 수학철학을 펼친 것이다.
20세기 수학사에서 힐베르트의 업적은 무엇인가?
20세기 수학사에서 힐베르트만큼 큰 족적을 남긴 수학자도 없을 것이다. 1900년 세계 수학자 대회에서 23개의 수학적 난제를 정리하여 발표한 것을 시작으로 그는 소위 ‘수학의 위기’를 정면으로 돌파하기 위하여 ‘힐베르트 프로그램’을 제안하였고, 이 과정에서 등장한 개념들과 착상들은 이후, 괴델의 완전성 정리와 불완전성 정리, 튜링과 처치의 결정문제 해결 불가능성 정리와 보편 튜링기계, 그리고 겐첸의 산술의 무모순성 증명을 가능하게 하였다. 이러한 눈부신 수리논리학의 발전 과정에서 디지털 정보 혁명과 현대 컴퓨터 발명의 맹아가 출현하였다는 것은 잘 알려진 사실이다.
힐베르트의 프로그램이란 무엇인가?
앞에서 지적했듯이, 힐베르트의 프로그램이란 실제 수학을 형식화하여 그 형식체계가 무모순이라는 것을 유한적 방법으로 메타수학(증명이론)에서 증명하려는 계획을 말한다. 여기에는 형식화 및 형식체계, 유한적 방법, 메타수학, 무모순성 증명이라는 네 가지 항목이 있다.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.