[논문]'정의'의 재발명을 상상하다 : Lesson Play의 분석

이지현

'정의'의 재발명을 상상하다 : Lesson Play의 분석
Imagining the Reinvention of Definitions : an Analysis of Lesson Plays 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.15 no.4, 2013년, pp.667 - 682

초록
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이 연구에서는 도형 정의의 재발명에 대해 세 교사가 쓴 lesson play를 통하여, 교사들이 가지고 있었던 정의 개념과 연역적 조직화로서의 정의하기를 가르치고자 할 때 봉착했던 교수학적 문제들을 살펴보았다. 교사들은 lesson play에서 도형의 정의를 주입식으로 전달하지 않았으며 여러 다른 정의의 가능성을 제시하였으나, 연역적 조직화로서의 정의하기를 적극적으로 구현할 수는 없었다. 교사들은 정의를 어떤 용어에 대한 언어적 약속으로 생각하여, 정의를 가르치는 데 있어 연역적 조직화와 같은 과정이 왜 필요한 지를 이해하지 못하였다. 또 수학적 정의의 임의성 및 정의와 정리의 지위가 절대적이지 않다는 사실을 수용하는 데에도 어려움을 겪고 있었다. 이와 같은 결과는 교사들이 도형의 수학적 정의를 자신이 배웠던 방식과 다르게 가르치도록 하기 위해서는, 교사교육에서 단순히 Freudenthal의 이론과 같은 이상적인 교수 방향 및 철학을 소개하는 것만으로는 부족하며, 상식적인 정의 개념과 수학적 정의 개념의 차이를 인식하고 반성해보는 것이 필요함을 보여주고 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

Though teachers' lesson plays, this article analysed teachers' knowledge for mathematical teaching about mathematical definitions and their pedagogical difficulties in teaching defining. Although the participant teachers didn't transmit definitions to students and suggested possible definitions of the given geometric figure in their imaginary lessons, they didn't teach defining as deductive organization of properties of the geometric figure. They considered mathematical definition as a mere linguistic convention of a word, so they couldn't appreciate the necessity of deductive organization in teaching definitions, and the arbitrary nature of mathematical definitions. Therefore, for learning to teach definitions differently, it is necessary for teachers to reflect the gap between the everyday and mathematical definitions in teachers'education.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

한편 연구자들은 lesson play를 통하여, 교사들이 생각하는 ‘좋은 수업’으로 향하는 교수 경로를 구체적으로 관찰함으로서 교사들의 교수학적 내용 지식 및 교육적 성향을 분석할 수 있다. 본 연구에서도 lesson play를 교사들이 가진 정의에 관한 교수학적 내용지식을 분석하는 렌즈로 활용하고자 한다.
연구자는 강의의 첫 시간에 lesson play를 연구 참여자들에게 소개하였다. 그리고 Zazkis, Liljedahl, Sinclair(2009)에서의 소수와 합성수의 개념에 대한 문제 상황을 제시하고, 그에 대한 간단한 lesson play를 각자 작성한 후에 Zazkis, Liljedahl, Sinclair(2009)의 이상적인 lesson play 사례와 비교 및 반성하는 토론을 하였다.
이 연구는 도형 정의의 재발명에 대하여 교사들이 작성한 lesson play를 다음 연구문제를 중심으로 분석하고자 한다.
이러한 분석에서, 교사들이 가지고 있었던 정의 개념은 어떤 것이었으며, 특히 Freudenthal의 이론을 반영하여 정의를 가르치고자 할 때 어떤 교수학적 문제에 봉착할 수 있는지를 살펴본다. 이를 바탕으로 교사들이 자신이 과거에 배웠던 방식과 다른 방식으로 도형의 정의를 가르치기 위해 교사교육에서는 무엇이 필요한가에 대해 논의한다.
이러한 분석에서, 교사들이 가지고 있었던 정의 개념은 어떤 것이었으며, 특히 Freudenthal의 이론을 반영하여 정의를 가르치고자 할 때 어떤 교수학적 문제에 봉착할 수 있는지를 살펴본다. 이를 바탕으로 교사들이 자신이 과거에 배웠던 방식과 다른 방식으로 도형의 정의를 가르치기 위해 교사교육에서는 무엇이 필요한가에 대해 논의한다.

가설 설정

1. 교사 : 그럼 평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행한 사각형, 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이라고 정의할 때, 등변 사다리꼴은 어떻게 정의 내릴 수 있을까요?
17. 학생 1 : 대각선이 같은 사각형은 많아요. 직사각형, 정사각형, 평행사변형 다 같으니까요.
3. 교사 : 그럼, 한 쌍의 대변이 평행하고 두 변의 길이가 같은 사각형?
3. 교사 : 사각형이라고 하면 이 도형만의 이름이 아니겠지. 사람의 이름처럼 이 도형만을 설명해 주는 구분되는 이름이면 좋겠지(이후 중략, 교사 P의 lesson play).
② 대각선의 길이가 같다.

