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문제 정의
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1. GSP를 활용한 시각화가 수학 영재학생들의 창의성의 발현에 어떻게 도움을 주는가?
- 중등 수학 영재학생들이 GSP를 활용하여 임의의 삼각형 ABC의 각 변을 m : n 으로 내분한 점 D, E, F를 연결하여 만든 내분삼각형 DEF의 넓이를 일반화하였다. 그 과정에서 GSP를 활용한 시각화를 통하여 수학적으로 추론하고 대수화하며 논리적으로 전개하는 과정에서 수학 영재학생들이 기하학적 원리와 개념을 이해하는데 GSP를 활용한 시각화의 효과와 탐구 과정에서 시각화한 내용을 어떻게 대수화하고 논리적으로 전개하는지 알아보았다.
- 따라서, 본 연구는 중등 수학 영재학생들이 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연결하여 만든 삼각형의 넓이와 기존의 삼각형 넓이 사이의 규칙성을 탐구하고 이를 일반화하는 과정에서 GSP가 학생들에게 미치는 영향에 대한 사례연구를 통하여 수학 영재교육에서의 테크놀로지 활용에 대한 효과를 탐구하고자 한다.
- 본 연구는 내분삼각형 넓이의 일반화에 대한 탐구 과정에서 GSP가 학생들의 기하학적 원리와 개념의 이해를 어떻게 돕고, 일반화 과정에서 시각화한 내용을 어떻게 논리적으로 전개하는가에 대하여 탐구하였다. 이를 위하여 M대학교 과학영재교육원 중등수학 심화과정에있는 학생 4명을 연구 참여자로 선정하여, 학생들이 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연결하여 만든 삼각형의 넓이와 기존의 삼각형의 넓이 사이의 규칙성을 탐구하고 이를일반화하는 과정에서 수집된 디지털 오디오 녹취물, 학생 활동을 촬영한 비디오 녹화자료와 학생활동지를 서로 연계하여 분석한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다.
- 본 연구는 주어진 삼각형을 m : n으로 내분하여 만든 삼각형들의 넓이의 비의 일반화 과정에서 GSP가 영재학생들의 영재성의 발현에 어떻게 도움을 주는지 관찰하기 위하여 사례연구를 수행하였다. 그러나 삼각형 이외의 사각형이나 다각형의 일반화 과정으로 확장하였을 때에도 이와 같은 결과가 나오는지에 대한 연구가 필요하다.
- 본 연구는 중등 수학 영재학생들이 GSP를 이용하여 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연결하여 만든 삼각형의 넓이와 기존의 삼각형 넓이 사이의 규칙성을 탐구하고 이를 일반화하는 과정에서 다음과 같은 문제를 연구하고자 한다.
- 본 연구는 중등 수학 영재학생들이 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연결하여 만든 삼각형의 넓이와 기존의 삼각형의 넓이 사이의 규칙성을 탐구하고 이를 일반화하는 과정에서 GSP가 학생들에게 미치는 영향에 대하여 분석하기 위하여 정성적 사례 연구 방법을 사용하였다.
가설 설정
- 연구자 : ∆ABC 의 넓이와 ∆ABC 의 각 변을 1:1로 내분하여 만든 ∆DEF 넓이는 각각 얼마이고, 두 삼각형의 넓이의 비는 얼마입니까?
제안 방법
- 학생들의 산출물은 GSP를 활용한 탐구학습 자료와 학생들이 탐구 학습시 기록한 학생 활동지로 구분할 수 있다. GSP를 이용한 탐구학습 자료는 학생들이 주어진 문제를 해결하기 위하여 GSP를 올바르고 적절하게 사용하였는지에 대한 분석 자료로 활용하였다. GSP를 이용한 시각화 자료는 학생들이 주어진 문제를 어떻게 시각화하는가에 대한 학습자의 성취를 정확하게 파악하기 어려웠기 때문에 발견할 수 있는 특성이 매우 한정적이었다.
