동일한 수학적 상황에서 문제해결 능력 분석 연구 -방정식.부등식과 함수를 중심으로- An Analysis of students' problem solving ability on the equivalent mathematics situations -Focused on equations, inequalities, and functions-원문보기
본 연구의 목적은 고등학교 학생들이 동일한 수학적 상황을 다른 형태로 제시할 때 수학 문제해결 능력을 분석 연구하는데 있다. 본 연구의 결과로부터 얻어진 결론은 다음과 같다. 첫째, 동일한 수학적 상황을 함수로 제시한 문항이 방정식과 부등식으로 제시한 문항보다 정답률이 높았으며, 일차방정식일차부등식과 일차함수와의 관계를 묻는 문항보다 이차방정식이차부등식과 이차함수와의 관계를 묻는 문항에서 정답률이 떨어졌다. 둘째, 방정식과 부등식 문항을 기계적인 계산에 의해서 푸는 문항을 주로 접해온 학생들은 면담 결과 그래프에서 나타나는 교점이 연립방정식의 해라고 알고 있는 학생은 많았지만 그것을 그래프를 그리거나 해를 구하는 데 사용하지 못하는 것으로 보아 방정식과 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 것을 알 수 있었다. 셋째, 면담을 통하여 학생들이 방정식 부등식과 함수에 대한 관계를 어떻게 생각하고 있는지 알아본 결과, 관계에 대한 정확한 이해 능력이 없음에도 정답을 구하는 경우가 있었다.
본 연구의 목적은 고등학교 학생들이 동일한 수학적 상황을 다른 형태로 제시할 때 수학 문제해결 능력을 분석 연구하는데 있다. 본 연구의 결과로부터 얻어진 결론은 다음과 같다. 첫째, 동일한 수학적 상황을 함수로 제시한 문항이 방정식과 부등식으로 제시한 문항보다 정답률이 높았으며, 일차방정식 일차부등식과 일차함수와의 관계를 묻는 문항보다 이차방정식 이차부등식과 이차함수와의 관계를 묻는 문항에서 정답률이 떨어졌다. 둘째, 방정식과 부등식 문항을 기계적인 계산에 의해서 푸는 문항을 주로 접해온 학생들은 면담 결과 그래프에서 나타나는 교점이 연립방정식의 해라고 알고 있는 학생은 많았지만 그것을 그래프를 그리거나 해를 구하는 데 사용하지 못하는 것으로 보아 방정식과 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 것을 알 수 있었다. 셋째, 면담을 통하여 학생들이 방정식 부등식과 함수에 대한 관계를 어떻게 생각하고 있는지 알아본 결과, 관계에 대한 정확한 이해 능력이 없음에도 정답을 구하는 경우가 있었다.
The purpose of this study is to examine that high school students recognize mathematical situation when they are requested for changing identical mathematics situations into different situations. The results of the study are followings. First, percentage of correct answers to the questions of turnin...
The purpose of this study is to examine that high school students recognize mathematical situation when they are requested for changing identical mathematics situations into different situations. The results of the study are followings. First, percentage of correct answers to the questions of turning equal mathematical situation into function is higher than the one of turning equal mathematical situation into equation and inequality. As a result of individual interview for comprehensibility of the students on these relations, it is found that if degree goes up and there is different expressions of questionaries although mathematical situation is identical, it affects comprehensibility of the subjects. Second, we found that they cannot understand identical mathematics situations because they have trouble in drawing graph or applying to get the answer while many students understand a point of intersection on the graph as a correct answer. Third, As a result of individual interview for comprehensibility of the students on relation between equation, inequality and function, we found that students manage to get correct answer even without perfect comprehensibility on this relation.
The purpose of this study is to examine that high school students recognize mathematical situation when they are requested for changing identical mathematics situations into different situations. The results of the study are followings. First, percentage of correct answers to the questions of turning equal mathematical situation into function is higher than the one of turning equal mathematical situation into equation and inequality. As a result of individual interview for comprehensibility of the students on these relations, it is found that if degree goes up and there is different expressions of questionaries although mathematical situation is identical, it affects comprehensibility of the subjects. Second, we found that they cannot understand identical mathematics situations because they have trouble in drawing graph or applying to get the answer while many students understand a point of intersection on the graph as a correct answer. Third, As a result of individual interview for comprehensibility of the students on relation between equation, inequality and function, we found that students manage to get correct answer even without perfect comprehensibility on this relation.