제안 방법

교사 P의 lesson play는 다음과 같이 등변사다리꼴이라는 용어를 먼저 제시하지 않은 채, 도형에 대해 마치 ‘사람의 이름처럼 이 도형만을 설명할 수 있는’ 이름을 지어보자는 제안으로 시작하였다.
연구자는 lesson play의 주제를 제시한 뒤, 연구 참여자들과 주제에 대한 간단한 1차 토론의 기회를 가졌다. 교사들이 최종보고서를 제출한 후, 각 교사가 작성한 lesson play에 대한 의문점에 대해 e-mail을 이용하여 개별적으로 인터뷰를 실시하였으며, 교사 P , H와는 2차 토론의 기회를 가질 수 있었다⁷⁾. 연구자는 교사들이 작성한 lesson play 및 최종보고서, 토론과 인터뷰에 대한 전사 기록 등의 자료를 분석하였다.
그리고 Zazkis, Liljedahl, Sinclair(2009)에서의 소수와 합성수의 개념에 대한 문제 상황을 제시하고, 그에 대한 간단한 lesson play를 각자 작성한 후에 Zazkis, Liljedahl, Sinclair(2009)의 이상적인 lesson play 사례와 비교 및 반성하는 토론을 하였다. 연구자는 강의에서 도형의 여러 성질을 연역적으로 조직화하면서 정의하기를 가르칠 수 있다는 Freudenthal의 기하 교육 이론을 소개하였으며, van Hiele 기하학습수준이론과 도형의 정의 이해의 문제를 연결하여 설명하였다⁵⁾.
교사들이 최종보고서를 제출한 후, 각 교사가 작성한 lesson play에 대한 의문점에 대해 e-mail을 이용하여 개별적으로 인터뷰를 실시하였으며, 교사 P , H와는 2차 토론의 기회를 가질 수 있었다⁷⁾. 연구자는 교사들이 작성한 lesson play 및 최종보고서, 토론과 인터뷰에 대한 전사 기록 등의 자료를 분석하였다.
이 연구에 참여했던 교사들은 등변사다리꼴의 정의를 재발명하는 교수과제에 대하여 ‘정의하기’에 대한 자신의 생각을 lesson play로 구현하였다.
이러한 이론 강의 후에, 본 연구에서 분석할 lesson play를 기말 과제로 제시하였다. 최종 보고서에는 lesson play 뿐 아니라 lesson play에서 달성하고자 했던 학습목표⁶⁾, 교수 학습상황에 대한 가정(학습 과정 및 학생들의 성향에 대한 가정, 좋은 수학 수업에 대한 자신의 생각)등에 대한 간단한 설명을 포함하도록 하였다.

대상 데이터

이 연구의 참여자는 2013년 1학기 교육대학원에서 연구자가 강의한 ‘수학교재연구 및 지도법4)’을 수강했던 세 여교사이다.

이론/모형

이와 관련하여 Freudenthal은 교사가 수학적 개념의 재발명 과정을 상상하는 사고 실험의 필요성을 지적하였는데(우정호, 2000), 이 연구에서는 이러한 사고실험의 도구로 교사와 학생사이의 대화라는 형식을 가진 ‘lesson play(Zazkis, Liljedahl, Sinclair, 2009)’를 활용하고자 한다.

성능/효과

그러나 위와 같은 교사들의 반응은 어떤 도형에 대해 논리적으로 대등한 정의가 여러 개일 수 있으며, 정의와 정리의 지위가 절대적인 것이 아니라는 사실이 교사들에 게도 낯선 것이었음을 시사한다. 결과적으로 교사들 자신도 수학적 정의의 임의성과 중학교 교과서의 정의 설명의 해석 사이에서 발생할 수 있는 피상적인 모순을 완전히 해소하지 못하고 있음을 알 수 있었다. 현실적인 교수 환경의 여러 제약 외에도 이러한 딜레마는 왜 교사들이 Freudenthal의 이론을 안전한, 또 실현 가능한 교수 방법으로 생각할 수 없었는지를 설명하고 있다.
다른 정의의 가능성을 제시하면서도, 인터뷰에서는 이름과 부합하지 않는 다른 성질을 이용한 정의의 가능성을 암묵적으로 거부하고 있음을 관찰할 수 있었으며, 따라서 어떤 도형에 대해 논리적으로 대등한 여러 정의들이 존재할 수 있다기보다는 그녀의 표현대로 ‘이름을 정의화한’단 하나의 자연스러운 정의가 있다고 믿고 있었다.
이상과 같이 교사 K와 H는 lesson play에서 도형에 대한 여러 정의의 가능성을 제시하였으나, 이러한 정의의 선택이 어떻게 가능한가를 보여줄 수 있는 연역적 조직화의 과정은 소홀히 취급하고 있었다. 인터뷰를 통해, 이들 교사들이 정의를 가르치는 데 있어 연역적 조직화의 과정을 정의를 설명하는 데 있어서는 부차적인 절차 혹은 정의가 확립된 이후에나 다룰 수 있는 것으로 인식하고 있었음을 확인할 수 있었다.

