[논문]에를랑겐 프로그램의 성립 배경

한경혜

doi:10.14477/jhm.2013.26.4.233

에를랑겐 프로그램의 성립 배경
The Historical Background of Erlangen Program 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.26 no.4, 2013년, pp.233 - 243

한경혜 (Dept. of Math., Soonchunhyang Univ.)

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The Erlangen program is a scholastic plan by German mathematician Felix Klein, in which he, based on group theory, made a reassessment of geometry as well as an attempt to generally organize it. In this paper, I will introduce the historical and scholastic background of the Erlangen program, overvie...

주제어

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문제 정의

당시 19세기는 사영기하학을 비롯한 수학 각 영역이 고유의 방법론을 가지고 독자적 체계를 세워나가는 특징이 강하였다. 그런 과정에서 이런 다양한 흐름을 통합하는 EP의 새로운 관점이 어떻게 형성되어 나갔는지를 살펴보도록 한다.

제안 방법

갈루아는“군”을 수학 전문 용어로 도입하였으며 방정식을 치환군에 대응시켰다.
그는 도형의 ‘동류 관계’를 ‘변환’과 변환의 해석적 표현식을 통하여 다각도로 연구하였다.
그리고 하나의 동류 관계에서 변하지 않고 남아있는 표현이나 변수가 무엇인지를 알아냄으로써 이를 토대로 한 직선 위의 네 점의 복비에 관한 상세한 이론을 수립하였다. 거리 측정을 전혀 하지 않고도 서로 관계를 맺는 평면 위에서 대응하는 네 개의 점(공간에서는 다섯개의 점)끼리 연결하는 직선만으로 공선성이라는 개념을 만들어내는 데 성공하였는데 이는 뫼비우스망 ‘Möbius net’이라 일컬어진다.
먼저 클라인이 수학자로서 성장하는 과정을 간략히 소개하고 나서, 어떤 사회적, 학술적 배경을 통해서 EP를 작성하게 되었는지를 파악하도록 한다. 당시 19세기는 사영기하학을 비롯한 수학 각 영역이 고유의 방법론을 가지고 독자적 체계를 세워나가는 특징이 강하였다.
아울러 두 공간의 점 사이에 생겨나는 일대일 대응에 관한 명쾌한 사고를 전개하였다. 이를 아주 단순화시켜 체계적으로 등급이 매겨진 “동류 관계 Verwandtschaften”라는 개념들을 만드는 데 적용했으며, 합동을 일컫는“상등”,“닮음”, (오일러에게서 유래한“아) 핀”, 한 직선 위의 점을 한 직선 위로 옮기는 관계를 뜻하는 “공선성”등의 개념 및 용어를 도입하였다.
이를 아주 단순화시켜 체계적으로 등급이 매겨진 “동류 관계 Verwandtschaften”라는 개념들을 만드는 데 적용했으며, 합동을 일컫는“상등”,“닮음”, (오일러에게서 유래한“아) 핀”, 한 직선 위의 점을 한 직선 위로 옮기는 관계를 뜻하는 “공선성”등의 개념 및 용어를 도입하였다.

대상 데이터

애초에 물리학자가 되고 싶어했던 클라인은 본 (Bonn) 대학에서 수학과 물리학을 공부하였으며, 1868년 플뤼커 (Julius Plücker, 1801–1868)의 지도로 선 기하학(line geometry)과 역학에의 응용을 다룬 논문〈캐노니칼 형식 위의 선 좌표 사이의 일반 2차식의 변환에 관하여 Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zwischen Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form〉를 제출하여 19세의 나이로 박사 학위를 받았다.
이후 클라인은 23세라는 젊은 나이에 남부 독일 에를랑겐(Erlangen)에 소재한 알렉산더 대학교(Friedrich Alexander Universitāt) 전임교수로 초빙되었다. 에를랑겐 대학 임용을 적극 추진했던 이는 또 다른 스승이라 할 수 있었던 클렙쉬(Alfred Clebsch, 1833–1872)였다.

이론/모형

케일리는 부울(G. Boole, 1815–1864)의 직접적 영향을 받았으며, 그라스만은 라이프니츠의 아이디어를 차용하였다.