- GSP를 활용한 탐구 학습에서의 연구 현장은 GSP의 조작에 익숙하지 못한 학생이 쉽게 따라할 수 있도록 LCD 프로젝트를 컴퓨터에 연결하여 컴퓨터 모니터에 나타난 화면을 강의실 전면에 있는 스크린에 나타나도록 구성하였다. 그리고 학생들의 모든 수업 과정 및 수업시 학생들의 행동 등의 자료를 수집하기 위하여 [그림 Ⅲ-1]과 같이 강의실 뒤편에 한 대의 디지털 비디오 카메라를 고정하여 설치하였다.
- GSP를 활용한 탐구 활동의 전체 진행 상황을 고정된 한 대의 디지털 비디오 카메라를 이용하여 녹화하였고, 학생들이 주어진 과제를 해결하는 과정에서의 행동 및 반응, 시각화를 통한 대수화 과정 등을 이동형 디지털 비디오 카메라로 촬영하였다. 또한 탐구 활동의 전체진행 상황과 학생들의 개별 면담을 녹음기를 이용하여 녹음하였다.
- ∆ABC 와 ∆DEF 에서 각 변의 길이가 변할 때 두 삼각형의 넓이의 비가 어떻게 변하는 지 알아보기 위하여 선분 l 위의 한 점C에 애니메이션 기능을 주어 점 C가 선분 l상에서 좌우로 움직일 때 각 삼각형의 넓이의 비가 어떻게 변하는지 관찰하게 하였다(그림 Ⅳ -3)
- 다음은 GSP를 활용한 시각화와 측정 기능이 학생들에게 기하학적 원리와 개념을 쉽게 이해할 수 있게 하고 일반화하는데 도움을 주는 또 다른 사례이다. ∆ABC 의 각 변을 1:1, 2:1, 3:1, 3:2, 4:1, 5:1 5:2로 내분한 점을 연결하여 만든 내분삼각형 ∆DEF 를 작도하게 한 후 [그림 Ⅳ-4]와 같이 측정 메뉴를 이용하여 각 삼각형들의 넓이와 각 삼각형들의 넓이의 비를 구하게 하였다. 그 다음 ∆ABC 의 모양이 변할 때 측정값의 비가 어떻게 변하는지 관찰하게 하였다.
- ∆ABC 의 각 변을 1:1, 2:1, 3:1, 3:2, 4:1, 5:1 5:2로 내분한 점을 연결하여 만든 내분삼각형 ∆DEF 를 작도하게 한 후 [그림 Ⅳ-4]와 같이 측정 메뉴를 이용하여 각 삼각형들의 넓이와 각 삼각형들의 넓이의 비를 구하게 하였다. 그 다음 ∆ABC 의 모양이 변할 때 측정값의 비가 어떻게 변하는지 관찰하게 하였다. 그 결과, GSP를 활용한 시각화와 측정 기능은 수학 영재학생들에게 다양한 사례를 검증하여 일반화하는데 귀납적으로 생각하고 추론하는 능력과 분석적이고 연역적으로 생각하고 추론하는 능력에 도움을 준다는 사실을 확인할 수 있었다.
- 테크놀로지를 이용하여 주어진 과제를 해결하는 과정에서 전체적으로 나타나는 학생들의 행동 및 반응을 분석하기 위하여 고정용 디지털 비디오 카메라에 녹화된 자료를 관찰하였다. 그리고 학생들이 주어진 과제를 GSP를 활용하여 시각화하는 과정과 시각화한 자료를 어떻게 활용하는가에 대해 심층적으로 분석하기 위하여 이동형 디지털 비디오 카메라에 녹화된 자료를 관찰하였다.
- GSP를 활용한 탐구 활동의 전체 진행 상황을 고정된 한 대의 디지털 비디오 카메라를 이용하여 녹화하였고, 학생들이 주어진 과제를 해결하는 과정에서의 행동 및 반응, 시각화를 통한 대수화 과정 등을 이동형 디지털 비디오 카메라로 촬영하였다. 또한 탐구 활동의 전체진행 상황과 학생들의 개별 면담을 녹음기를 이용하여 녹음하였다. 학생들의 산출물은 GSP를 활용한 탐구학습 자료와 학생들이 탐구 학습시 기록한 학생 활동지로 구분할 수 있다.