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문제 정의
또한 본 연구의 주제인 방정식·부등식과 함수의 관계에서 수학적 상황이 잘 나타나는 문항인가를 알아보기 위해 실시하였다.
본 검사도구의 목적은 주어진 동일한 수학적 상황에 대한 방정식·부등식과 함수 문제를 해결하는 능력과 어려움의 원인을 분석하기 위한 것이다.
본 논문에서는 고등학교 학생들이 동일한 수학적 상황에서 방정식·부등식과 함수의 관계를 인식하고 있는지를 분석하고, 인식하지 못하는 학생들의 원인은 무엇인지 찾아보고자 하였다.
본 논문의 연구 문제를 해결하기 위한 연구 방법은 고등학교 2학년 학생을 대상으로 중학교와 고등학교 함수 단원에 관련된 내용을 선정하여 연구 목적에 따라 지필 검사를 실시한 후 그 검사지에 나타나는 반응을 기술하는 기술 연구이다. 또한 지필검사에 나타나지 않은 원인을 보다 깊이 분석하기 위하여 개별면담을 실시하였다.
본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들이 동일한 수학적 상황이 주어졌을 때 방정식․ 부등식과 함수와의 관계를 이해하고 있는지를 분석해 보고 이해하지 못하는 경우 어떠한 원인이 있는지를 알아보고자 하는 데에 있다. 이러한 분석 결과를 토대로 선행 연구와 관련지어 차례로 논의해 본다.
본 연구의 목적은 주어진 동일한 수학적 상황을 방정식 문제와 함수의 문제로 제시할 때 학생들은 해결 과정에서 동일한 수학적 상황을 인식하고 있는가? 와 주어진 동일한 수학적 상황을 부등식 문제와 함수의 문제로 제시할 때 학생들은 해결 과정에서 동일한 수학적 상황을 인식하고 있는가? 에 대해 알아봄으로써 교사가 학습지도시 방정식·부등식과 함수와 의 관계에 대한 적절한 준비가 이루어지도록 하고자 하였다.
에 대해 알아봄으로써 교사가 학습지도시 방정식·부등식과 함수와 의 관계에 대한 적절한 준비가 이루어지도록 하고자 하였다.
예비검사는 본 검사에서 사용할 검사 도구의 소요되는 시간, 문항의 수, 문항 제시 방법, 각 문항의 표현 등에 문제가 있는지를 알아보기 위해서 진행되었다. 또한 본 연구의 주제인 방정식·부등식과 함수의 관계에서 수학적 상황이 잘 나타나는 문항인가를 알아보기 위해 실시하였다.
이번 연구에서는 고등학교 학생들을 대상으로 중학교 에서 배운 일차함수와 일차방정식·일차부등식의 관계부터 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계까지의 이해 능력을 살펴보았다.
그러나 선행연구들은 개념들 간에 관계 파악을 나타내고 있는 연결성에 대한 부분을 염두 하여 연구되지 않았고, 관계에 대한 연구결과를 명시적으로 지적하지 않은 미비한 점을 보이고 있다. 이에 본 연구자는 방정식과 부등식, 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 제시하고 학습자의 해결과정에서 수학적 상황을 어떻게 인식하고 있는지를 살펴보고자 한다.
제안 방법
따라서 중학교 교과서와 고등학교 수학 10-가와 10-나의 교과서에서 방정식·부등식과 함수단원의 문항을 기초로 연구자가 검사문항을 직접 설계하고 구성하였다.
따라서 중학교 교과서와 고등학교 수학 10-가와 10-나의 교과서에서 방정식·부등식과 함수단원의 문항을 기초로 연구자가 검사문항을 직접 설계하고 구성하였다. 또한 검사문항에 대한 내용 타당도는 전문가에 의해 입증되었고, 예비검사 결과 학생들의 이해분석에 대한 적절한 문항이 아니라고 판단된 문제는 수정, 보완하여서 본 검사 도구를 개발하였다.