성능/효과

그런데 기이하게도 아핀군과 아핀기하학은 제대로 다루지 못했다.⁵⁾ 주군과 공선변환 사이의 차별성을 두지도 않았다. 이는 훗날 클라인 자신이 회고하듯이 “일면적 전통의 결과”로서 당시 “뫼비우스와 그라스만의 논문을 제대로 평가하지 못하였기” 때문이라고 볼 수도 있다 [14, p.
둘째, 사영기하학의 발달 결과 전통적인 좌표 개념이 확장되었다. 뫼비우스, 헤세(O.
셋째, 공간의 차원 개념이 논쟁의 주제가 된다. 임의의 고차원 공간으로 관심이 옮겨가게 된 배경으로는 수학과 물리학 사이의 결합이 작용한다고 할 수 있다.
클라인은 케일리(Arthur Cayley, 1821–1895)의 사영적 거리개념을 도입하여 유클리드 기하학뿐만 아니라 비유클리드 기하학까지 설명하였다. 이 과정에서 클라인은 폰 슈타우트의 방법을 채택하여 평행공리를 전제하지 않는 사영기하학의 체계를 세울 수 있음을 보였다. 이로써 사영기하학은 2000년 이상‘기하학’자체와 동일시 되어온 유클리드 기하학뿐만 아니라 비유클리드 기하학까지도 포괄하는 상위의 개념이 되었다.
첫째, 기하학과 계량이 불가분의 관계에 있다는 재래의 인식이 희석되었다. 몽쥬, 카르노(L.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	에를랑겐 프로그램은 어떤 점에서 높은 평가를 받는가?	19세기에 다방면에 걸쳐 활약상을 보였던 독일 수학자 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program, 이하 EP로 약칭)은 현대 대수학의 기본 개념인‘군’개념을 사용하여 당시까지 발전하였던 기하학의 체계를 정리했다는 점에서 높은 평가를 받아왔다 [2].
	쿠랑(Courant)은 에를랑겐 프로그램을 어떻게 평하였는가?	쿠랑(Courant)은 EP를 가리켜“아마도 19세기 후반에 가장 큰 영향을 끼쳤으면서도 광범하게 읽힌”논문이라고 평하였으며 [6], 쿨리지(Coolidge)는 EP야말로“유클리드 이래 가우스와 리만을 제외하고는 아마 가장 큰 영향을 끼쳤을 것”이라고 언급하기도 했다 [5, p. 293].
	펠릭스 클라인의 출생지는?	에를랑겐 프로그램의 저자 펠릭스 클라인(Felix Christian Klein, 1849–1925)은 1849년 4월 25일 독일 서부 도시 뒤셀도르프(Düesseldorf)에서 출생하였다. 애초에 물리학자가 되고 싶어했던 클라인은 본 (Bonn) 대학에서 수학과 물리학을 공부하였으며, 1868년 플뤼커 (Julius Plücker, 1801–1868)의 지도로 선 기하학(line geometry)과 역학에의 응용을 다룬 논문〈캐노니칼 형식 위의 선 좌표 사이의 일반 2차식의 변환에 관하여 Über die Transformation der allgemeinen Gleichung des zwischen Grades zwischen Linien-Koordinaten auf eine kanonische Form〉를 제출하여 19세의 나이로 박사 학위를 받았다.

참고문헌 (23)

B. Bernardo,"H. von Helmholtz and metageometry(Italian)", Riv. Stor. Sci. (2) 4(2) (1996), 55-97.
G. Birkhoff, & M. K. Bennett,"Felix Klein and His"Erlanger Programm"", History and philosophy of modern mathematics, Minnesota Stud. Philos. Sci. XI (Minneapolis, MN, 1988), 145-176.
A. Cayley, The Collected Mathematical Papers, vol. 2, Cambridge(1889), Cambridge Univ. Press, 2009.
M. Chasles, Apercu historique sur l'origine et le developpement des methodes geometrie, Bruxelles, 1837.
J. L. Coolidge, A History of Geometrical Methods, Oxford University Press, 1940.
R. Courant,"Felix Klein", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung 34(1925), 197-213.
Han Kyeong Hye,"Zur Geschichte der Geometrie der Lage", Dissertation zur Erlangung des Grades"Doktor der Naturwissenschaften"am Fachbereich der Johannes Gutenberg- Universitaet, Mainz, 2000.
Han Kyeong Hye,"The Establishment and Foundation of Projective Geometry", The Korean Journal for History of Mathematics, 15(1) (2002), 1-14. 한경혜,"사영기하학의 성립과 그 기초", 한국수학사학회지 15(1) (2002), 1-14.
T. Hawkins", The Erlanger Programmof Felix Klein: reflections on its place in the history of mathematics", Historia Mathematica 11(4) (1984), 442-470.

상세보기
H. vonHelmholtz", Uber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome", in Populare Vortrage, Heft 3, Braunschweig: Vieweg, 1876.
F. Klein, Vorlesungen ueber die Entwicklungen der Mathematik im 19 Jahrhundert, AMS Chelsea Publishing, 1967.19세기 수학의 발전에 대한 강의, 한경혜 역, 나남, 2012.
Felix Klein,"Ueber die sogennante Nicht-Euklidische Geometrie", Mathematische Annalen 4(1871), 573-625.

상세보기
Felix Klein, Vergleichende Bertrachtungen uber neuere geometrische Forschungen, Erlangen, 1872. Reprinted with additional footnotes in Mathematische Annalen 43(1893), 63- 100 and in GMA, vol. 1, 460-97.

상세보기
F. Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen Bd.1. Ed. R. Fricke und A. Ostrowski. Berlin, 1921.
F. Klein, Elementarmathematik vom hoheren Standpunkt aus, Goettingen, 1893.
H. Mehrtens, Moderne Sprache Mathematik, Suhrkamp, 1990.
A. F. Mobius, Gesammelte Werke, Bd.1, Leipzig, 1885.
Julius Plucker and Felix Klien, Neue Geometrie des Raumes gegrundet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, Leipzig, 1968-1969.
D. E. Rowe,"Felix Klein's Erlanger Antrittsrede; A Transcription with English Translation and Commentary", Historia Mathematica 12(1985) 123-141.

상세보기
J. A. Schouten,"Erlanger Programm and Uebertra gungslehre", Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo 50(1926), 142-169.

상세보기
Oswald Veblen; J. W. Young, Projective Geometry, vol. 1-2, Ginn & Co., 1938.
K. Chr. von Staudt, Geometrie der Lage, Erlangen, Nuernberg, 1847.
H. Wussing, Bedeutende Gelehrte, vol. II, Ed. G. Harrig, Leipzig, 1965, 1-12.

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