- 테크놀로지를 활용한 모든 수업 과정을 고정된 디지털 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 디지털 비디오카메라를 이용하여 학생들의 개인별 수업 상황을 집중적으로 녹화하였다. 또한, 수업 중 연구자와 학생, 학생들 상호간의 의사 소통시 이를 명확하게 파악하기 위하여 연구자는 수업 중에 학생들 간의 의사소통 및 연구자와 학생들 간의 의사소통을 디지털 녹음기를 이용하여 녹음하였다.
- 그리고 학생들의 모든 수업 과정 및 수업시 학생들의 행동 등의 자료를 수집하기 위하여 [그림 Ⅲ-1]과 같이 강의실 뒤편에 한 대의 디지털 비디오 카메라를 고정하여 설치하였다. 또한, 중등심화수학 과정에 있는 중학교 2학년 학생 13명 중 연구 대상자로 선정된 학생 4명을 연구자가 집중적으로 관찰하기 위하여 제일 앞자리에 배치하였고, 개개인의 GSP의 조작이나 수업 상황 등을 정밀히 관찰하기 위하여 연구보조자가 또 다른 이동식 디지털 비디오카메라로 학생들의 실험 장면을 집중적으로 촬영하였다.
- 수업의 전 진행 상황을 녹화한 녹화자료 및 인터뷰, 산출물과 수업의 문제점 분석 등을 정성적 접근법을 사용하여 분석하였다. 녹화자료 및 녹음 자료 그리고 인터뷰 자료는 모두 전사를 하였으며 그 내용을 바탕으로 의미를 찾아내는 현상학적 접근 방법(Patton, 2002)으로 자료를 분석하였다.
- 테크놀로지를 활용한 모든 수업 과정을 고정된 디지털 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 디지털 비디오카메라를 이용하여 학생들의 개인별 수업 상황을 집중적으로 녹화하였다. 수업중 학생들 간의 의사소통 및 연구자와 학생들 간의 의사소통은 디지털 녹음기를 이용하여 녹음하였다. 연구자는 학생들의 탐구 학습시 학생들이 GSP의 작도 과정에서 도움을 요청하는 경우에만 개입하였고, 개입하는 경우에 가급적 객관적인 입장을 유지하려고 노력하였다.
- 학생들은 주어진 과제에 대해 GSP를 활용한 활동자료, 시각화한 자료를 활용하여 추론및 대수화 과정, 일반화 과정을 학생 활동지에 기록하였다. 연구자는 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 그래프나 식, 서술된 내용과 학생들의 탐구학습에 대한 이해나 흥미 등을 정확하게 파악하기 위하여 개별적인 면담을 실시하였다.
- 학생들은 주어진 과제에 대해 GSP를 이용한 시각화, 시각화한 자료를 활용한 추론, 대수화, 일반화 과정을 학생 활동지에 기록하였다. 연구자는 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 그림이나 식, 서술된 내용과 학생들의 탐구학습에 대한 이해나 흥미 등을 정확하게 파악하기 위하여 개별적인 인터뷰를 실시하였고 때에 따라서는 집단적인 인터뷰를 실시하였다.
- 학생들은 GSP를 이용하여 ∆ABC 와 이 삼각형의 각 변을 m : n 으로 내분한 점을 연결 하여 만든 ∆DEF 의 넓이의 비의 일반화를 탐구하기 위하여 GSP를 이용하여 [그림 Ⅳ-3], [그림 Ⅳ-4] 등과 같이 ∆ABC 의 각 변을 1:1, 2:1, 3:1, 3:2, 4:1, 5:1 5:2로 내분한 점을 연결하여 만든 내분삼각형 ∆DEF 를 작도하고, GSP로 시각화된 도형을 이용하여 각 변의 길이나 넓이 등을 기호화하고 대수화하여 두 삼각형의 넓이의 비를 일반화하였다. 이 과정에서 학생들은 GSP를 사용하여 각 변의 길이 및 넓이 등을 측정하여 ∆ABC 각각의 변의 길이가 변하더라도 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비는 항상 일정하다는 사실과 세 삼각형 ∆ADF , ∆BDE 와 ∆CEF 의 넓이는 항상 같다는 사실을 이용하여 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비를 일반화하였다.