본 논문의 연구 문제를 해결하기 위한 연구 방법은 고등학교 2학년 학생을 대상으로 중학교와 고등학교 함수 단원에 관련된 내용을 선정하여 연구 목적에 따라 지필 검사를 실시한 후 그 검사지에 나타나는 반응을 기술하는 기술 연구이다. 또한 지필검사에 나타나지 않은 원인을 보다 깊이 분석하기 위하여 개별면담을 실시하였다.
본 검사는 예비검사를 통해 수정 보완된 검사지를 가지고 실시하였다. 본 검사를 실시할 때 학생들에게 사전에 검사 실시 요령에 대하여 다음과 같이 주지시켰다.
개별면담은 지필검사에 나타나지 않은 원인을 보다 깊이 분석하기 위하여 학생 28명을 대 상으로 실시하였다. 본 연구자는 면담을 통해 학생들이 문항에 대한 오류를 보인 이유를 질문하였고 면담 중 혹시 연구자가 질문한 내용에 대한 분석에 대하여 체크하지 못할 것에 대 비하여 전체 면담 내용은 녹음하여 기록하였다.
본 연구자는 표현이 내포하고 있는 개념들 간의 관계 파악을 나타내고 있는 연결성의 연구에 관하여 개념적, 실증적 연구를 위하여 방정식 · 부등식과 함수와의 관계에 대한 부분을 채택하였다.
예비 검사 결과 검사문항에 대한 학생들의 이해가 저조한 관계로 문항제시 방법을 수정하였다. 즉, 연립일차방정식과 일차함수와의 관계를 묻는 3번 문항과 연립이차방정식과 이차함수와의 관계에 대한 6번 문항을 제외하고 나머지 문항을 객관식으로 수정, 보완하였다.
또한 본 연구의 주제인 방정식·부등식과 함수의 관계에서 수학적 상황이 잘 나타나는 문항인가를 알아보기 위해 실시하였다. 예비검사 문항은 주관식인 6문항씩 2세트로 총 12문항으로 구성하였다.
예비 검사 결과 검사문항에 대한 학생들의 이해가 저조한 관계로 문항제시 방법을 수정하였다. 즉, 연립일차방정식과 일차함수와의 관계를 묻는 3번 문항과 연립이차방정식과 이차함수와의 관계에 대한 6번 문항을 제외하고 나머지 문항을 객관식으로 수정, 보완하였다.
대상 데이터
개별면담은 지필검사에 나타나지 않은 원인을 보다 깊이 분석하기 위하여 학생 28명을 대 상으로 실시하였다. 본 연구자는 면담을 통해 학생들이 문항에 대한 오류를 보인 이유를 질문하였고 면담 중 혹시 연구자가 질문한 내용에 대한 분석에 대하여 체크하지 못할 것에 대 비하여 전체 면담 내용은 녹음하여 기록하였다.
본 연구는 인천광역시에 소재하고 있으며, 이용 가능한 남자고등학교 2학년 2개반(인문계열 32명, 자연계열 31명, 총 63명)과 여자고등학교 2학년 2개반(인문계열 32명, 자연계열 33명, 총 65명)을 연구대상으로 선정하였고, 이 학생들은 중학교 함수 단원에서 일차함수와 방정식, 부등식 관계와 고등학교 함수 단원에서 이차함수와 방정식, 부등식 관계를 이미 학습하였다.
성능/효과
‘표현’과 ‘연결성’에 관한 선행연구를 살펴보면, 정난희(2003)는 컴퓨터 소프트웨어 Maple을 사용이 이차함수와 이차방정식 · 이차부등식 간의 수학적 개념 연결 능력 향상에 어떠한 효과가 있는지를 연구하였다. Maple을 사용한 실험집단과 지필식의 학습을 한 통제집단 사 이에서 나타난 연구 결과는 개념 이해와 계산 기능 학습에서 유의한 차이가 나타나지 않았지만 컴퓨터를 활용한 수업이 계산 기능 학습 면에서 개념 학습에 좀 더 효과적이라는 것을 알 수 있다.