후속연구

한편, 정의의 임의성에 대해 혼란스러워 했던 수학교사들의 반응은, 중학교 교과서의 정의에 대한 설명 및 접근으로 인해 수학적 정의 개념에 대해 잠재적으로 어떤 잘못된 인식을 가질 수 있는지를 보여주고 있다. 따라서 이러한 정의 교육의 맹점을 개선 및 보완할 수 있는 방법에 대한 교육적 고민 및 후속 연구가 필요하다.
이들 연구자들은 교사교육에서 단지 바람직한 교수 방향을 제시하는 수준에 머물러서는 부족하며, 새로운 교수 방법의 실현을 위해 요구되는 교수학적 내용 지식과 자신이 갖고 있는 현재 지식, 혹은 과거 학교 수학을 배웠던 방식 사이에 존재할 수 있는 간격을 교사들이 인식하게 하는 것이 필요하다고 지적하였다. 본 연구의 lesson play를 통한 분석 역시, Freudenthal의 이론과 같은 이상적인 교수 철학을 소개하는 것만으로는 교사들이 도형의 정의를 다르게 접근하도록 교수동기를 부여하기 어려움을 보여주고 있으며, Freudenthal의 관점이 함의하는 정의 개념과 상식적인 정의 개념 사이에 존재할 수 있는 차이에 대해 반성해보는 것이 필요함을 시사하고 있다.
이 연구에서는 교사들의 lesson play를 정의에 대한 교수학적 내용지식에 대한 분석의 도구로 활용하였으나, 수학교사교육에서 lesson play는 학교수학에 대한 자신의 지식과 새로운 교수 방법의 실행에 요구되는 내용 지식의 차이를 인식하고 반성하는 교육 도구로서도 활용을 기대할 수 있다. 한편, 정의의 임의성에 대해 혼란스러워 했던 수학교사들의 반응은, 중학교 교과서의 정의에 대한 설명 및 접근으로 인해 수학적 정의 개념에 대해 잠재적으로 어떤 잘못된 인식을 가질 수 있는지를 보여주고 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	수학적 정의가 일상적인 정의와 달리 정의와 정의되는 대상이 정확하게 동치 혹는 필요충분조건이라는 속성을 가지는 배경은 무엇인가?	193)’으로 일상적인 정의와 별다른 차이 없이 설명되고 있다. 일상생활에 서는 정의를 주로 정의되는 대상을 다른 대상과 구별하는 근거로 사용하지만, 수학에서는 정의를 다른 대상과 구분하는 것 이상의 정의로부터 그 대상이 가지고 있는 새로운 성질을 증명하는 데 사용한다. 이러한 사용의 차이 때문에, 수학적 정의는 일상적인 정의와 달리 정의와 정의되는 대상이 정확하게 동치 혹은 필요충분조건이라는 속성을 가진다(Alcock, Simpson, 2002; Jacobs, 2003, 46-47).
	수학 용어는 어떠한 측면을 가지고 있는가?	수학 용어는 규약성과 의미성이라는 두 가지 측면을 가지고 있다. 규약성은 용어 자체를 개념에 대한 하나의 규약으로 수용하는 것을 말하는데, 예를 들어 ‘이등변삼각형’은 용어 자체가 그 정의 혹은 규약을 내포하는 규약성이 강한 용어 이다(박경미, 2007).
	정의의 최소성이란 무엇인가?	이와 같은 연역적 조직화 과정에서, 학생들은 수학에서의 정의가 일상적 정의와 다른 최소성, 임의성과 같은 특징을 가지게 된다는 것을 자연스럽게 이해할 수 있다. 정의의 최소성이란, 정의가 그 개념을 결정하는 최소한의 정보만을 가지고 있으며 불필요한 정보를 포함하지 않는 속성이다(Linchevsky, Vinner, Karsenty, 1992). 예를 들어 평행사변형을 ‘두 쌍의 대변이 평행하고, 길이가 같은 사각형’ 이라고 정의하지 않더라도, 두 쌍의 대변이 평행하면 대변의 길이도 같으므로 ‘두 쌍의 대변이 평행한 사각형’ 이라는 정의 만으로도 충분함을 이해할 수 있다.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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