- 본 연구는 내분삼각형 넓이의 일반화에 대한 탐구 과정에서 GSP가 학생들의 기하학적 원리와 개념의 이해를 어떻게 돕고, 일반화 과정에서 시각화한 내용을 어떻게 논리적으로 전개하는가에 대하여 탐구하였다. 이를 위하여 M대학교 과학영재교육원 중등수학 심화과정에있는 학생 4명을 연구 참여자로 선정하여, 학생들이 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연결하여 만든 삼각형의 넓이와 기존의 삼각형의 넓이 사이의 규칙성을 탐구하고 이를일반화하는 과정에서 수집된 디지털 오디오 녹취물, 학생 활동을 촬영한 비디오 녹화자료와 학생활동지를 서로 연계하여 분석한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다.
- 테크놀로지를 이용하여 주어진 과제를 해결하는 과정에서 전체적으로 나타나는 학생들의 행동 및 반응을 분석하기 위하여 고정용 디지털 비디오 카메라에 녹화된 자료를 관찰하였다. 그리고 학생들이 주어진 과제를 GSP를 활용하여 시각화하는 과정과 시각화한 자료를 어떻게 활용하는가에 대해 심층적으로 분석하기 위하여 이동형 디지털 비디오 카메라에 녹화된 자료를 관찰하였다.
- 테크놀로지를 활용한 모든 수업 과정을 고정된 디지털 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 디지털 비디오카메라를 이용하여 학생들의 개인별 수업 상황을 집중적으로 녹화하였다. 수업중 학생들 간의 의사소통 및 연구자와 학생들 간의 의사소통은 디지털 녹음기를 이용하여 녹음하였다.
- 수학 영재성의 구성요소로 김홍원 외(1996)는 직관적 통찰 능력, 정보의 조직화 능력, 공간화/시각화 능력, 수학적 추상화 능력, 귀납적ㆍ연역적 사고 능력과 같은 수학적 추론 능력, 일반화 및 적용 능력 등과 같은 수학적 사고능력을 제시하였다. 학생 A의 경우, GSP를 이용하여 삼각형들을 작도하고, 작도한 삼각형들의 넓이의 비를 측정하고, 측정된 값을 분석하여 각 삼각형의 넓이를 기호화하고 대수화하였고, 이렇게 대수화한 자료를 종합적으로 활용하여 두 삼각형의 넓이의 비를 일반화하였다([그림 Ⅳ-7]). 학생 A의 일반화 과정에서 김홍원 외(1996)가 제시한 정보의 조직화 능력, 수학적 추상화 능력, 귀납적ㆍ연역적 사고 능력과 같은 수학적 추론 능력 그리고 수학적 일반화와 같은 수학 영재성의 구성요소가 나타남을 관찰할 수 있었다.
- GSP를 이용한 시각화 자료는 학생들이 주어진 문제를 어떻게 시각화하는가에 대한 학습자의 성취를 정확하게 파악하기 어려웠기 때문에 발견할 수 있는 특성이 매우 한정적이었다. 학생 활동지에서는 시각화 자료에서 정확히 파악할 수 없는 대수화 과정과 일반화 과정에서 나타난 특징 등을 분석하였다.
- GSP를 이용한 시각화 자료는 학생들이 주어진 문제를 어떻게 시각화하는가에 대한 학습자의 성취를 정확하게 파악하기 어려웠기 때문에 발견할 수 있는 특성이 매우 한정적이었다. 학생 활동지에서는 시각화 자료에서 정확히 파악할 수 없는 대수화 과정과 증명에서 나타난 특징 등을 분석하였다.