다만 자연계열 남학생에서 반대의 결과가 나왔는데 이는 -부호를 양변에 곱하면 부등호가 바뀌는 계산의 오류를 범한 학생들이 많기 때문이었다. 그러 나 계산의 오류를 범한 학생들을 면담한 결과 대부분 부등식과 함수의 관계를 인식하고 있는 학생임을 파악할 수 있었고, 단순한 계산의 오류를 제외하고는 부등식과 함수와의 관계를 인식하고 있지 못한 것으로 나타났다.
둘째, 3번 문항과 6번 문항은 주관식 문항으로 일차함수와 이차함수를 그래프로 직접 그려서 연립일차방정식과 연립이차방정식의 해를 구하는 문항이었다. 정답률이 다른 문항에 비해 많이 떨어져 학생들이 그래프를 그리는 것을 어려워 한다는 것이 나타났으며, 면담 결과 그래프에서 나타나는 교점이 연립방정식의 해라고 알고 있는 학생은 많았지만 그것을 그래프를 그리거나 해를 구하는 데 사용하지 못하는 것으로 보아 방정식과 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 것을 알 수 있었다.
둘째, 방정식을 함수로 나타내는 주관식 문항을 살펴보면 학생들의 그래프를 그리는 데 많은 어려움을 겪고 있는 것을 볼 수 있었다. 함수를 이용하여 연립방정식의 해를 구하라고 했음에도 불구하고, 해를 구한 모든 학생들이 가감법이나 대입법을 사용하여 연립방정식의 해를 구하였고, 그래프를 이용하여 해를 구한 학생은 없었다.
일차부등식 문제를 일차함수로 제시한 문항에서는 일차함수 문제를 일차부등식으로 제시 한 문항보다 정답률이 높았다. 방정식과 함수와의 관계를 묻는 1번 문항보다 전체적으로 정 답률이 떨어졌으며, 이는 방정식과 부등식 문항을 기계적인 계산에 의해서 푸는 문항으로 주로 접해온 학생들은 동일한 수학적 상황임에도 생소한 문항에 어려움을 보인 것을 알 수 있었다.
소프트웨어를 이용하여 수업을 한 결과 학생들은 관계 이해 능력의 차이를 보이지 않았고 이번 연구에서도 함수와 방정식·부등식의 관계 에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 학생들은 적었다.
함수를 이용하여 연립방정식의 해를 구하라고 했음에도 불구하고, 해를 구한 모든 학생들이 가감법이나 대입법을 사용하여 연립방정식의 해를 구하였고, 그래프를 이용하여 해를 구한 학생은 없었다. 이와 반대로 함수를 방정식으로 나타내는 주관식 문항을 보면 학생들이 기계적인 계산 문제는 어려움 없이 푸는 것을 알 수 있었다. 학생들은 방정식이나 부등식으로 제시된 문항보다 함수로 제시된 문항을 기피하는 경향을 보였으며, 한쪽으로 치우친 학습을 하게 된 결과 방정식·부등식과 함수와의 관계를 이해하는 데 어려움을 주는 것을 알 수 있었다.
이차방정식 문제를 이차함수로 제시한 문항에서는 이차함수 문제를 이차방정식으로 제시 한 문항보다 정답률이 낮았다. 이차방정식의 해를 구하는 과정이 인수분해를 이용해서 쉽게 계산이 가능했지만 +,- 부호를 바꿔서 하는 계산의 오류가 나타났다.
이차방정식 문제를 이차함수로 제시한 문항에서는 이차함수 문제를 이차방정식으로 제시 한 문항보다 정답률이 낮았다. 이차방정식의 해를 구하는 과정이 인수분해를 이용해서 쉽게 계산이 가능했지만 +,- 부호를 바꿔서 하는 계산의 오류가 나타났다.
이차부등식 문제를 이차함수로 제시한 문항에서는 이차함수 문제를 이차부등식으로 제시 한 문항보다 정답률이 높았다. 다만 자연계열 남학생에서 반대의 결과가 나왔는데 이는 -부호를 양변에 곱하면 부등호가 바뀌는 계산의 오류를 범한 학생들이 많기 때문이었다.