- 학생들은 GSP를 이용하여 ∆ABC 와 이 삼각형의 각 변을 m : n 으로 내분한 점을 연결 하여 만든 ∆DEF 의 넓이의 비의 일반화를 탐구하기 위하여 GSP를 이용하여 [그림 Ⅳ-3], [그림 Ⅳ-4] 등과 같이 ∆ABC 의 각 변을 1:1, 2:1, 3:1, 3:2, 4:1, 5:1 5:2로 내분한 점을 연결하여 만든 내분삼각형 ∆DEF 를 작도하고, GSP로 시각화된 도형을 이용하여 각 변의 길이나 넓이 등을 기호화하고 대수화하여 두 삼각형의 넓이의 비를 일반화하였다. 이 과정에서 학생들은 GSP를 사용하여 각 변의 길이 및 넓이 등을 측정하여 ∆ABC 각각의 변의 길이가 변하더라도 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비는 항상 일정하다는 사실과 세 삼각형 ∆ADF , ∆BDE 와 ∆CEF 의 넓이는 항상 같다는 사실을 이용하여 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비를 일반화하였다.
- 학생들은 GSP를 이용하여 ∆ABC 와 이 삼각형의 각 변을 m : n으로 내분하는 점을 연 결하여 만든 ∆DEF 의 넓이의 비의 일반화를 탐구하는 과정에서 ∆ABC 와 ∆ABC 의 각 변을 m : n으로 내분하는 점과 이 내분점들을 연결하여 ∆DEF 를 작도하고, GSP의 측정 및 계산 메뉴를 이용하여 작도한 도형에서 각 변의 길이, ∆ABC , ∆ADF , ∆BDE , ∆CEF 와 ∆DEF 의 넓이, ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비 등을 구하였다. 이렇게 측정된 값은 [그림 Ⅳ-3]과 [그림 Ⅳ-4]에서 보는 바와 같이 각 변의 길이, 삼각형의 넓이, 두 삼각 형의 넓이의 비 등이 컴퓨터 화면상에 기호화되고 대수화되어 나타난다.
- 학생들은 삼각형의 각 변을 1:1로 내분한 삼각형의 내분점을 연결하여 만든 내분삼각형의 넓이의 비를 관찰하기 위하여 [그림 Ⅳ-2]와 같이 ∆ABC 와 ∆ABC 를 1:1로 내분하여 만든 내분삼각형 ∆DEF 를 작도 하였다. 그들은 GSP의 측정 메뉴를 사용하여 각각의 넓이를 측정한 후 두 삼각형의 비를 계산 하였다.
- 학생들은 주어진 과제에 대해 GSP를 이용한 시각화, 시각화한 자료를 활용한 추론, 대수화, 일반화 과정을 학생 활동지에 기록하였다. 연구자는 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 그림이나 식, 서술된 내용과 학생들의 탐구학습에 대한 이해나 흥미 등을 정확하게 파악하기 위하여 개별적인 인터뷰를 실시하였고 때에 따라서는 집단적인 인터뷰를 실시하였다.
- 학생들은 주어진 과제에 대해 GSP를 활용한 활동자료, 시각화한 자료를 활용하여 추론및 대수화 과정, 일반화 과정을 학생 활동지에 기록하였다. 연구자는 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 그래프나 식, 서술된 내용과 학생들의 탐구학습에 대한 이해나 흥미 등을 정확하게 파악하기 위하여 개별적인 면담을 실시하였다.
대상 데이터
- 본 연구에서 수집한 문서 자료는 학생들이 GSP를 활용하여 탐구활동을 진행하면서 작성한 탐구활동지 및 GSP를 이용하여 컴퓨터의 모니터에 시각화한 자료 등이다.
- 사례연구의 자료로는 학생들이 테크놀로지를 활용한 탐구 활동을 관찰한 관찰 자료, 탐구활동에 참여한 학생들의 면담 자료, 탐구 활동 수행의 결과물인 학생 활동지와 테크놀로지를 이용하여 시각화한 시각화 자료 등을 수집하였다.
- 수학 영재학생들의 내분삼각형의 일반화 탐구 과정에서 GSP를 활용한 시각화, 추론, 대수화와 논리적 탐구 과정을 연구하기 위하여 M대학교 과학영재교육원 중등 심화수학 과정에 있는 중학교 2학년 학생 13명을 대상으로 수업을 진행하였다. 이중 학생 A, B, C, D 4명을 선택하여 집중적으로 관찰하여 사례연구를 수행하였다.
- 수학 영재학생들의 내분삼각형의 일반화 탐구 과정에서 GSP를 활용한 시각화, 추론, 대수화와 논리적 탐구 과정을 연구하기 위하여 M대학교 과학영재교육원 중등 심화수학 과정에 있는 중학교 2학년 학생 13명을 대상으로 수업을 진행하였다. 이중 학생 A, B, C, D 4명을 선택하여 집중적으로 관찰하여 사례연구를 수행하였다. 연구 대상에 포함된 학생들 모두 연구자가 실시한 이전의 몇 차례 수업에서의 수업행동을 관찰한 결과 남들보다 월등히 특별하거나 뚜렷하게 영재성을 발현하지 못한 학생들이었다.
이론/모형
- 수업의 전 진행 상황을 녹화한 녹화자료 및 인터뷰, 산출물과 수업의 문제점 분석 등을 정성적 접근법을 사용하여 분석하였다. 녹화자료 및 녹음 자료 그리고 인터뷰 자료는 모두 전사를 하였으며 그 내용을 바탕으로 의미를 찾아내는 현상학적 접근 방법(Patton, 2002)으로 자료를 분석하였다.
성능/효과
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(1) GSP를 활용한 도형과 기호의 시각화는 수학 영재학생들이 수학적 사 실을 기호로 표현하고 대수화하는데 긍정적인 역할을 한다.
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(1) GSP를 활용한 시각화는 수학 영재학생들이 기하학적 원리와 개념을 직관적으로 이해하고 다양한 사례를 검증하여 일반화하는데 도움을 주고, 귀납적 추론 능력과 분석적이고 연역적으로 추론하는 능력을 계발하는데 도움을 주었다.
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(2) GSP로 시각화한 내용은 영재학생들의 정보의 조직화 능력, 수학적 추상화 능력, 귀납적ㆍ연역적 사고 능력과 같은 수학적 추론 능력, 일반화와 같은 수학적 능력의 계발에 도움을 주고, 증명학습에 도움을 준다.
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(2) GSP를 활용한 교수ㆍ학습은 수학 영재학생들에게 능동적인 탐구활동을 조장하고 수학적인 개념의 확장이나 사고의 확산에 긍정적인 역할을 한다.
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(3) GSP를 활용한 수학영재 교수ㆍ학습은 수업에 소극적인 태도를 보인 학생에 게 수업에 적극적으로 참여하도록 함으로써 수학에 대한 흥미와 태도, 자신의 능력에 대한 믿음, 자기 신뢰감 등과 관련된 수학적 과제 집착력을 발현하게 한다.
- 수학에서 개념의 확장이나 사고의 확산은 수학 영재학생에게 중요하다. GSP를 활용한 학습은 영재 학생들에게 능동적인 탐구 활동을 조장하고 수학적인 개념이나 사고의 확장 측면에서 긍정적인 역할을 한다는 것을 관찰할 수 있었다.
- 개별적으로 집중 촬영한 비디오 녹화 화면과 학생 활동지를 살펴보면 학생들은 ∆ABC와 ∆DEF 의 넓이의 비의 일반화 과정에서 컴퓨터 화면에 나타난 도형을 참고하기 위하여조작하거나 컴퓨터 모니터에 나타난 도형을 활동지에 옮겨 그린 후 ∆ABC 의 각 변을 m : n 으로 내분점을 연결하여 만든 ∆DEF 의 넓이의 비를 일반화하는 것을 관찰할 수 있었다([그림 Ⅳ-8]).
- 그 다음 ∆ABC 의 모양이 변할 때 측정값의 비가 어떻게 변하는지 관찰하게 하였다. 그 결과, GSP를 활용한 시각화와 측정 기능은 수학 영재학생들에게 다양한 사례를 검증하여 일반화하는데 귀납적으로 생각하고 추론하는 능력과 분석적이고 연역적으로 생각하고 추론하는 능력에 도움을 준다는 사실을 확인할 수 있었다.