일차부등식 문제를 일차함수로 제시한 문항에서는 일차함수 문제를 일차부등식으로 제시 한 문항보다 정답률이 높았다. 방정식과 함수와의 관계를 묻는 1번 문항보다 전체적으로 정 답률이 떨어졌으며, 이는 방정식과 부등식 문항을 기계적인 계산에 의해서 푸는 문항으로 주로 접해온 학생들은 동일한 수학적 상황임에도 생소한 문항에 어려움을 보인 것을 알 수 있었다.
정답률이 다른 문항에 비해 많이 떨어져 학생들이 그래프를 그리는 것을 어려워 한다는 것이 나타났으며, 면담 결과 그래프에서 나타나는 교점이 연립방정식의 해라고 알고 있는 학생은 많았지만 그것을 그래프를 그리거나 해를 구하는 데 사용하지 못하는 것으로 보아 방정식과 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 것을 알 수 있었다.
첫째, 일차방정식 문제를 일차함수로 제시한 문항에서는 일차함수 문제를 일차방정식으로 제시한 문항보다 정답률이 높았으며, 일차방정식과 일차함수의 관계에 대해 학생들은 동일한 수학적 상황임을 인식하고 있는 것으로 나타났다. 인문계열 여학생에서는 일차함수 문제를 일차방정식으로 제시한 문항에서 정답률이 높은 반대의 결과가 나왔지만 계산의 오류가 정답률에 영향을 미쳤을 뿐 동일한 수학적 상황을 인식하고 있는 것에는 영향을 주지 않았다.
첫째, 일차방정식·일차부등식과 일차함수에서는 학생들이 관계를 많이 이해하고 있지만, 차수가 높은 이차방정식·이차부등식과 이차함수에서는 관계에 대한 이해 분석이 떨어지는 것으로 나타났다.
학생들은 방정식이나 부등식으로 제시된 문항보다 함수로 제시된 문항을 기피하는 경향을 보였으며, 한쪽으로 치우친 학습을 하게 된 결과 방정식·부등식과 함수와의 관계를 이해하는 데 어려움을 주는 것을 알 수 있었다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수학교육의 목적은 무엇인가?
수학교육의 목적은 학생들로 하여금 수학적인 논리력, 외자와의 적용력을 키우는 것이라 고 할 수 있다. 즉, 수학적 논리력을 바탕으로 하여 발생된 문제에 대한 창의적 해결능력을 높이는 것이 수학교육의 주된 목적이라고 할 수 있다.
수학에서 표현이란 무엇인가?
표현(representation)은 수학적 내용을 표현하는 다양한 기호나 다이어그램, 구체적인 그 림, 그래프, 식, 표 등의 물리적 대상이나 이미지, 관념과 같은 주체의 실체인 정신적 대상을 지칭하는 용어이다(장혜원, 1997). 학생들의 수학적인 이해란 다양한 표현에 대한 해석, 표 현의 산출, 표현간의 번역 등의 활동을 통해 수학적인 표현에 대한 적합한 개념적 인지를 구성하는 것으로 볼 수 있다.
고등학교 학생들이 동일한 수학적 상황을 다른 형태로 제시할 때 수학 문제해결 능력을 분석한 결과는 어떠한가?
본 연구의 결과로부터 얻어진 결론은 다음과 같다. 첫째, 동일한 수학적 상황을 함수로 제시한 문항이 방정식과 부등식으로 제시한 문항보다 정답률이 높았으며, 일차방정식 일차부등식과 일차함수와의 관계를 묻는 문항보다 이차방정식 이차부등식과 이차함수와의 관계를 묻는 문항에서 정답률이 떨어졌다. 둘째, 방정식과 부등식 문항을 기계적인 계산에 의해서 푸는 문항을 주로 접해온 학생들은 면담 결과 그래프에서 나타나는 교점이 연립방정식의 해라고 알고 있는 학생은 많았지만 그것을 그래프를 그리거나 해를 구하는 데 사용하지 못하는 것으로 보아 방정식과 함수와의 관계에서 동일한 수학적 상황을 인식하지 못한 것을 알 수 있었다. 셋째, 면담을 통하여 학생들이 방정식 부등식과 함수에 대한 관계를 어떻게 생각하고 있는지 알아본 결과, 관계에 대한 정확한 이해 능력이 없음에도 정답을 구하는 경우가 있었다.
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