- 20세기 말부터 시작된 기술문명의 비약적인 발전은 수학교육에서 테크놀로지 도입의 필요성을 요구하게 되었고, 수학교육에서 그래픽 능력과 계산 능력을 가진 테크놀로지의 도입은 수학의 교수학습 방법과 본질뿐만 아니라 수학적인 내용에서 변화를 유도하고 있다. 기술 문명의 급속한 발달은 칠판과 분필, 자와 컴퍼스를 활용한 고전적인 수업환경을 계산기, 컴퓨터, 컴퓨터 소프트웨어 등과 같은 테크놀로지를 활용한 수업환경으로의 변화를 가져왔고, 컴퓨터의 탁월한 기능과 능력은 교수ㆍ학습의 방법을 현저하게 변화시키고, 수학적 내용도 긍정적인 변화를 가져왔다. 미래의 수학 교실은 학생들이 첨단 테크놀로지를 이용하여 복잡한 수학적 활동을 통하여 생산적이고 반성적으로 사고하게 된다(NCTM, 2000).
- 둘째, 수학 영재 교수ㆍ학습에서 GSP의 활용은 학생들에게 능동적인 자세로 테크놀로지를 활용하여 창조적 사고영역을 구축하게 함으로써 앉아서 주어지는 수학을 습득하는 방식이 아니라 학습자의 사고 영역에 따라 스스로 확장해 가면서 살아 숨 쉬는 수학을 추구할 수 있게 한다. GSP를 활용한 수학 교수ㆍ학습은 수학 학생들의 자기주도적인 탐구식 학습을 가능하게 하고 학생들의 수업에 대한 흥미와 적극적인 참여를 조장하게 하여 수업에 소극적인 태도를 보인 학생에게 수업에 적극적으로 참여하도록 유도하고, 수업에 집중하지 못하고 주의가 산만한 학생에게 호기심을 자극하여 수업에 집중하게 함으로써 수학에 대한 흥미와 태도, 자신의 능력에 대한 믿음, 자기 신뢰감 등과 관련된 수학적 과제 집착력을 발현하게 하는 것을 확인할 수 있게 한다.
- 학생 D의 탐구 학습을 관찰하는 과정에서 이와 같은 특징을 관찰할수 있었다. 따라서 GSP를 활용한 수학영재 교수ㆍ학습은 수업에 소극적인 태도를 보인 학생에게 수업에 적극적으로 참여하도록 함으로써 수학에 대한 흥미와 태도, 자신의 능력에 대한 믿음, 자기 신뢰감 등과 관련된 수학적 과제 집착력을 발현하게 하는 것을 확인할 수있었다.
- 위의 인터뷰 내용 중 학생 A와의 대화에서 보듯이 GSP를 활용한 시각화 자료를 통하여 학생 A는 중점 연결 정리를 이용하여 직관적으로 ∆ABC 와 ∆DEF 가 닮은 삼각형이라는 것을 인식하였으며 측정 메뉴를 통해 얻은 결과로 대응하는 두 변의 길이의 비가 2:1이고 넓이의 비가 4:1로 일정함을 확인할 수 있었다. 또한 GSP의 드래그 기능을 이용하여 삼각형이 어떠한 모양으로 변하더라도 두 삼각형의 넓이의 비는 항상 일정하다는 사실을 귀납적으로 확인할 수 있었다.
- 셋째, GSP를 활용한 도형과 기호의 시각화는 수학 영재학생들이 수학적 사실을 기호로 표현하고 대수화하는데 긍정적인 역할을 한다. 또한, GSP로 시각화한 내용은 영재학생들의정보의 조직화 능력, 수학적 추상화 능력, 귀납적ㆍ연역적 사고 능력과 같은 수학적 추론 능력, 일반화와 같은 수학적 능력의 계발에 도움을 주고, 증명학습에 도움을 준다.
- 위의 인터뷰 내용 중 학생 A와의 대화에서 보듯이 GSP를 활용한 시각화 자료를 통하여 학생 A는 중점 연결 정리를 이용하여 직관적으로 ∆ABC 와 ∆DEF 가 닮은 삼각형이라는 것을 인식하였으며 측정 메뉴를 통해 얻은 결과로 대응하는 두 변의 길이의 비가 2:1이고 넓이의 비가 4:1로 일정함을 확인할 수 있었다. 또한 GSP의 드래그 기능을 이용하여 삼각형이 어떠한 모양으로 변하더라도 두 삼각형의 넓이의 비는 항상 일정하다는 사실을 귀납적으로 확인할 수 있었다.
- 학생 A의 일반화 과정에서 김홍원 외(1996)가 제시한 정보의 조직화 능력, 수학적 추상화 능력, 귀납적ㆍ연역적 사고 능력과 같은 수학적 추론 능력 그리고 수학적 일반화와 같은 수학 영재성의 구성요소가 나타남을 관찰할 수 있었다. 이를 통하여, 수학 영재학생들의 GSP를 활용한 탐구 학습은 수학영재학생들의 증명 학습에 어느 정도 긍정적인 역할을 함을 확인할 수 있었다.
- 이와 같이 GSP를 활용한 학습은 영재 학생들에게 능동적인 탐구 활동을 조장하고 수학적인 개념이나 사고의 확장 측면에서 긍정적인 역할을 한다는 것을 확인할 수 있었고, 수학적 창의성을 계발하는데 도움을 주는 것을 확인할 수 있었다.
- 학생 B는 GSP를 이용한 시각화를 이용하여 ∆ABC 의 각 변의 길이가 변하더라도 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비의 값은 항상 일정함을 확인할 수 있었고, 이를 통하여 내분삼각형의 넓이의 비에 대한 원리와 개념을 쉽게 이해할 수 있었다. 이처럼 GSP를 이용한 시각화는 수학 영재학생들에게 기하학적 원리와 개념을 이해하고 다양한 사례를 검증하여 일반화하는데 도움을 준다는 것을 확인할 수 있었다.
- 첫째, GSP를 활용한 도형의 작도는 학생들이 손으로 직접 도형을 작도할 때 보다 훨씬더 신속하고 정확하게 도형을 제시해 줄뿐만 아니라 GSP의 끌기(dragging) 기능은 도형을 다양한 각도에서 접근할 수 있게 하고, 측정 및 계산 기능은 대상에 대한 다양한 양을 측정할 수 있고 측정한 내용은 대상이 바뀔 때마다 자동적으로 바뀌게 되어 사고의 방향을 좀더 창조적으로 유도할 수 있다. 이와 같은 GSP의 시각화 기능과 측정 기능은 수학 영재학생들에게 직관적으로 도형의 성질을 쉽게 인식할 수 있게 함으로써 기하학적 원리와 개념을 직관적으로 이해하고 다양한 사례를 검증하는데 도움을 준다.
- 수학적 창의성은 수학적 문제를 창의적으로 해결하는 능력으로 유창성, 융통성, 독창성, 정교성의 능력들이 포함된다고 하였다(김홍원 외, 1996; 신희영 외, 2007; 이강섭ㆍ심상길, 2007). 학생 A의 GSP를 통한 탐구 활동에서 창의성의 구성요소 중 다양한 각도에서 현상을 파악할 수 있는 능력 즉, 기존의 고정된 사고방식에서 벗어나 다양한 해결책을 찾아내는 능력인 융통성을 발견할 수 있었다.
- 학생 B는 GSP를 이용한 시각화를 이용하여 ∆ABC 의 각 변의 길이가 변하더라도 ∆ABC 와 ∆DEF 의 넓이의 비의 값은 항상 일정함을 확인할 수 있었고, 이를 통하여 내분삼각형의 넓이의 비에 대한 원리와 개념을 쉽게 이해할 수 있었다. 이처럼 GSP를 이용한 시각화는 수학 영재학생들에게 기하학적 원리와 개념을 이해하고 다양한 사례를 검증하여 일반화하는데 도움을 준다는 것을 확인할 수 있었다.
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